Tứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦

❍↔✐ P❤á♥❣✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾

◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥

❇ò✐ ✣ù❝ ❍✉②

tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ♥ú❛ ✈➲ tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❝→❝

❞➜✉ ❤✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝↕♥❤✱ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✱ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❞✐➺♥ t➼❝❤✱ ❧✐➯♥q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ❜➔♥❣ t✐➳♣✱✳✳✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ❣ç♠✿

tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ♥❣❛② tø ♥➠♠ ✶✼✷✺✱ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷ñ❝t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❜ð✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❚❤ö② s➽ ❏❛❦♦❜ ❙t❡✐♥❡r ✭✶✼✾✻✲✶✽✻✸✮ ✈➔♦ ♥➠♠

1d(P, CD) =

1d(P, BC) +

1d(P, DA).

cos A

2 cos

B2

cosA

2 cos

B2

asin A sin B + c′sin C sin D = c′sin C sin D

= b′sin B sin C + d′sin D sin A ✭✶✳✹✮

❙♦ s→♥❤ ✭✶✳✸✮ ✈➔ ✭✶✳✹✮ ❝❤♦

asin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A

ysin C sin D + x sin B sin C + z sin D sin A = 0 ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈➻

❍➻♥❤ ✶✳✺✿ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ

tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ♥➯♥

asin A sin B + c sin C sin D = b′sin B sin C

= b′sin B sin C + d′sin D sin A ✭✶✳✺✮

❙♦ s→♥❤ ✭✶✳✺✮ ✈î✐ ✭✶✳✸✮✿

bsin B sin C + d sin D sin A = b′sin B sin C + d′sin D sin A

⇔x(sin B sin C + sin D sin A) = 0

❱➻ x 6= 0✱ sin A = sin B❀ sin C sin D ✭❤❛✐ ❣â❝ ❜ò ♥❤❛✉✮ ♥➯♥ s✉② r❛✿

(1 − cos x)(1 − cos z)(1 + cos y)(1 + cos w) =

= (1 − cos y)(1 − cos w)(1 + cos x)(1 + cos z) ✭✶✳✼✮

✶✳✷ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ ❝↕♥❤ ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦

▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ t➻♠ r❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ tù ❣✐→❝

❧ç✐ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♠î✐ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ♠ëttr♦♥❣ ❜❛ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ð tr➯♥✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ✤➦❝ tr÷♥❣ t÷ì♥❣ tü ✈î✐

a2S(∆AP B),

1d(B, AC),1

r2

d(P, BC) +

1d(C, BD) +

1d(B, AC),1

r3

d(P, CD) +

1d(C, BD) +

1d(D, AC),1

✤è✐ ❞✐➺♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ tr➯♥ ❍➻♥❤ ✶✳✾

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳ ▼ët tù ❣✐→❝ ❧ç✐ ✤÷ì❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✹ t❛♠ ❣✐→❝ ❜ð✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣

❝❤➨♦ ❝õ❛ ♥â✳ ❳➨t ✹ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥➔② tr➯♥ ❝ò♥❣ ♠ët ✤÷í♥❣

❝❤➨♦ tù ❣✐→❝✳ ❚ù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t✐➳♣

✤✐➸♠ ð ✈➲ ♠ët ♣❤➼❛ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ t❤ù ❤❛✐ ❜➡♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐t✐➳♣ ✤✐➸♠ ♣❤➼❛ ❦✐❛ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ✤â✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ❦þ ❤✐➺✉ ♥❤÷ tr➯♥ ❍➻♥❤ ✶✳✶✵ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tù

❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ t✐➳♣ t✉②➳♥ t❛ ❝â✿

AT1 = AT1′′ = AP − P T1′′; BT1 = BT1′ = BP − P T1′

❱➔♦ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✵✹ ❜➔✐ ❜→♦ ✈➲ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ❝æ♥❣ ❜è

❜ð✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❆♥❤ ❈❤r✐st♦♣❤❡r ❇r❛❞❧❡②✳ Ð ❜➔✐ ❜→♦ ✤â æ♥❣ ❝♦✐ ❜➔✐t♦→♥ tr➯♥ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ❣✐↔ t❤✉②➳t✳ ❚❤ü❝ t➳ ❣✐↔ t❤✉②➳t ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣

❜è tr÷î❝ æ♥❣ ♠ët ♥➠♠✳ ❇➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✤↔♦ ❝õ❛ ❣✐↔ t❤✉②➳t

cos β =

sin2βcos2

β.

❚❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ t÷ì♥❣ tü ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❦❤→❝✳

(BP + CP − BC)(DP + AP − DA)(BP + CP + BC)(DP + AP + DA)

sinA2

❝❤➨♦✳ ❑❤✐ ①❡♠ ①➨t ✤➳♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤→❝ t❛

❝á♥ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ❧➔ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✱ ♠ët ❤➺ t❤ù❝ ❝ç♥❣

❦➲♥❤ ♥❤÷♥❣ tø ✤â ❧↕✐ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♠ët ❦➳t q✉↔ tèt✳

✤÷í♥❣ trá♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

(AB + AP − BP )(CD + CP − DP )(AB − AP + BP )(CD − CP + DP )

= (BC − BP + CP )(DA − DP + AP )(BC + BP − CP )(DA + DP − AP )

tanz

2 =

s

(CD + CP − DP )(DP + CP − CD)(CD + CP + DP )(DP − CP + CD)

tany

2 =

s

(DA + AP − DP )(DP + AP − DA)(DA + AP + DP )(DP − AP + DA)

tanw

2 =

s

(BC + CP − BP )(BP + CP − BC)(BC + CP + BP )(BP − CP + BC)

= (DA + AP − DP )(DP + AP − DA)(DA + AP + DP )(DP − AP + DA)×(BC + CP − BP )(BP + CP − BC)(BC + CP + BP )(BP − CP + BC)

❘ót ❣å♥ ✷ ✈➳ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✵ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

2 1

AIB +CID[ = π = AID[ +BIC[ ✭✶✳✷✸✮



= 2π − π = π

❈❤÷ì♥❣ ✷

❚ù ❣✐→❝ ❝→♥❤ ❞✐➲✉ ✈➔ tù ❣✐→❝ s♦♥❣ t➙♠

✷✳✶✳✶ ▼ët sè ❤➺ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥

❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❜ê ✤➲ ✈➲ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣

♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✽❪✳

❚❛ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜ê ✤➲ s❛✉ ♠➔ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔②tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳



kl

❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ❞♦ ✤â t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❧î♥ ♥❤➜t✳ ◆❣÷ñ❝

❧↕✐✱ ♥➳✉ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❧î♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐t✐➳♣ ✭❍➻♥❤ ✷✳✶✮✱ t❤➻ tù ❣✐→❝ ❧➔ ♠ët tù ❣✐→❝ ❝→♥❤ ❞✐➲✉ ✈➻ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❧î♥

θ2

✷✳✷ ❚ù ❣✐→❝ s♦♥❣ t➙♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t

▼ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥ú❛ ❝õ❛ tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣✱ ✤â ❧➔ tù ❣✐→❝s♦♥❣ t➙♠✳ ▼ët tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ❧↕✐ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ ❣å✐

✤✐ q✉❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ✷ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ tù ❣✐→❝✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✽ ✭✣à♥❤ ❧þ ✻✱ ❬✷❪✮✳ ▼ët tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ s➩ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣trá♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ◆❡✇t♦♥ ❝õ❛ ♥â ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣t❤➥♥❣ ◆❡✇t♦♥ ❝õ❛ tù ❣✐→❝ t↕♦ ❜ð✐ ✹ t✐➳♣ ✤✐➸♠✳

(R − d)2.

▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ♠✉è♥ t➻♠ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❝→❝ ❣â❝ tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝→❝ ✤♦↕♥t❤➥♥❣ t✐➳♣ t✉②➳♥✳ ❈→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❦❤→ ❝ç♥❣ ❦➲♥❤ ♥❤÷♥❣ ✤➲✉ ❝â q✉②

❧✉➟t r✐➯♥❣✳ ✣✐➲✉ q✉❛♥ trå♥❣ ❧➔ tø ✤➙② t❛ ❝â t❤➸ rót r❛ ✤÷ñ❝ ❝→❝ t❤æ♥❣t✐♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ tr♦♥❣ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝ö t❤➸✳

sinB

2 =

s

ef g+ f gh + ghe + hef(f + e)(f + g)(f + h)

sinC

2 =

s

ef g+ f gh + ghe + hef(g + e)(g + f )(g + h)

sinD

2 =

s

ef g+ f gh + ghe + hef(h + e)(h + f )(h + g)

✤➙② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➻♥❤ ❜➔② t♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣

♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♠➔ ❝❤➾ ♥➯✉ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ✤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❝→❝ ❜➔✐t♦→♥ ✈➲ tù ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✳ ❈ô♥❣ ❝❤➼♥❤ tøù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♠➔ t❛ ❝â t❤➸ s→♥❣ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠î✐✳

F = AD ∩ BC✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ❜è♥ ✤÷í♥❣trá♥ (EAD), (EBC), (F AB), (F CD)✳

❝→❝ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②

✭tø ✷✵✵✾ ✤➳♥ ✷✵✶✹✮ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ▼✐♥❝✉❧❡t❡ tr♦♥❣ ❬✻❪✱ ❏♦s❡❢ss♦♥tr♦♥❣ ❬✷❪✱ ❬✹❪✱ ❬✺❪✳

✸✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ tù ❣✐→❝ t✐➳♣ ①ó❝✱ ✤➳♥ ù♥❣

❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✳ ✣→♥❣ ❝❤ó þ ❧➔ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ t♦→♥tr➯♥ ❝→❝ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ tù ❣✐→❝ ✈➔ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝â ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤➨♣