Một số bài toán về điểm cố định

3 Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, nội dung hình học luôn luôn có sức hút đặc biệt đối với các học sinh có lòng ham mê môn Toán bởi vì thông qua việc đi tìm lời giải cho c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã s ố: 60.46.01.13

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

Thái Nguyên, 2015

2

1.1 Tính chất đồng quy của các đường trong tam giác 3

1.3 Phương tích của một điểm đối với đường tròn 6

1.5 Tính chất cộng tuyến và tích vô hướng của vectơ 9

Chương 2: Một số bài toán liên quan đến điểm cố định

2.1 Một số bài toán liên quan đến đường thẳng 10 2.2 Một số bài toán liên quan đến đường tròn 27

3

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, nội dung hình

học luôn luôn có sức hút đặc biệt đối với các học sinh có lòng ham mê môn Toán bởi vì thông qua việc đi tìm lời giải cho các bài toán hình học, các em

học sinh có cơ hội để phát triển tư duy, trí tưởng tượng và khả năng lập

- Xác định điểm cố định của một họ đường thẳng, họ các đường tròn;

- Xác định điểm cố định mà quỹ tích luôn đi qua…

phần nhiều là các bài tập khó dành cho học sinh khá, giỏi và thường chỉ

xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp

Với mong muốn đi sâu tìm hiểu về các bài toán chứng minh hình học liên quan đến điểm cố định để có thể vận dụng trực tiếp vào công tác giảng

dạy môn Toán ở nhà trường phổ thông, Em chọn đề tài “Một số bài toán

v ề điểm cố định” làm đề tài luận văn Thạc sĩ của mình

Lu ận văn có các nhiệm vụ cụ thể sau:

1) Sưu tầm các bài toán chứng minh hình học có liên quan đến điểm

cố định trên tạp chí Toán học tuổi trẻ, các đề thi chọn học sinh giỏi Toán THCS, THPT và các sách chuyên khảo

2) Phân loại tìm ra cơ sở của cách giải quyết bài toán thường được sử

dụng trong phạm vi kiến thức phổ thông

3) Đưa ra lời chứng minh chi tiết cho một số bài toán trên tạp chí Toán học tuổi trẻ và đề thi chọn học sinh giỏi Toán

Để hoàn thành luận văn này, Em đã nhận được sự quan tâm, tạo mọi điều kiện của Trường Đại học Khoa học mà trực tiếp là Khoa Toán - Tin

4

Đặc biệt Em đã nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ tập thể các Thầy, Cô giáo tham gia giảng dạy các học phần trong suốt quá trình học tập cao học Nhân dịp này, cho phép Em được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô giáo đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo Em trong suốt thời gian học tập tại trường Đại học Khoa học

Do một số điều kiện chủ quan và khách quan, luận văn với chủ đề

“Một số bài toán về điểm cố định” còn chưa thực sự hoàn thiện theo ý

muốn Em tha thiết mong các Thầy, Cô giáo chỉ bảo để Em hoàn thiện hơn

nội dung của luận văn này

Em xin trân tr ọng cảm ơn

Học viên

Đoàn Thị Thu

5

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, em xin trình bày vắn tắt một số vấn đề phổ thông được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3]

1.1 Tính ch ất đồng quy của các đường trong tam giác

Tính ch ất: Trong một tam giác, ba đường cao (trung tuyến, trung

trực, phân giác) đồng quy tại một điểm

Ví dụ 1.1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB Gọi

H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác NAB Giả sử

NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc với BC tại E

Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của HK

Vậy K thuộc đường tròn (O)

Gọi S là điểm đối xứng của K qua E; R là điểm đối xứng của K qua D, ta có: BKC BSC (do đối xứng); BKC BAC (cùng chắn cung BM) nên

7

Qua giao điểm của các đường thẳng AE và BF, ta kẻ đường thẳng

CC1, với C1 nằm trên cạnh AB Khi đó, theo chứng minh ở phần thuận ta có: 1

Ví dụ 1.2: (Đề chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2007)

Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn nội tiếp I Gọi (ka) là đường tròn có tâm nằm trên đường cao của góc A và tiếp xúc trong với đường tròn (I) tại A1 Các điểm B1, C1xác định tương tự

Chứng minh AA1, BB1, CC1đồng qui tại P

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh bài toán:

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường

tròn (I) có D là tiếp điểm của đường

tròn bàng tiếp góc A lên BC Gọi M,

N là giao điểm của AD với (I) (N nằm

giữa A và M) Giả sử IM cắt đường

cao AH tại K, ta có KA = KM

Thật vậy:

Gọi E là tiếp điểm của (I) lên

BC Giả sử IE cắt (I) tại điểm thứ hai là N’ khác E Qua N’ vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại B’ và C’ Dễ thấy tồn tại một phép vị tự biến tam giác AB’C’ thành tam giác ABC

Phép vị tự đó cũng biến tiếp điểm N’ của đường tròn bàng tiếp (I) của

∆AB’C’ lên B’C’ thành tiếp điểm D của đường tròn bàng tiếp (J) của

∆ABC lên BC

Suy ra A, N’, D thẳng hàng hay N’ trùng với N

Khi đó, tam giác IMN đồng dạng với ∆KMA (do IN // AK), mà

∆IMN cân tại I nên ∆KAM cân tại K hay KA = KM, suy ra đường tròn có

8

tâm thuộc đường cao góc A, đi qua A và tiếp xúc với (I) tại M thì M thuộc

AD Ta có đường tròn đó là duy

nhất

Ta lại có:

Gọi D, E, F lần lượt là tiếp

điểm của đường tròn bàng tiếp các

góc A, B, C của tam giác ABC lên

1.3 P hương tích của một điểm đối với đường tròn

Khái niệm: Cho đường tròn tâm O, một điểm M cố định Một đường

thẳng thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B Ta luôn có

2 2 2 2

.

MA MB MO R d R không đổi và được gọi là phương tích của điểm

M đối với đường tròn (O); kí hiệu P(M/ (O))

Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2) Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường

thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn

(O1) và (O2)

Ví dụ 1.3: Cho đường tròn tâm O và hai đường kính AB, CD Tiếp

tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại P, PD cắt đường tròn (O) lần nữa tại G Chứng minh rằng các đường thẳng AG, BC, PO đồng quy

9

Lời giải:

Gọi I là trung

điểm của PA, I’ là

trung điểm của PC Ta

Vậy ta có: PO là trục đẳng phương của Ω và Ω’

AG là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và Ω’

BC là trục đẳng phương của (O) và Ω

Vậy AG, BC, PO đồng quy (ĐPCM)

1.4 Phép v ị tự

Khái ni ệm phép vị tự: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M'

sao cho: OM '  k OM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k

Kí hiệu: k

O

V ; điểm O gọi là tâm vị tự, và k gọi là tỷ số vị tự

Phép vị tự hoàn toàn được xác định khi biết tâm vị tự và tỷ sổ vị tự

- Ta có: V (M) = M' thì Ok M' gọi là ảnh của M qua k

OV

- Ba điểm O, M, M' thẳng hàng

10

- Nếu k > 0 thì M và M’ nằm cùng một bên với O (phép vị tự thuận)

- Nếu k < 0 thì M và M' nằm ở hai phía đối với điểm O (phép vị tự nghịch)

Hai đường tròn (O1) (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại C và tiếp xúc trong

với (O) tại D và E Gọi (d) là tiếp tuyến chung của (O1) và (O2) tại C AB là đường kính của (O) sao cho A, D, O1 cùng phía đối với (d) Chứng minh

đó Y là giao điểm của CO2 và (O2) suy ra AEB = ADB = 900

Do đó C là trực tâm của tam giác MAB (M là giao điểm của AD và BE), suy ra M (d)

Gọi P, H là giao điểm MC với DE và AB Ta có (MCPH) = - 1

suy ra (AD, AP, AC, AH) = -1 (1)

11

Mặt khác xét chùm (AD, AO1, AC, AH) đường thẳng qua O1 song song với AH cắt AD và AC tại X và C và O1 là trung điểm của CX nên (AD, AO1, AC, AH) = -1 (2)

Từ (1) và (2) ta có A, O1, P thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta cũng có B, O2, P thẳng hàng

Vậy AO1, BO2, DE đồng quy tại P (ĐPCM)

1.5 Tính ch ất cộng tuyến và tích vô hướng của vectơ

Khái ni ệm: Hai vectơ gọi là hai vectơ cộng tuyến nếu tồn tại số thực

k sao cho OA kOB

Tính chất: Nếu tích vô hướng của hai vectơ bằng không thì chúng

vuông góc với nhau

Để chứng minh các đường thẳng, đoạn thẳng đi qua điểm cố định, ta có thể

vận dụng tính chất cộng tuyến của các vectơ như sau:

- Bước 1: Dự đoán điểm cố định (giả sử đó là điểm O)

- Bước 2: Xác định trên mỗi đường thẳng hai điểm A, B phân biệt và khác điểm O

- Bước 3: chứng minh: OA kOB , suy ra điều phải chứng minh

D C

B A

M

Chương 2: MỘT BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số các ví dụ được lựa

chọn trong các tài liệu [3], [4], [5], [6] và [9] Đối với một số ví dụ trong các tài liệu tham khảo chỉ có lời giải vắn tắt hoặc hướng giải quyết, em sẽ

cố gắng đưa ra lời giải chi tiết hơn

Bài toán 2.1:

Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn đó (AB không là đường kính) Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D phân biệt và không nằm trên đường tròn Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E, F khác M 1) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn 2) Gọi O1, O2 tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và BDF Chứng minh rằng khi C, D thay đổi trên đoạn AB các đường thẳng AO1 và BO2luôn cắt nhau tại một điểm cố định

Ý tưởng giải quyết bài toán:

- Dự đoán một điểm nào đó đặc biệt có khả năng là điểm cố định (là điểm chính giữa cung lớn AB)

- Chứng minh đường thẳng AO1 và BO2khi thay đổi vẫn đi qua điểm

13

Suy ra BCE+ MFE = 1800

Có BCE, MFE là 2 góc đối của tứ giác CDFE Suy ra CDFE là tứ giác nội tiếp đường tròn

2) Nếu D nằm giữa A và C, tương tự ta chứng minh được C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn

Hạ O1HAC, có O1A = O1C suy ra  O1AC cân tại O1 suy ra O1H vừa là tia phân giác AO C1  AO C = 21 AO H 1

Mặt khác AO C = 21 AEC  AO H = 1 AEC; AEC = MAB

Suy ra AO H = 1 MAB

Xét  AO1H vuông tại H, ta có AO H +1 HAO = 901 0

suy ra MAB + HAO = 901 0 suy ra MAO = 901 0

Vậy MA là tiếp tuyến của (O1)

Kéo dài AO1cắt (O) tại N suy ra MON = 2.MAN = 2 900 = 1800

Suy ra M, O, N thẳng hàng và MNAB Vậy N là điểm chính giữa cung lớn AB

Lập luận tương tự BO2 đi qua N là điểm chính giữa cung lớn AB

Do đó AO1, BO2đi qua N là điểm chính giữa cung lớn AB

Tương tự C nằm giữa A và D thì AO1 và BO2 cũng đi qua N

Vậy AO1, BO2luôn đi qua 1 điểm N cố định (ĐPCM)

Bài toán 2.2:

Cho tam giác ABC và điểm D di chuyển trên cạnh BC (D khác B và C) đường tròn (O1) đi qua D và tiếp xúc AB tại B Đường tròn (O2) đi qua

D và tiếp xúc AC tại C Gọi E là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2)

1) Chứng minh rằng khi D di động trên đoạn BC thì đường thẳng

ED luôn đi qua một điểm cố định

2) Kết quả trên còn đúng không trong trường hợp D di động ở ngoài đoạn BC

O 1 B

O 2 E

O 1 B

A

Ý tưởng giải quyết bài toán:

- Trước hết ta chứng minh A, B, C, E cùng nằm trên đường tròn

- Dự đoán điểm cố định (điểm S) và chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua S

BAC ABC ACB 180 do đó tứ giác

ABEC nội tiếp

Gọi S là giao của DE với đường tròn

(O) Vì ABC BED nên hai cung AC và

SB bằng nhau hay S là điểm cố định

2) Trường hợp điểm D nằm ngoài đoạn BC, chẳng hạn D nằm trên tia đối tia CB (trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự) Ta chứng minh được bốn điểm A, B, C, E cùng nằm trên đường tròn (O) Gọi DE cắt (O) tại điểm thứ hai S Kẻ tia Cy là tia đối của tia CA Khi đó trong đường tròn (O2) ta có

CED DCy; DCy ACB

Suy ra

CED ACB (không đổi)

suy ra

0

SEC 180 CED(không đổi)

Vậy SECkhông đổi hay điểm S cố định

15

1 x

H F

E D

Cho đường tròn tâm O, dây AB Điểm M di chuyển trên cung lớn

AB Các đường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB theo thứ tự ở C, D

1) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định

2) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H và vuông góc với CD cũng đi qua một điểm cố định

Ý tưởng giải quyết bài toán:

1) Ta dựa vào tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn để dự đoán đường thẳng đã cho đi qua điểm O cố định

2) Ta dựa vào tính chất trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng

Lời giải:

1) Kẻ tiếp tuyến Mx với đường

tròn (O), ta có M1 MAB

Tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn đường

kính AB nên MEF MAB

suy ra MEF M suy ra Mx//EF 1 vậy :

2) Gọi K là điểm đối xứng với O qua AB, ta có OK AB, mà

MH AB MH // OK

16

1 1

1 1

I O N

D

H

M

C K

E F

B A

Mặt khác, trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng

Vậy MH = OK nên tứ giác MHKO là hình bình hành HK // OM

Vì OM CD, nên HK CD Vậy đường thẳng kẻ từ H vuông góc CD đi qua điểm K Vì O, AB cho trước, nên K là điểm cố định (ĐPCM)

Bài toán 2.4:

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua BC Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường tròn (O) thì DE luôn đi qua một điểm cố định

Ý tưởng giải quyết bài toán

- Dựa vào các tứ giác nội tiếp, ta chứng minh H, I, K thẳng hàng

- Dự đoán điểm cố định (là trực tâm của tam giác ABC)

- Chứng minh đường thẳng DE đi qua điểm cố định đã dự đoán

17

K

N M

E F

Q P

I D

C

O B

P, MC cắt DE tại Q Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MPF và MQE luôn đi qua một điểm cố định

Ý tưởng giải quyết bài toán

Vì BC cố định cho trước, nên dự đoán MN có thể đi qua điểm cố định nào đó thuộc cạnh BC

Lời giải:

Gọi M, N là giao của hai đường

tròn ngoại tiếp tam giác MPF và MQE

Gọi giao điểm MN cắt PQ, BC theo thứ

tự tại K và I

Ta có các tứ giác MDCE, MDBF nội

tiếp nên MCE MDE MBC

Vậy KO là tiếp tuyến với đường tròn (MQE)

Tương tự, ta chứng minh KP là tiếp tuyến của đường tròn (MPF)

Ta có KM KN = KQ2 ; KM KN = KP2  KP = KQ

Xét tam giác MBC có: PQ//BC, KP = KQ Theo định lí Talét có I là trung điểm BC

18

Vậy MN đi qua điểm cố định I là trung điểm BC (ĐPCM)

Bài toán 2.6 ( Đề HSG bảng B - 2004)

Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O)

và có trực tâm H Trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O)

lấy điểm P sao cho P không trùng với B và C Lấy điểm D sao cho AD PC

và gọi K là trực tâm của tam giác ACD Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC và AB

Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của HK

Suy ra NEK ABK NMK

Nên MEKN là tứ giác nội tiếp

Dễ thấy tứ giác MEKN là hình thang cân  HE // NK nên HEKN

là hình bình hành Suy ra EF đi qua trung điểm I của HK (ĐPCM)

Bài toán 2.7 ( Đề thi HSG bảng B - 2005)

Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I

Gọi M, N và P lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, đường tròn bàng

tiếp góc B và đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác đó Gọi O1 ; O2 ; O3tương ứng là tâm của các đường tròn (INP), (IPM) và (IMN) Chứng minh

rằng:

tam giác vuông góc

nhau nên suy ra I là

trực tâm tam giác

MNP, suy ra các

đường tròn (INP), (IPM) và (IMN) đối xứng với đường tròn (MNP) tương ứng qua các đường thẳng NP, PM, MN Vì vậy bán kính của các đường tròn đó bằng nhau (ĐPCM) (có thể áp dụng định lý hàm sin để chứng minh bán kính các đường tròn (INP), (IPM), (IMN) và (MNP) bằng nhau)

2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (MNP) thì O1, O2,

O3 đối xứng với O tương ứng qua các đường thẳng PN, PM, MNtrung điểm M1, OO1 cũng là trung điểm của NP

Lập luận tương tự cho M2 và M3

Vậy ta có: O O1 2  2M M1 2 NM và O O1 3  2M M1 3 PM

Suy ra O NMO1 2 và O PMO1 3 là các hình bình hành

Vì hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường suy ra MO1 , NO2 , PO3 luôn cắt nhau tại một điểm (ĐPCM)

Bài toán 2.8 ( Đề chọn HSG-2008)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng d vuông góc

với đường thẳng AD Xét điểm M nằm trên d Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB, MC Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường

20

thẳng AB ở P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng

AC ở Q

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng

PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d

L ời giải:

Chọn hệ trục Oxy có O ≡ D, trục Oy ≡ DA

Khi đó Ox //d (như hình vẽ).Vì A  Oy nên A(0; a) với a ≠ 0 (do A ≠ D)

Giả sử B (b; c) Do B Oy nên b ≠ 0

Vì B và C đối xứng nhau qua O nên C (-b; -c) Khi đó:

Phương trình đường thẳng AB là: (a – c)x + by – ab = 0 và phương trình đường thẳng AC là: (a + c)x – by + ab = 0

21

Bài toán 2.9 (Đề thi HSG bảng B- 2000)

Trên mặt phẳng cho trước cho hai đường tròn (O1; r1) và (O2; r2) Trên đường tròn (O1; r1) lấy một điểm M1 và trên đường tròn (O2; r2) lấy

một điểm M2 sao cho đường thẳng O1M1 cắt đường thẳng O2M2 tại điểm Q Cho M1 chuyển động trên đường tròn (O1; r1), M2 chuyển động trên đường tròn (O2; r2) cùng theo chiều kim đồng hồ và cùng với vận tốc góc như nhau

1) Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng M1M2

2) Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M1QM2 với đường tròn ngoại tiếp tam giác O1QO2 là 1 điểm cố định

L ời giải:

1) Gọi O là trung điểm của O1O2 Hiển nhiên O là điểm cố định

Lấy các điểm M’1, M2’ sao cho: ,

1 1 1

OM O M ; '

1 2 2

OM O M

Vì M1, M2 tương ứng chuyển động trên (O1; r1), (O2; r2) theo cùng chiều và

với cùng vận tốc góc nên M’1, M’2 sẽ quay quanh O theo cùng chiều và với

vận tốc góc (*)

Ta có: M là trung điểm M1M2 nên  1 2

1 2

OM  O M O M Vậy M là trung điểm của M1’, M’2 (**)

Từ (*), (**) suy ra: quỹ tích của M là đường tròn tâm O và bán kính

22

2) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác

M1QM2 và đường tròn ngoại tiếp tam giác O1QO2 Ta có ∆PO1M1 đồng

Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC và nội tiếp đường tròn (O) tâm

O Gọi P là một điểm thay đổi trên đường thẳng BC và nằm ngoài đoạn BC sao cho PA không là tiếp tuyến của đường tròn (O) Đường tròn đường kính PD cắt (O) tại E (E ≠ D) Gọi M là giao điểm của BC với DE, N là giao điểm khác A của PA với (O) Chứng minh đường thẳng MN đi qua

một điểm cố định

L ời giải:

Gọi A’ là điểm

đối xứng của A qua

phương của đường tròn (O) và đường tròn (γ1) đường kính PD

Vì PNA' 900nên NA’ là trục đẳng phương của đường tròn (O) và đường tròn (γ2) đường kính PA’

Vì các trục đẳng phương đồng quy tại tâm đẳng phương nên suy ra

DE, BC và NA’ đồng quy tại điểm M

Vậy M, N, A’ thẳng hàng (ĐPCM)

Bài toán 2.11 ( Đề thi HSG bảng B - 2006)

Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn Xét một điểm M di động trên đường thẳng CD sao cho M không trùng với C và với D Gọi N

là giao điểm thứ hai khác M của đường tròn (BCM) và (DAM) Chứng minh rằng:

1) Điểm N di động trên một đường tròn cố định

2) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Nếu M nằm ngoài cạnh CD thì M và N ở khác phía đối với đường

thẳng AB Từ các tứ giác nội tiếp ANMD và BNMC, ta có:

24

Vậy N thuộc đường tròn cố định đi qua A và B

2) Gọi P=AD∩BC thì P cố định; Vì PA.PD=PB.PCP thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn (BCM) và (DAM)

Suy ra MN luôn đi qua P cố định (ĐPCM)

Bài toán 2.12 (Đề chọn HSG-2010)

Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) và hai điểm cố định B, C nằm trên đường tròn đó sao cho dây BC không là đường kính Xét một điểm A

di động trên (O) sao cho AB ≠ AC và A không trùng với B, C Gọi D và E

lần lượt là giao điểm của đường thẳng BC với đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc BAC Gọi I là trung điểm của DE Đường

thẳng qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với AI cắt các đường

thẳng AD và AE tương ứng tại M và N

1) CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

2) Tìm vị trí điểm A sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất

Phép quay Q (A, +90) biến: tia AL → tia AK;

tia AK → tia AE;