Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard-Fejércho hàm p−lồi và tiền lồi bất biến được trình bày trong các tài liệu [3] và [6].Chú ý rằng các kết quả trên áp dụng cho một số lớp hàm lồi khả vi
q−đạo hàm
Định nghĩa 1.1 ([14]) Cho f(x) là một hàm số thực q−sai phân của hàm f(x) được cho bởi dqf(x) =f(qx)−f(x) Đặc biệt, ta có dqx = (q −1)x.
Từ Định nghĩa 1.1, ta tính được q−sai phân của tích hai hàm số thực f(x), g(x) như sau dq(f(x)g(x)) =f(qx)g(qx)−f(x)g(x)
Bây giờ, ta định nghĩa q−đạo hàm. Định nghĩa 1.2 Cho f(x) là một hàm số thực q−đạo hàm (q−derivative) của hàm f(x) được định nghĩa bởi
(q −1)x Nhận xét 1.1 Từ Định nghĩa 1.2, ta nhận thấy nếu f(x) là một hàm số khả vi thì limq → 1Dqf(x) = df(x) dx =f ′ (x).
Bây giờ, ta tính q−đạo hàm của hàm f(x) = x n , trong đó n là một số nguyên dương Theo định nghĩa, ta có
Ký hiệu [n] = q q n − − 1 1 = q n − 1 + .+ 1 Ký hiệu [n] được gọi là q−analogue của n Khi đó, ta có
Dqx n = [n]x n − 1 Mệnh đề dưới đây cho ta một số quy tắc tính q−đạo hàm cơ bản.
Mệnh đề 1.1 Cho a, b∈R, f(x), g(x) là hai hàm số thực Khi đó ta có: (i) D q (af(x) +bg(x)) = aD q f(x) +bD q g(x);
(ii) Dq(f(x)g(x)) = f(qx)Dqg(x) +g(x)Dqf(x) hoặc
(iii) Giả sử g(x) 6= 0 Khi đó Dq f (x) g(x)
= g(qx)Dqf(x)−f(qx)Dqg(x) g(x)g(qx)
Chứng minh (i) Theo định nghĩa, ta có
Dq(af(x) +bg(x)) = af(qx) +bg(qx)−af(x)−bg(x)
(ii) Từ các Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.2, ta có
Vì vai trò của f(x) và g(x) là như nhau nên ta cũng thu được
(iii) Ta có f(x) =g(x) f g ( ( x x ) ) Áp dụng (1.1), ta thu được
= g(x)Dqf(x)−f(x)Dqg(x) g(x)g(qx) Bây giờ, sử dụng (1.2), ta có
= g(qx)Dqf(x)−f(qx)Dqg(x) g(x)g(qx)
Trong trường hợp tổng quát, không tồn tại qui tắc tính q-đạo hàm cho hàm hợp Tuy nhiên, có một qui tắc cụ thể cho hàm f(u(x)), với u = u(x) = αx^β, trong đó α và β là các hằng số.
(u(x)).Dqu(x) (1.3) Định nghĩa 1.3 q−analogue của (x−a) n là đa thức dưới đây
Mệnh đề 1.2 Với số tự nhiên n ≥1, ta có
D q (x−a) n q = [n](x−a) n q − 1 (1.5) Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp toán học Với n = 1, ta có
Do đó với n= 1, biểu thức (1.5) đúng Giả sử biểu thức (1.5) đúng với n =k, tức là D q (x−a) k q = [k](x− a) k q − 1 Theo Định nghĩa 1.3, ta có (x−a) k+1 q (x−a) k q (x−q k a) Áp dụng Mệnh đề 1.1, ta có
= (1 +q[k]) (x−a) k q = [k+ 1](x−a) k q Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn.
Bây giờ, ta trình bày một số tính chất khác của đa thức (x−a) n q
Trước hết, với m, n là hai số nguyên dương Ta chứng tỏ
Ta có thể mở rộng Định nghĩa 1.3 cho số nguyên âm bằng cách trong biểu thức (1.6) cho m=−n ta thu được
(x−q − n a) n q , (1.7) trong đó n là một số nguyên dương.
Mệnh đề dưới đây chứng tỏ công thức (1.6) đúng vớimvànlà hai số nguyên bất kỳ.
Mệnh đề 1.3 Cho m và n là hai số nguyên Khi đó
Chứng minh Trường hợp m >0 và n >0 đã được chứng minh ở trên Trường hợp hoặc m= 0 hoặcn = 0 thì kết quả là hiển nhiên Ta xét 3 trường hợp sau đây:
* Trường hợp 1: m = −m ′ < 0 và n > 0 Khi đó, theo các công thức (1.6), (1.7), ta thu được
* Trường hợp 2: m ≥ 0 và n = −n ′ < 0 Theo các công thức (1.6), (1.7), ta thu được
* Trường hợp 3: m = −m ′ < 0 và n = −n ′ < 0 Theo các công thức (1.6), (1.7), ta thu được
= (x−a) − q m ′ − n ′ = (x−a) m+n q Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn.
Cho số thực α, ta ký hiệu
Mệnh đề dưới đây cho ta công thức tính q−đạo hàm của (x−a) n q , trong đó n là một số nguyên.
Mệnh đề 1.4 Cho n là một số nguyên Khi đó
Để chứng minh, với n = 0, ta có [0] = 0, cho thấy biểu thức đúng với n = 0 Trường hợp n là số nguyên dương đã được chứng minh trong Mệnh đề 1.2 Chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp n = -n' < 0 Áp dụng (1.7) và Mệnh đề 1.1, ta có
Mệnh đề 1.5 Cho n là một số nguyên Khi đó ta có các khẳng định sau đây: (i) Dq
(a − x) n+1 q Chứng minh (i) Áp dụng (1.7), ta có
Sử dụng Mệnh đề 1.4 và công thức (1.10), ta thu được
=−[n]q n − 1 q − 1 a−x n − 1 q =−[n](a−qx) n q − 1 (iii) Theo Mệnh đề 1.1, ta có
q−tích phân
q−nguyên hàm
Định nghĩa 1.4 Cho f(x) là một hàm số thực Hàm F(x) được gọi là một q−nguyên hàm của f(x) nếu DqF(x) =f(x) Hàm F(x) được ký hiệu bởi
Trong giải tích, q−nguyên hàm của hàm số f(x) không phải là duy nhất Nếu hai q−nguyên hàm của f(x) liên tục tại điểm 0, thì chúng chỉ khác nhau bởi một hằng số Chứng minh cho mệnh đề này có thể được tìm thấy trong tài liệu [14] ở trang 65.
Khi 0 < q < 1, bất kỳ hàm thực f(x) nào cũng có thể có tối đa một q-nguyên hàm liên tục tại điểm x = 0 bằng cách cộng thêm một hằng số.
Bây giờ, ta xét phép đổi biến u =u(x) =αx β , trong đó α và β là các hằng số Giả sử F(x) là một q−nguyên hàm của hàm f(x) Khi đó
Với bất kỳ số thực q ′ Sử dụng công thức (1.3), ta có
Chọn q ′ =q 1 β , ta có D q ′β F =DqF =f và do đó
Z f(u)dquZ f(u(x))d q β 1 u(x) (1.12) Điều này chứng tỏ hàm f(u(x))D q 1 β u(x) là một q−nguyên hàm của hàm f(u).
Tích phân Jackson
Định nghĩa 1.5 Cho hàm số thực f(x) Tích phân Jackson của hàm f(x) được định nghĩa bởi
Bây giờ, cho g(x) là một hàm thực khác, D q g(x) là q−nguyên hàm của nó.
Từ Định nghĩa 1.5, ta có công thức sau đây
Công thức trên còn có thể viết lại dưới dạng
Trong Định nghĩa 1.5, vế phải của tích phân Jackson là một chuỗi vô hạn, và câu hỏi đặt ra là điều kiện hội tụ của chuỗi này Định lý 1.1 cung cấp một điều kiện đủ cho sự hội tụ: với 0 < q < 1 và giả sử |f(x)x α | bị chặn trên nửa đoạn (0, A] với 0 ≤ α < 1, thì tích phân Jackson được định nghĩa bởi công thức 1.13 sẽ hội tụ đều đến hàm F(x), là một q−nguyên hàm của hàm f(x) trên nửa đoạn (0, A] Hơn nữa, hàm F(x) liên tục tại điểm x= 0 với giá trị F(0) = 0.
Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại một hằng số M > 0 sao cho |f(x)x α | 0 và 0 < q < 1 nên chuỗi số dương P ∞ j =0
Theo tiêu chuẩn Weierstrass, ta có chuỗi P ∞ j=0 q j f q j x hội tụ đều Do đó chuỗi
P j =0 q j f q j x hội tụ đều đến hàm F(x) nào đó trên nửa đoạn (0, A]. Tức là F(x) = (1−q)x
Từ công thức (1.13), ta có F(0) = 0 Sử dụng (1.15), ta thu được đánh giá dưới đây
Trong bất đẳng thức trên, cho x → 0, ta thu được F(x) → 0 Vậy F(x) liên tục tại điểm x= 0 Mặt khác, ta lại có
=f(x). Điều này chứng tỏ rằng F(x) là một q−nguyên hàm của f(x).
Theo giả thiết của Định lý 1.1, tích phân Jackson là q-nguyên hàm duy nhất, khác biệt chỉ bởi một hằng số, của hàm f(x), với điều kiện là q-nguyên hàm này liên tục tại x = 0 Ngược lại, nếu F(x) là một q-nguyên hàm của f(x) và liên tục tại x = 0, thì F(x) có thể được biểu diễn dưới dạng (1.13) cộng thêm một hằng số.
Sử dụng tính liên tục của hàm F(x) tại điểm 0, trong biểu thức trên cho
Nhận xét 1.4 Giả thiết |f(x)x α | bị chặn trên nửa đoạn (0, A] với 0 ≤ α < 1 là một số nào đó trong Định lý 1.1 là không bỏ được Thật vậy, xét hàm f(x) = x 1 Vì
Tuy nhiên, công thức tính tích phân Jackson (1.13) cho ta
Công thức tính tích phân Jackson không đúng trong ví dụ này vì hàmf(x)x α x α − 1 không bị chặn với mọi α∈ [0,1).
Định nghĩa và một số tính chất của q−tích phân
Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng tích phân Jackson để định nghĩa q−tích phân Cụ thể, với 0 < a < b và f(x) là một hàm số thực, q−tích phân được định nghĩa như sau:
Tương tự như công thức (1.14), ta có công thức sau đây
Nhận xét 1.5 Khi q −→ 1, q−tích phân trở thành tích phân Riemann trong giải tích cổ điển, tức là limq → 1
Từ đó, ta định nghĩa q−tích phân suy rộng như sau: Định nghĩa 1.7 q−tích phân suy rộng của hàm f(x) trên [0,∞) được định nghĩa như sau:
Các q−tích phân suy rộng được định nghĩa trong các công thức (1.23) và (1.24) sẽ hội tụ nếu hàm số x α f(x) bị chặn trong lân cận của x = 0 với α < 1, và hàm số x β f(x) bị chặn khi x đủ lớn với β > 1.
Chứng minh Theo công thức (1.22), ta có
Mặt khác, ta lại có
Để chứng minh Mệnh đề 1.7 trong trường hợp q < 1, chúng ta chỉ cần tập trung vào chuỗi thứ hai trong công thức (1.26) Theo Định lý 1.1, chuỗi đầu tiên đã hội tụ đều Chúng ta sẽ chứng minh rằng chuỗi thứ hai cũng hội tụ đều Theo giả thiết, với x đủ lớn, ta có |x β f(x)| < M, với β > 1.
M >0 là một hằng số Khi đó với j đủ lớn, ta có ước lượng dưới đây
Vìq 0 nên chuỗi số dương
M.q j(β − 1) hội tụ Theo tiêu chuẩn
Weierstrass, chuỗi thứ hai trong công thức (1.26) hội tụ đều Mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét 1.6 Sử dụng công thức đổi biến u =u(x) =αx β , ta có
Chúng tôi sẽ trình bày công thức Newton-Leibniz cho q-tích phân Định lý 1.2 nêu rằng nếu f(x) là một hàm số thực và F(x) là một q-nguyên hàm của f(x) với tính liên tục tại điểm x=0, thì ta có các mối quan hệ quan trọng giữa chúng.
Chứng minh Vì F(x) liên tục tại x = 0 và F(x) là một q−nguyên hàm của f(x) nên theo Nhận xét 1.3 và các kết quả trước đó, ta có
Tương tự, trong trường hợp b là hữu hạn, ta cũng có
Đặt a = q^j + 1 và b = q^j khi 0 < q < 1, và a = q^j, b = q^j + 1 khi q > 1 Sử dụng định nghĩa của q-tích phân suy rộng, chúng ta có thể chứng minh công thức (1.28) đúng cho trường hợp b = ∞ khi giới hạn lim x → + ∞ F(x) tồn tại.
Hệ quả 1.1 Giả sử f ′ (x) tồn tại trong một lân cận của điểm x = 0, f ′ (x) liên tục tại điểm x= 0 Khi đó, ta có
Chứng minh Sử dụng quy tắc L’Hospital và giả thiết f ′ (x) liên tục tại điểm x= 0, ta có xlim→ 0Dqf(x) = lim x → 0 f(qx)−f(x) (q −1)x
Xét hàm Dqf(x) và định nghĩa Dqf(0) =f ′ (0) Ta suy ra Dqf(x) liên tục tại điểm x = 0 Theo Định lý 1.2, ta có
Một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử 21 2.1 Bất đẳng thức q−Steffensen và một số áp dụng
Bất đẳng thức q−Gr¨uss và một số áp dụng
Năm 1935, G Grüss đã chứng minh một bất đẳng thức quan trọng để ước lượng sự sai khác giữa tích phân của hai hàm và tích của tích phân của chúng Cụ thể, với hai hàm khả tích Riemann f, g: [α, β] → R, nếu mf ≤ f(x) ≤ Mf và mg ≤ g(x) ≤ Mg cho mọi x ∈ [α, β], thì bất đẳng thức sau đây được thiết lập.
Ngoài ra, dấu bằng xảy ra khi f(x) =g(x) =sign x− α+β
, với Mf =Mg = 1 và mf =mg = 1.
Kết quả này được mở rộng cho không gian hàm bởi X Li và các cộng sự Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày bất đẳng thức Grüss cho q-đạo hàm và q-tích phân dựa trên tài liệu đã được tham khảo.
Bổ đề dưới đây chính là bất đẳng thức Gr¨uss dạng rời rạc Chứng minh của bổ đề này có thể tham khảo trong tài liệu [11].
Bổ đề 2.2 khẳng định rằng cho x = (x1, , xn), y = (y1, , yn), u = (u1, , un) với các số thực xj, yj, uj (j = 1, , n) thỏa mãn điều kiện uj ≥ 0 và tổng Pn j=1 uj khác 0 Nếu các giá trị xj nằm trong khoảng [m, M] và yj nằm trong khoảng [ϕ, Φ] với m, M, ϕ, Φ là các hằng số thực đã cho, thì điều này dẫn đến một kết quả quan trọng trong phân tích.
4(M −m)(Φ−ϕ). Định lý dưới đây chính là bất đẳng thức Gr¨uss cho q−đạo hàm và q−tích phân. Định lý 2.11 Cho F, G: [a, b] −→R là hai hàm thực thỏa mãn m≤F(x) ≤
M, ϕ ≤ G(x) ≤ Φ với mọi x ∈ [a, b], trong đó m, M, ϕ,Φ là các hằng số thực cho trước Khi đó, ta có bất đẳng thức sau đây
Chứng minh Theo Định nghĩa 1.8 và công thức (1.30), bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức dưới đây
Vì vậy để chứng minh bất đẳng thức (2.20), ta đi chứng minh bất đẳng thức (2.21) Bất đẳng thức (2.21) có thể viết lại dưới dạng b−a
(2.22) Đặt F(cj) =xj, G(cj) =yj và chú ý rằng n − 1
Do đó bất đẳng thức (2.22) tương đương với bất đẳng thức sau đây n
Theo Bổ đề 2.2, ta có ngay điều phải chứng minh.
Định lý 2.12 chỉ ra rằng với một số nguyên không âm r và một hàm số f : [a, b] −→ R thỏa mãn điều kiện m ≤ (D r+1 q f)(x) ≤ M cho mọi x ∈ [a, b], trong đó m và M là các hằng số thực đã cho, chúng ta có thể áp dụng các kết quả từ Định lý 2.11 để rút ra những hệ quả quan trọng trong phân tích hàm số.
Do đó m≤ F(x)≤ M,0 ≤G(x) ≤ ( b − [ r qa +1]! ) r+1 q Áp dụng bất đẳng thức q−Gr¨uss (Định lý 2.11), ta có
Theo Bổ đề 2.1, ta có
Mặt khác, ta lại có
(2.26) Theo tính chất (ii) của Mệnh đề 1.5, ta có
Thay các ước lượng (2.25)–(2.27) vào trong (2.24), ta thu được
Ngoài ra, ta lại có
Từ đẳng thức bên trên, ta suy ra(b−a)(b−qa) r+1 q = (b−a) r+2 q Từ đẳng thức này và (2.28), ta có bất đẳng thức (2.23) Định lý được chứng minh.
Cho r = 1 trong bất đẳng thức (2.23), ta thu được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1 Cho m≤ (Dqf)(x) ≤ M trên [a, b] Khi đó, ta có
Bất đẳng thức q−Chebyshev và một số áp dụng của nó
Trước hết, chúng tôi nhắc lại bất đẳng thức Chebyshev cổ điển D.S Mitronovi´c, J.E Pe˘cari´c và A.M Fink [17] đưa ra bất đẳng thức Chebyshev cho các hàm giải tích.
Cho f, g : [α, β] −→ R là các hàm khả tích, f, g hoặc cùng là hàm tăng hoặc cùng giảm Cho p: [α, β]−→ R + là một hàm khả tích Khi đó
Nếu một trong hai hàm f hoặc g là hàm không tăng và hàm còn lại là không giảm thì bất đẳng thức (2.29) quay ngược chiều, tức là
Bất đẳng thức (2.29) được gọi là bất đẳng thức Chebyshev Khi p(x) ≡ 1, thì bất đẳng thức (2.29) trở thành:
Nhiều tài liệu gọi bất đẳng thức (2.31) là bất đẳng thức Chebyshev.
Ngoài ra, D.S Mitronovi´c, J.E Pe˘cari´c và A.M Fink [17] còn đưa ra bất đẳng thức Chebyshev dạng rời rạc.
Cho α = (α 1 , , αn) và β = (β 1 , , βn) là hai dãy không giảm, tức là α 1 ≤ α 2 ≤ ≤ αn, β 1 ≤ β 2 ≤ ≤ βn, (hoặc không tăng), p = (p 1 , , pn) là một dãy không âm, tức là pi ≥0,∀i = 1, , n Khi đó n
Bất đẳng thức Chebyshev dạng rời rạc được thể hiện qua công thức X i=1 pibi, với dấu bằng xảy ra khi ít nhất một trong hai dãy α hoặc β là hằng số Trong trường hợp đặc biệt khi p 1 = p 2 = = pn = 1, ta có thể rút ra một phiên bản cụ thể của bất đẳng thức này.
Chúng tôi giới thiệu bất đẳng thức Chebyshev cho q-đạo hàm và q-tích phân Định lý 2.13 chỉ ra rằng nếu hai hàm F(x) và G(x) đều là q-tăng hoặc q-giảm trên đoạn [a, b], thì chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức tương ứng.
Nếu một trong hai hàm làq−tăng còn hàm còn lại là q−giảm thì bất đẳng thức (2.34) có chiều ngược lại, tức là
Chứng minh rằng hai hàm F(x) và G(x) đều là q−tăng hoặc q−giảm trên đoạn [a, b] Dựa vào định nghĩa của q−tích phân chặt, ta có thể khẳng định rằng bất đẳng thức cần chứng minh (bất đẳng thức (2.34)) tương đương với một bất đẳng thức khác.
! (2.36) Đặt xj =F(cj), yj = G(cj), j = 0,1, , n−1 Vì n P − 1 j=0 cj n − 1
1 − q = b 1 − − a q nên bất đẳng thức (2.36) có thể viết lại dưới dạng n − 1
Ta thấy bất đẳng thức bên trên chính là bất đẳng thức Chebyshev dạng rời rạc Vậy, bất đẳng thức (2.34) được chứng minh.
Giả sử F(x) là hàm q−tăng và G(x) là hàm q−giảm Khi áp dụng bất đẳng thức (2.34) cho F(x) và −G(x), ta có được bất đẳng thức (2.35) Định lý đã được chứng minh.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của bất đẳng thứcq−Chebyshev.Định lý 2.14 (i) Giả sử rằngD r q +1 f là hàmq−tăng trên [a, b], tức là D q r +2 f ≥
(ii) Giả sử rằng D r+1 q f là hàm q−giảm trên [a, b], tức là D q r+2 f ≤0 trên [a, b]. Khi đó
Chứng minh (i) Giả sử D q r+1 f là hàm q−tăng trên [a, b] Đặt
[r+ 1]! Khi đó F(x) là hàm q−tăng và G(x) là hàm q−giảm Theo bất đẳng thức q−Chebyshev, ta có
Theo Bổ đề 2.1, ta có
(2.40) Mặt khác, ta lại có
Theo tính chất (ii) của Mệnh đề 1.5, ta có
Thay (2.40)–(2.42) vào trong (2.39), ta thu được
Vì (b−a) r+2 q b−a = (b−qa) r+1 q , nên ta có
Do đó ta thu được vế phải của bất đẳng thức (2.37).
Hàm D q r +1 f là hàm q−tăng, do đó trong khoảng [a, b] có m ≤ (D q r +1 f)(x) ≤ M, với M = (D q r+1 f)(b) và m = (D r+1 q f)(a) Áp dụng Định lý 2.12, ta thu được vế trái của bất đẳng thức (2.37), từ đó chứng minh được bất đẳng thức này Chứng minh cho trường hợp (ii) được thực hiện tương tự như trường hợp (i).
Cho r = 1 trong Định lý 2.14, ta thu được hệ quả sau đây
Hệ quả 2.2 (i) Giả sử rằng D 2 q f ≥0 trên [a, b] Khi đó, ta có
(ii) Giả sử rằng D 2 q f ≤ 0 trên [a, b] Khi đó, ta có
Nhận xét 2.4 Cho f(x) là hàm q−lồi trên [a, b], tức là D 2 q f ≥ 0 trên [a, b]. Đặt F(x) = (Dqf)(x), G(x) = x− a Khi đó F(x) và G(x) đều là các hàm q−tăng Theo bất đẳng thức q−Chebyshev, ta có
Sử dụng công thức tích phân từng phần và tính chất (ii) trong Mệnh đề 1.5, ta thu được
1 +q (2.48) Thay (2.46)–(2.48) vào trong (2.45), ta thu được nếu f(x) là một hàm q−lồi trên [a, b] thì
Bất đẳng thức q−Hermite-Hadamard
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard là một công cụ quan trọng trong lý thuyết hàm lồi, cung cấp các ước lượng cận dưới và cận trên cho trung bình tích phân của một hàm lồi xác định trên khoảng đóng Cụ thể, nếu f : [α, β]−→ R là một hàm lồi, thì bất đẳng thức này cho biết rằng giá trị trung bình của hàm f tại điểm giữa α và β, tức là f(α+β)/2, sẽ nằm trong khoảng giữa cận dưới và cận trên của hàm.
Bất đẳng thức Hermite-Hadamard đã được mở rộng theo nhiều cách khác nhau, với M Bessenyei mở rộng trên đơn hình bằng cách tiếp cận sơ cấp M.A Noor cùng các cộng sự đã giới thiệu bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến, trong khi M Kunta và I Iscan phát triển bất đẳng thức cho hàm p−lồi Việc mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cổ điển sang các lớp hàm lồi và không gian khác nhau là một bài toán quan trọng trong toán học, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Chúng tôi giới thiệu một mở rộng của bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm q−lồi và q−đơn điệu dựa trên kết quả của H Gauchman Định lý 2.15 nêu rõ rằng nếu f là một hàm q−lồi và q−đơn điệu, thì đối với hàm q−giảm, điều kiện ck ≥ aq+b 1+ q phải được thỏa mãn, trong khi đối với hàm q−tăng, ck ≤ aq+b 1+ q là cần thiết Kết quả này dẫn đến bất đẳng thức f(ck)− a(1−q) b−qa f(a)≤ 1 b−qa.
(ii) Cho hàm f là q−lồi và q−đơn điệu Giả sử rằng c k ≥ q ( 1+ a + q b ) nếu f là hàm q−giảm và ck ≤ q(a+b) 1+q nếu f là hàm q−tăng Khi đó f(ck) ≤ 1 b−a
(iii) Cho hàm f là q−lồi trên [a, b] Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau đây
Bài viết chứng minh rằng bất đẳng thức (2.51) là bất đẳng thức bên trái của (2.5), trong khi bất đẳng thức (2.52) là bất đẳng thức bên trái của (2.6) Bất đẳng thức (2.53) được xác định là bất đẳng thức bên phải của (2.43), và bất đẳng thức (2.54) tương đương với (2.49) Cuối cùng, bất đẳng thức (2.55) được hình thành từ tổng các vế của bất đẳng thức (2.53) và (2.54).
Luận văn đã trình bày một số bất đẳng thức tích phân quan trọng cho q−đạo hàm và q−tích phân Cụ thể
• Trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản và quan trọng củaq−đạo hàm, q−tích phân, q−tích phân chặt;
Bài viết trình bày một số bất đẳng thức tích phân quan trọng liên quan đến q-đạo hàm và q-tích phân chặt, bao gồm bất đẳng thức q-Steffensen, q-Iyengar, q-Grüss, q-Chebyshev và q-Hermite-Hadamard Ngoài việc hệ thống hóa và giải thích các kết quả của H Gauchman trong tài liệu [11], chúng tôi còn chỉnh sửa một số sai sót trong bài báo đó, đây là đóng góp chính của luận văn.
Hoàng Thị Quỳnh Liên (2016) đã nghiên cứu về các bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi trong luận văn Thạc sĩ Toán học tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
[2] Đinh Hoài Lưu (2016), Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Tây Nguyên.
[3] Ninh Thị Lưu (2019), Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard-Fejér cho hàm p−lồi, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
[4] Cù Thị Ngọc Mai (2015), Về các bất đẳng thức kiểu Hadamard cho hàm r−lồi, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
[5] Nguyễn Văn Tuấn (2014), Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Lê Khánh Vân (2019) đã nghiên cứu về bất đẳng thức Hermite-Hadamard-Fejér cho hàm tiền lồi bất biến trong luận văn Thạc sĩ Toán học tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Nghiên cứu này đóng góp vào lĩnh vực toán học bằng cách làm sáng tỏ các đặc tính của hàm tiền lồi và ứng dụng của bất đẳng thức trong các bài toán thực tiễn.
[7] R.P Agarwal and S.S Dragomir (1996), “An application of Hayashi in- equality for differentiable functions”, Comput Math Appl 32, pp 95–99.
[8] M Bessenyei (2008), “The Hermite-Hadamard inequality on simplices”, The American Mathematical Monthly 115(4), pp 339–345.
[9] X.L Cheng (2001), “The Iyengar-type inequality”, Applied Mathematics Letters 14, pp 975–978.
[10] I Franji´c, J.Pe˘ccari´c and I Peri´c, “Note on an Iyengar type inequality”, Applied Mathematics Letters 19, pp 657–660.
[11] H Gauchman (2004), “Integral inequalities in q-calculus”, Computers and Mathematics with Applications, 47, pp 281–300.
[12] G Gr¨uss (1935), “Uber das maximum des absoluten betrages von
Rb a f(x)dxRb a g(x)dx”,Math Z.39, pp 215–226.
[13] K.S.K Iyengar (1938), “Note on an inequality”, Math Student 6, pp 75– 76.
[14] V Kac and P Cheung (2002), Quantum Calculus, Springer-Verlag.
[15] M Kunta and I Iscan (2017), "Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for p−convex functions", Arab J Math Sci 23, pp 215–230.
[16] X Li, N Mohapatra and R.S Rodriguez (2002), “Gr¨uss-type inequalities”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 267, pp 434–443.
[17] D.S Mitronovi´c, J.E Pe˘cari´c and A.M Fink (1993), Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic.
[18] M.A Noor, K.I Noor and M.U Awan (2015), “Some quantum estimates for Hermite–Hadamard inequalities”, Applied Mathematics and Computa- tion, 251, pp 675–679.
[19] M.A Noor, K.I Noor and S Rashid (2019), “Some new classes of preinvex functions and inequalities”, Mathematics 7(1), pp.1-16.
[20] F Qi (1996), “Inequalities for an integral”, Math Gaz 80, pp 376–377.