Tứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quan (Luận văn thạc sĩ)

Tứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quanTứ giác ngoại tiếp và các vấn đề liên quan

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

Danh möc h¼nh

1.1 ành lþ Pithot 4

1.2 Mët b§t ¯ng thùc h¼nh håc 5

1.3 Chùng minh ành lþ 1.1 6

1.4 Chùng minh i·u ki»n c¦n 7

1.5 Chùng minh i·u ki»n õ 9

1.6 C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu 11

1.7 i·u ki»n tù gi¡c ngo¤i ti¸p cõa Wu 12

1.8 Hai ÷íng trán ti¸p xóc 2 c¤nh, 1 ÷íng ch²o 15

1.9 C¡c ÷íng trán ti¸p xóc ð c¡c ph½a hai ÷íng ch²o 16

1.10 C¡c ti¸p iºm cõa 4 ÷íng trán 17

1.11 Gi£ thuy¸t cõa Christopher Bradley 18

1.12 °c tr÷ng Vainshtein 19

1.13 1 R1 + 1 R3 = 1 R2 + 1 R4 22

1.14 C¡c ÷íng trán ngo¤i ti¸p cõa Christopher Bradley 23

1.15 i·u ki»n c¦n v  õ thù 8 26

1.16 i·u ki»n c¦n v  õ thù 9 27

1.17 i·u ki»n c¦n v  õ thù 9 29

2.1 C¡c ÷íng cao h1, h2, h3, h4 35

2.2 Tù gi¡c ngo¤i ti¸p n y l  mët tù gi¡c c¡nh di·u 36

2.3 ÷íng trán nëi ti¸p trong tam gi¡c 37

2.4 Bèn ÷íng trán nëi ti¸p trong c¡c tam gi¡c nhä 38

2.5 ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c èi di»n ¿nh C 39

2.6 Bèn ÷íng trán b ng ti¸p bèn tam gi¡c nhä èi di»n ¿nh P 40 2.7 Tù gi¡c song t¥m 41

2.8 China Western Mathematical Olympiad 2003 42

2.9 ABCD nëi ti¸p ÷ñc khi v  ch¿ khi ∆IJ K l  tam gi¡c vuæng 43 2.10 ÷íng th¯ng Newton cõa ABCD v  W XY Z 44

2.11 H¼nh thang c¥n ngo¤i ti¸p 45

2.12 Gâc α giúa c°p c¤nh èi di»n cõa tù gi¡c KLM N 46

3.1 ë d i c¡c d¥y cung ti¸p xóc W X v  Y Z 48

3.2 D¥y cung ti¸p xóc W X, Y Z i qua giao iºm 2 ÷íng ch²o 50

3.3 Gâc ϕ giúa 2 d¥y cung W X v  Y Z 51

3.4 Tù gi¡c ti¸p xóc W XY Z 52

3.5 Chùng minh ành lþ Fuss 53

3.6 T½nh sin cõa mët nûa gâc A 55

3.7 V½ dö 3.3.1 56

3.8 V½ dö 3.3.3 57

3.9 V½ dö 3.3.5 58

Möc löc

1 ành lþ Pithot v  c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng 3

1.1 Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p 3

1.2 C¡c i·u ki»n v· c¤nh v  ÷íng ch²o 12

1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c 13

1.4 °c tr÷ng v· gâc v  ÷íng trán 20

2 Tù gi¡c c¡nh di·u v  tù gi¡c song t¥m 31 2.1 Tù gi¡c c¡nh di·u v  c¡c t½nh ch§t 31

2.1.1 Mët sè h» thùc li¶n quan 31

2.1.2 C¡c i·u ki»n c¦n v  õ 32

2.1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c 36

2.2 Tù gi¡c song t¥m v  c¡c t½nh ch§t 41

2.2.1 Mët sè °c tr÷ng cõa tù gi¡c song t¥m 41

2.2.2 Hai °c tr÷ng mîi cõa tù gi¡c song t¥m 42

3 C¡c v§n · li¶n quan 47 3.1 o¤n th¯ng ti¸p tuy¸n v  d¥y cung ti¸p xóc 47

3.2 Tù gi¡c ti¸p xóc 51

3.3 Tù gi¡c ngo¤i ti¸p v  ph²p nghàch £o 55

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn

÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i,Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng Tæi xin ch¥n th nh b y

tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èivîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y

cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11B (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc

- ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡ucông nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Xin tr¥n trång c£m ìn!

H£i Pháng, th¡ng 5 n«m 2019

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Bòi ùc Huy

Mð ¦u

1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n

Möc ½ch cõa · t i n y l :

cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p th÷íng ½t ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c s¡ch h¼nhhåc ð Vi»t nam, n¸u câ công ch¿ nâi ¸n ành lþ Pithot, trong khit½nh ch§t cõa tù gi¡c nëi ti¸p ÷ñc giîi thi»u th÷íng xuy¶n Ngo i

ra, cán câ lîp c¡c tù gi¡c °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p câ nhi·uùng döng trong gi£i to¡n Giîi thi»u v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p còng c¡ctr÷íng hñp °c bi»t cõa nâ l  lþ do chån · t i cõa tæi

l  c¡c i·u ki»n c¦n v  õ) cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p, c¡c °c tr÷ng cõa

tù gi¡c c¡nh di·u v  cõa tù gi¡c song t¥m chóng tæi muèn kh¯ng ành

sü phong phó v  s¥u s­c cõa h¼nh håc sì c§p khi chóng ta bi¸t tênghñp, khai th¡c c¡c kh½a c¤nh cõa kh¡i ni»m b¬ng c¡c cæng cö s®n câ

gâp ph¦n  o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh håc

2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t

Tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v  õ º mët tù gi¡c lçi l  tù gi¡c ngo¤iti¸p Sau â x²t 2 tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p: Tù gi¡cc¡nh di·u, tù gi¡c song t¥m v  c¡c t½nh ch§t cõa chóng Ph¡t biºu v chùng minh mët sè h» thùc li¶n quan Nëi dung luªn v«n chia l m 3ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 ành lþ Pithot v  c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng

Sau khi ph¡t biºu v  chùng minh ch°t ch³ ba ành lþ cì b£n cõa tùgi¡c ngo¤i ti¸p (tham kh£o v  bê sung chi ti¸t trong [1], [6]) luªn v«n

tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v  õ núa v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p chia l m c¡cd§u hi»u li¶n quan ¸n c¤nh, ÷íng ch²o, li¶n quan ¸n di»n t½ch, li¶nquan ¸n c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v  b ng ti¸p, Ch÷ìng n y bao gçm:1.1 Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p

1.2 C¡c i·u ki»n v· c¤nh v  ÷íng ch²o

1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c

1.4 °c tr÷ng v· gâc v  ÷íng trán

Ch÷ìng 2 Tù gi¡c c¡nh di·u v  tù gi¡c song t¥m

¥y l  hai tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p Vîi nhúng gi£thi¸t °c bi»t ta thu ÷ñc c¡c d§u hi»u °c tr÷ng cõa tù gi¡c c¡nh di·u

v  tù gi¡c song t¥m còng c¡c t½nh ch§t kh¡c Ch÷ìng n y bao gçm c¡cmöc sau:

Ch֓ng 1

ành lþ Pithot v  c¡c i·u ki»n

t֓ng ֓ng

1.1 Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p

Ta nh­c l¤i tù gi¡c ngo¤i ti¸p ÷íng trán l  tù gi¡c lçi m  t§t c£ c¡cc¤nh ·u ti¸p xóc vîi mët ÷íng trán hay tù gi¡c ngo¤i ti¸p l  tçn t¤itçn t¤i mët ÷íng trán nëi ti¸p trong tù gi¡c L÷u þ r¬ng ÷íng trán nëiti¸p â l  duy nh§t Trong to n bë luªn v«n chóng tæi s³ sû döng tùgi¡c ngo¤i ti¸p' thay cho c¡ch nâi tù gi¡c ngo¤i ti¸p mët ÷íng trán.D¹ th§y khæng ph£i måi tù gi¡c lçi ·u l  tù gi¡c ngo¤i ti¸p Do â,muèn mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p c¦n ph£i câ th¶m mët (ho°c mët sè) i·uki»n n o â, m  ta gåi l  i·u ki»n c¦n v  õ º mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p.D§u hi»u nhªn bi¸t mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p xu§t hi»n sîm v  âng vaitrá quan trång l  ành lþ Pithot Henri Pithot (1695-1771) l  mët kÿs÷ ng÷íi Ph¡p ¢ cæng bè i·u ki»n c¦n v  công l  i·u ki»n õ º mët

tù gi¡c ngo¤i ti¸p ngay tø n«m 1725, ph²p chùng minh ¦u ti¶n ÷ñcthüc hi»n bði nh  to¡n håc Thöy s¾ Jakob Steiner (1796-1863) v o n«m1846

AM = AQ, BM = BN, CN = CP, DP = DQ Cëng v¸ vîi v¸ ta câ

AB + CD = BC + DA

H¼nh 1.1: ành lþ Pithot

Do AB + CD = BC + DA n¶n BC ≤ DC Khi â tçn t¤i Q ∈ AD,

P ∈ DC sao cho AB = AQ v  CB = CP, suy ra DP = DQ Tø â,

Chó þ Ta cán câ k¸t qu£ m¤nh hìn ành lþ Pithot v  công l  c¡ch

Thªt vªy, kþ hi»u nh÷ H¼nh 1.2 th¼ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh

Þ ngh¾a cõa b§t ¯ng thùc n y l  ð ché: k¸t qu£ têng qu¡t hìn ành

lþ Pithot v  ta câ b§t ¯ng thùc nghi¶m ng°t khi ÷íng trán c­t mëtc¤nh tù gi¡c

÷íng trán khi v  ch¿ khi:

1d(P, AB) +

1d(P, CD) =

1d(P, BC) +

1d(P, DA).

hay vi¸t d÷îi d¤ng

Chùng minh Tr÷îc h¸t ta biºu di¹n (1.2) d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c X²t c¡c

P Md(C, AB) =

AP

AC =

P Fd(C, AD)

P Md(D, AB) =

BP

P Nd(D, BC)

P Nd(A, BC) =

P C

AC =

P Ed(A, DC)

H¼nh 1.4: Chùng minh i·u ki»n c¦n

Do â, (1.2) t÷ìng ÷ìng vîi

a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A (1.3)



cos A

2 cos

B2

Tø â suy ra h» thùc (1.3).

Tr÷íng hñp 1 H¼nh 1.5 a)

sû BC0 = b0, C0D0 = c0, D0A = d0, C0C = x, D00D0 = y, D0D = z, trong

b = b0 + x, c = c0− y, d = d0+ z V¼ ABC0D0 l  tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n

a sin A sin B + c0sin C sin D = c0sin C sin D

= b0sin B sin C + d0sin D sin A (1.4)

So s¡nh (1.3) v  (1.4) cho

a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A

y sin C sin D + x sin B sin C + z sin D sin A = 0 i·u n y m¥u thu¨n v¼

c­t BC, DA t÷ìng ùng ð C0, D0 Gi£ sû C0C = D0D = x, BC0 = b0 v 

H¼nh 1.5: Chùng minh i·u ki»n õ

D0A = d0 Rã r ng b0 = b − x, d = d0+ x, C0D0 = CD = c V¼ABC0D0l 

tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n

a sin A sin B + c sin C sin D = b0sin B sin C

= b0sin B sin C + d0sin D sin A (1.5)

So s¡nh (1.5) vîi (1.3):

b sin B sin C + d sin D sin A = b0sin B sin C + d0sin D sin A

⇔x(sin B sin C + sin D sin A) = 0

V¼ x 6= 0, sin A = sin B; sin C sin D (hai gâc bò nhau) n¶n suy ra:

2 sin A sin C = 0 Væ lþ ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n

Trong [6] Nicusor Minculete tr½ch d¨n mët °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa

tù gi¡c ngo¤i ti¸p do Marius Iosifescu cæng bè trong mët t¤p ch½ côcõa Romanian (Iosifescu, Problem 1421, The Mathematical Gazette (in

ph²p chùng minh °c tr÷ng n y cõa Iosifescu v¼ khæng câ b£n ti¸ngAnh, æng công khæng x¡c ành ÷ñc ph²p chùng minh sau ¥y cõa æng

câ gièng ph²p chùng minh cõa Iosifescu khæng Câ thº coi °c tr÷ngIosifescu sau ¥y l  °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p

trong â, x = ABD, y =\ ADB, z =\ BDC, w =\ DBC\.

2 =

1 − cos u

1 + cos u ta th§y(1.6) t÷ìng ÷ìng vîi

i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi

(1 − cos x)(1 − cos z)(1 + cos y)(1 + cos w) =

= (1 − cos y)(1 − cos w)(1 + cos x)(1 + cos z) (1.7)

H¼nh 1.6: C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu

i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi

1.2 C¡c i·u ki»n v· c¤nh v  ÷íng ch²o

Mët trong nhúng con ÷íng t¼m ra c¡c i·u ki»n c¦n v  õ º tù gi¡clçi ngo¤i ti¸p l  chùng minh c¡c i·u ki»n mîi n y t÷ìng ÷ìng vîi mëttrong ba ành lþ cì b£n ð tr¶n Sau ¥y l  hai °c tr÷ng t÷ìng tü vîi

ành lþ Pithot:

khi v  ch¿ khi x£y ra 1 trong 2 i·u ki»n

BP + BQ = DP + DQ; AP − AQ = CP − CQ

Chùng minh i·u ki»n n y ÷ñc chùng minh b¬ng ph£n chùng

i·u ki»n õ Ta chùng minh ch¯ng h¤n câ BP + BQ = DP + DQ

V¼ BP + BQ = DP + DQ v  BP + BQ0 = D0P + D0Q0, k²o theo

QS + SQ0 = QQ0 M¥u thu¨n

a2S(∆AP B),

1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c

Trong mët b i b¡o n«m 2000, (Problem 10698, Amer Math Monthly,105(1998) 995; solution, 107 (2000), 657-658 ), Wu Wei Chao ÷a ra

∆AP B, ∆BP C, ∆CP D, ∆DP A, t÷ìng ùng Khi â câ k¸t qu£ sauM»nh · 1.3 Tù gi¡c lçi ABCD ngo¤i ti¸p ÷ñc khi v  ch¿ khi

1d(A, BD) +

1d(B, AC),1

r2

d(P, BC) +

1d(C, BD) +

1d(B, AC),1

r3 =

1d(P, CD) +

1d(C, BD) +

1d(D, AC),1

r4 =

1d(P, AD) +

1d(A, BD) +

1d(D, AC),

Tø â suy ra sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.13) v  (1.2)

M»nh · 1.4 Tù gi¡c lçi l  tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¸u v  ch¿ n¸u hai

÷íng trán nëi ti¸p trong hai tam gi¡c t¤o bði mët ÷íng ch²o ti¸p xócvîi nhau

H¼nh 1.8: Hai ÷íng trán ti¸p xóc 2 c¤nh, 1 ÷íng ch²o

Cëng v¸ vîi v¸ c¡c ¯ng thùc tr¶n:

2ZW = a − w − b + z + c − z − d + w = a − b + c − d

2|a − b + c − d| Ta °t d§u gi¡ trà tuy»t èi v¼ Z v  W

câ thº êi và tr½ cho nhau trong mët tù gi¡c n o â, câ ngh¾a l  câ kh£

2(−a + b − c + d).

B¥y gií, hai ÷íng trán nëi ti¸p ð hai ph½a cõa mët ÷íng ch²o, ti¸p

vîi a + c = b + d ành lþ ÷ñc chùng minh nhí ành lþ Pithot

Mët c¡ch ph¡t biºu kh¡c cõa k¸t qu£ n y l : Hai ÷íng trán nëi ti¸ptrong hai tam gi¡c t¤o bði mët ÷íng ch²o tù gi¡c lçi ti¸p xóc nhaun¸u v  ch¿ n¸u hai ÷íng trán nëi ti¸p trong hai tam gi¡c t¤o bði ÷íngch²o kia ti¸p xóc nhau C¡c ti¸p iºm nâi chung khæng tròng nhau, xemH¼nh 1.9

M»nh · 1.5 Bèn ÷íng trán nëi ti¸p trong 4 tam gi¡c t¤o bði c¡c

÷íng ch²o tù gi¡c lçi ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh t¤i 8 iºm Tù gi¡c ngo¤iti¸p khi v  ch¿ khi têng c¡c kho£ng c¡ch giúa hai ti¸p iºm cõa hai c¤nh

èi di»n b¬ng nhau, ngh¾a l  tr¶n H¼nh 1.9

H¼nh 1.9: C¡c ÷íng trán ti¸p xóc ð c¡c ph½a hai ÷íng ch²o

CU = CV, DW = DX Sû döng ành lþ Pithot ta nhªn ÷ñc

AB + CD = BC + DA ⇐⇒ AZ + ZS + BS + CV + V W + DW =

BT + T U + CU + DX + XY + AY ⇐⇒ ZS + V W = T U + XY

Bèn ÷íng trán nëi ti¸p nâi tr¶n cán câ t½nh ch§t thó và kh¡c: n¸u

iºm ð v· mët ph½a cõa ÷íng ch²o thù hai b¬ng kho£ng c¡ch giúa haiti¸p iºm ph½a kia cõa ÷íng ch²o â

Chùng minh Sû döng kþ hi»u nh÷ tr¶n H¼nh 1.10 ta s³ chùng minh tù

Theo t½nh ch§t cõa c¡c ti¸p tuy¸n ta câ:

AT1 = AT100 = AP − P T100; BT1 = BT10 = BP − P T10

H¼nh 1.10: C¡c ti¸p iºm cõa 4 ÷íng trán

n¶nAB = AP +BP −2P T10 Ho n to n t÷ìng tü,CD = CP +DP2P T30.Cëng v¸ vîi v¸ hai ¯ng thùc cuèi nhªn ÷ñc:

P = AC ∩ BD Chùng minh r¬ng 4 t¥m ÷íng trán nëi ti¸p c¡c tamgi¡c ABP, BCP, CDP, DAP t¤o th nh mët tù gi¡c nëi ti¸p B i to¡n

n y xu§t hi»n trong CTK Exchange, http://www.cut-the-knot.org v on«m 2003, ÷ñc nhi·u t¡c gi£ tranh luªn tri·n mi¶n Sau â, b i to¡n

÷ñc gi£i quy¸t bði Darij Grinberg vîi vi»c bê sung nhi·u t½nh ch§t mîi

v  sü trñ gióp cõa nhi·u ng÷íi T¤i sao b i to¡n n y câ t¶n gåi l  gi£thuy¸t cõa Christopher Bradley?

V o th¡ng 11 n«m 2004 b i b¡o v· ÷íng trán ngo¤i ti¸p cæng bèbði nh  to¡n håc Anh Christopher Bradley Ð b i b¡o â æng coi b ito¡n tr¶n nh÷ l  mët gi£ thuy¸t Thüc t¸ gi£ thuy¸t n y ¢ ÷ñc cæng

bè tr÷îc æng mët n«m B i to¡n t÷ìng tü, m»nh · £o cõa gi£ thuy¸t

H¼nh 1.11: Gi£ thuy¸t cõa Christopher Bradley

Christopher Bradley l¤i ÷ñc ÷a ra n«m 1998 bði Toshio Seimiya:

P CD, P DA Gi£ sû I1, I2, I3, I4 n¬m tr¶n mët ÷íng trán th¼ ABCD

l  tù gi¡c ngo¤i ti¸p

Mët n«m sau â Woo ¢ cæng bè mët líi gi£i µp cho b i to¡n n y(xem T Seimiya and P.Y Woo, Problem 2338, Crux Math.,24(1998)234; solution, ibid., 25 (1999) 243-245 ) Woo ¢ têng qu¡t hâa v  cæng

bè k¸t qu£ sau, mët trong nhúng °c tr÷ng tuy»t víi cho mët tù gi¡cngo¤i ti¸p: Khi mët tù gi¡c lçi ÷ñc chia th nh bèn tam gi¡c bîi 2 ÷íngch²o th¼ c¡c t¥m nëi ti¸p cõa 4 tam gi¡c â t¤o th nh mët tù gi¡c nëiti¸p khi v  ch¿ khi tù gi¡c ¢ cho l  mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p Tuy nhi¶ncán câ mët cæng bè sîm hìn v· k¸t qu£ tr¶n: Theo [6], b i to¡n (thuªn

v  £o) ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong t¤p ch½ Kvant cõa Nga v o n«m 1996bði I Vaynshtejn (xem [7]) B i b¡o [7] ÷ñc vi¸t b¬ng ti¸ng Nga n¶nnhi·u ng÷íi (kº c£ c¡c ëc gi£ cõa Forum Geometricorum) khæng åc

÷ñc ph²p chùng minh cõa nâ Nh÷ng b§t ký ai quan t¥m ¸n h¼nh håcnhí câ sü trñ gióp cõa h¼nh v³ ·u câ thº hiºu ÷ñc Sau ¥y ta s³ tr¼nh

b y ph²p chùng minh cõa Vainshtein trong [9] v· k¸t qu£ tr¶n (b i to¡nM1524 chùng minh i·u ki»n c¦n, t¡c gi£ bê sung th¶m i·u ki»n õ ).K¸t qu£ n y ÷ñc x¡c nhªn thuëc v· I Vainshtein

M»nh · 1.7 (B i to¡n M1524 trong [7]) Tù gi¡c lçi ABCD vîi

P = AC ∩ BD ngo¤i ti¸p khi v  ch¿ khi 4 t¥m c¡c ÷íng trán nëi ti¸p

cos β =

sin2βcos2β.

r2cos β; P O4 =

r4cos β.

nëi ti¸p

\

AP B,CP D, A\ 0, B0 ∈ AB; C0, D0 ∈ CD sao cho:

α = (AC, A0C0) = (B0D0, BD) Ð ¥y, 0 ≤ α ≤ α0 vîi α0 = 1

v  O02P < O2P ; O40P < O4P D¨n tîi m¥u thu¨n:

O10P.O03P > O1P.O3P = O2P.O4P > O02P.O40P

M»nh · ÷ñc chùng minh

1.4 °c tr÷ng v· gâc v  ÷íng trán

Trong 1.3 ta ¢ thu ÷ñc nhi·u i·u ki»n c¦n v  õ º tù gi¡c ngo¤iti¸p nhí vi»c x²t c¡c ÷íng trán nëi ti¸p trong 4 tam gi¡c ho°c kho£ng

c¡ch tø iºm P ¸n 4 c¤nh Ti¸p theo ta x²t i·u ki»n t÷ìng tü cho c¡c

÷íng trán b ng ti¸p cõa 4 tam gi¡c

Tr÷îc ¥y ta bi¸t r¬ng °c tr÷ng Minculete óng vîi c¡c ÷íng tránnëi ti¸p v  công óng èi vîi c¡c ÷íng trán b ng ti¸p (M»nh · 1.8).

Ho n to n t÷ìng tü, °c tr÷ng Vaynshtejn cán óng vîi c¡c ÷íng trán

b ng ti¸p hay khæng? C¥u tr£ líi l  câ v  ÷ñc chùng minh bði NikolaosDergiades trong N Dergiades, Hyacinthos message 9022, January 6,

2004 Ph²p chùng minh sau ¥y l  mët sü mð rëng nhä cõa æng

ti¸p ÷ñc

H¼nh 1.14: C¡c ÷íng trán ngo¤i ti¸p cõa Christopher Bradley

trong måi tù gi¡c lçi vîi ph²p chùng minh ìn gi£n

Mët °c tr÷ng kh¡c li¶n quan ¸n gi£ thuy¸t cõa Christopher Bradley

¥y câ l³ khæng ph£i °c tr÷ng µp nh÷ng nâ thº hi»n i·u ki»n giúac¡c canh èi di»n ÷ñc suy ra tø M»nh · 1.9

mët ÷íng trán n¸u v  ch¿ n¸u

(AP + BP − AB)(CP + DP − CD)(AP + BP + AB)(CP + DP + CD) =

(BP + CP − BC)(DP + AP − DA)(BP + CP + BC)(DP + AP + DA)

sinA2

Nh÷ vªy trong måi tù gi¡c lçi ta ·u câ:

(P I1.P I3)2 = AP.BP.CP.DP (AP + BP − AB)(CP + DP − CD)

(AP + BP + AB)(CP + DP + CD)

AP.BP.CP.DP (AP + BP − AB)(CP + DP − CD)

= AP.BP.CP.DP (BP + CP − BC)(DP + AP − DA)

(BP + CP + BC)(DP + AP + DA)

Sau khi rót gån ta câ i·u ph£i chùng minh

Chóng ta ¢ câ hai i·u ki»n c¦n v  õ º tù gi¡c ngo¤i ti¸p li¶nquan ¸n bèn ÷íng trán b ng ti¸p èi di»n vîi giao iºm hai ÷íngch²o Khi xem x²t ¸n ÷íng trán b ng ti¸p cõa c¡c tam gi¡c kh¡c tacán thu ÷ñc k¸t qu£ sau l  h» qu£ cõa ành lþ 1.3, mët h» thùc cçngk·nh nh÷ng tø â l¤i thu ÷ñc mët k¸t qu£ tèt

M»nh · 1.11 Tù gi¡c lçi ABCD vîi P = AC ∩ BD ngo¤i ti¸p mët

÷íng trán khi v  ch¿ khi

(AB + AP − BP )(CD + CP − DP )(AB − AP + BP )(CD − CP + DP )

= (BC − BP + CP )(DA − DP + AP )(BC + BP − CP )(DA + DP − AP )

tan A

2 =

s

(p − b)(p − c)p(p − a) =

s

(a − b + c)(a + b − c)(a + b + c)(−a + b + c)

tanz

2 =

s

(CD + CP − DP )(DP + CP − CD)(CD + CP + DP )(DP − CP + CD)

tany

2 =

s

(DA + AP − DP )(DP + AP − DA)(DA + AP + DP )(DP − AP + DA)

tanw

2 =

s

(BC + CP − BP )(BP + CP − BC)(BC + CP + BP )(BP − CP + BC)

= (DA + AP − DP )(DP + AP − DA)(DA + AP + DP )(DP − AP + DA)×(BC + CP − BP )(BP + CP − BC)(BC + CP + BP )(BP − CP + BC)

Rót gån 2 v¸ theo M»nh · 1.10 ta câ i·u c¦n chùng minh

Bê · 1.4.1 N¸u J1 l  t¥m ÷íng trán b ng ti¸p cõa tam gi¡c ABC

ac =

p − c

p − a

Ta ¢ câ thº x²t ti¸p °c tr÷ng kh¡c cõa tù gi¡c lçi ngo¤i ti¸p

ti¸p ∆ ABP ti¸p xóc vîi c¤nh AP, èi di»n ¿nh B

t÷ìng ÷ìng vîi

P KAP |B · P KCP |D = P KCP |B · P KAP |D (1.22)

(ph¥n gi¡c cõa gâc giúa hai ÷íng ch²o) i·u ki»n (1.22) l  c¦n v 

Chó þ r¬ng câ thº ph¡t biºu mët k¸t qu£ t÷ìng tü vîi c¡c ÷íng trán

gièng i·u ki»n (1.8) nh÷ng dòng c¡c ÷íng trán b ng ti¸p

H¼nh 1.16: i·u ki»n c¦n v  õ thù 9