Một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ PHƯƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2019

❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦

❍↔✐ P❤á♥❣✱ t❤→♥❣ ✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✳✳✳

◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥

▲➯ P❤÷ì♥❣ ❚❤↔♦

❜❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉

S = mP ; P2 = nS ❤❛② R/r = N ∈N

✲ ◆➯✉ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✈➔ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝❤ó♥❣✿ ❚ù ❣✐→❝ ❤ú✉t✛✱ tù ❣✐→❝ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛❀ ❇ç✐ ❞÷ï♥❣ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❞↕② ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ❦❤â ðtr÷í♥❣ ❚❍❈❙ ✈➔ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ✤➔♦ t↕♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐→✐ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝✳

✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✱ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t

❉ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪✱ ❬✻❪ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➔✐t♦→♥ ❤❛② ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝ô♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤â ❤❛② ❣➦♣ tr♦♥❣

t✛ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ✭tù ❣✐→❝ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛✮ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t trå♥ ✈➭♥✳ Ð

✤➙② ❝ô♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ✈➔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝â ♥ë✐ ❞✉♥❣ sè ❤å❝ ✤➣ ❣➦♣tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐→✐✱ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ ❝→❝ ♥÷î❝✳

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✸ ♣❤➛♥✿

✸✳✶✳ ❚ù ❣✐→❝ ❝â ❝↕♥❤ ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❤ú✉ t✛

✸✳✷✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ tù ❣✐→❝ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛

✸✳✸✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝✳

2+ v2

w2

❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❦❤→❝ ✵✳

❱î✐ c = 1 t❛ ❝â ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ x = 2ab, y = a2

− b2, z = a2



❚❤❡♦ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ❧✐➺t ❦➯ ♠ët sè t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦ sü t➠♥❣

❝õ❛ ❝↕♥❤ ❧î♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✿

(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8),(6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13),(9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15),(10, 13, 13), (10, 10, 16),

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳ ❚r➼❝❤ ❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ①➳♣ t❤❡♦ ❞✐➺♥t➼❝❤ t➠♥❣ ❞➛♥✱ ♥➳✉ ❝ò♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❤➻ ①➳♣ t❤❡♦ ❝❤✉ ✈✐ t➠♥❣ ❞➛♥✳

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ t❤❡♦ sü t➠♥❣ ❞➛♥ ❝õ❛ ❝↕♥❤ ❧î♥ ♥❤➜t

r, ra, rb, rc ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣t✐➳♣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

●✐↔✐ ✤➛② ✤õ ✈➔ ✤÷❛ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ t➻♠ ❤➳t ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍●

❧➔ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ ❞ø♥❣ ❧↕✐ ð ✈✐➺❝ ✤÷❛ r❛ ❦➳t ❧✉➟♥t÷í♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝ö t❤➸✳

(mod4)✱ ♥❤÷ ✈➟② b = 2e, m = 2n ✈î✐ e, n ∈ N ♥➔♦ ✤â t❤ä❛

(e, n) = 1✳ ❚ø ✤â s✉② r❛✿ S = 3en ✈➔ rb = S

▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳ ❈â ♠ët ❤å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✭❦❤æ♥❣ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✮

❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍●✳

25n2

(2 + λ)mn ν

+ v2, u2

− v2, 2uv

 

m2

− 2m

26n2n2



218η2 2m2

+ 24n2

26n2 m2

+ 4n2

218n2 12n2

+ 3m2

+ m2, 24n2

þ t÷ð♥❣ ✤â ❝❤÷ì♥❣ s❛✉ t❛ s➩ ♥â✐ ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ❝â t❤➯♠ ❝→❝ r➔♥❣

❜✉ë❝ ✤➸ t➻♠ r❛ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✈➔ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➦❝ tr÷♥❣✳

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳

b = δ2 + 2mu

2mvu

= 20 = 4.5 = 2.10 = 1.20

A2 ❱î✐ u = 2, v = 2 t❤✐ 4m2

u2+ v2

= 32 = 4.8 = 2.16 = 1.32(a, b, c) =

(

(5, 12, 13)(6, 8, 10)

A3 ❱î✐ u = 2, v = 3 t❤➻ 4m2

u2+ v2

l3β − 4 = 23γ − 4 = 26 ;

(

l3β − 4 = 13γ − 4 = 52

S

− n2

m2+ n2

4N − 5 + 2J = 34N − 5 − 2J = 3

S = 14

2kγ03 − m1m2α0β0γ0 + v = 0

= nS✳

(η − c)2

− 12η



♥➯♥ t❛ ❝â

α

(η − c)2 − 1ξ − γ (ξ + c)2 − 1η = 0

αY 

(X − c)2 − 1− γX (Y + c)2 − 1 = 0 ✭✸✳✷✮

e =

s

(ac + bd)(ad + bc)

= λ2

2+ β2

− c2

= λ2 − 2λ cos E + 1

= (λ − cos E)2 + sin2E

ρ + λ + cos E =

sin Et



= c4



t + 1t

✱ t❤➻ tø ✭✸✳✽✮ t❛ ❝â

α = tt1 1 + t

2 1

1 + t2 2

2(t1 + t2) (1 − t1t2) , β =

tt2 1 + t2

1

2

1 + t2 2

✈➔ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ tù ❣✐→❝

2R = 1 + t

2 1

1 + t2 2

− b2

a2b =⇒ a2c = b a2 + c2 − b2

= b2+b(b+1), s✉② r❛(b−4)(b−1) =

✤➲ t❤✐ ✷✵✶✻✱ ❞♦ ◆❣❛ ✤➲ ♥❣❤à✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥✱ ❝→❝

✤➾♥❤ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ✈➔ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ✣➸ ❣✐↔✐ ♥â✱ ❦✐➳♥ t❤ù❝

❞ò♥❣ ✤➳♥ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ❝❛♦ ①❛ ♥❤÷♥❣ t÷ ❞✉② ♣❤↔✐ r➜t s→♥❣ t↕♦✳

❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥

▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉

✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✈➔ ❝→❝ ❦➳tq✉↔ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❘✐➯♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ①➨t ❝❤✐ t✐➳t ❤❛✐ tr÷í♥❣