Một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2018

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tr♦♥❣ ✤â✱ C = 2

3.

9(√

1 + cosα = 2.

1 + cos 2˜α

1 + sin 2˜α =

4(1 + tan ˜α)2

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✷✳✹ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ❤❛✐ ❤➻♥❤ trá♥ ❧î♥

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❈æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤å ❦❤→ ❞➔✐ ✭❦❤♦↔♥❣ ✷✺ tr❛♥❣✮✿ ❍å ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ r➡♥❣

✈î✐ ♠å✐ ∆ABC ♠➔ bA = 2α ≤ B = 2β ≤b C = 2γb ✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝ ❧➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ trá♥ k1, k2, k3✱ tr♦♥❣ ✤â k1 ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣t❛♠ ❣✐→❝✱ k2 ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❣â❝ bA✱ t✐➳♣ ①ó❝ ♥❣♦➔✐ ✈î✐ k1✳ ❈â

✷✳✸✳✶ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ✤↕✐ sè

●✐↔ sû ✤➣ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ❜❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC✱ ❦þ

❤✐➺✉ ❧➔ (OA, rA), (OB, rB), (OC, rC)✳ ❱✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉②

♥❤➜t ✸ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤â ❦❤æ♥❣ ❦❤â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✈✐➺❝ t➻♠ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣trá♥ ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♥❤÷ t❛ ♥❣❤➽✳ ✣➸ t❤➜② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❦❤æ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣ t❛

●✐↔ sû ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❧➔ (OA, rA), (OB, rB), (OC, rC)✱ ❝→❝ t✐➳♣t✉②➳♥ tøA, B, C ✤➳♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ t÷ì♥❣ ù♥❣u, v, w✳ ❳➨t ✤÷í♥❣trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ (I, r)✱ ❣å✐ a1, b1, c1 ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✤♦↕♥ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✈➩ tø ✤➾♥❤ t❛♠

s❛♦ ❝❤♦

✭✷✳✾✮

◆❤î ❧↕✐ r➡♥❣ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ s✐♥ a

sin α =

bsin β =

csin γ = 2R✳ ◆➳✉ R = 1

sin2γ′ = sin2α + sin2β + 2 sin α sin β cos γ′✱ tr♦♥❣ ✤â✱ γ′ = 1800

ð C2❀ ✤÷í♥❣ trá♥ (A, AY )✱ ❣✐❛♦ ✈î✐ AI ð D❀ ✤÷í♥❣ trá♥ (I, ID)✱ ❣✐❛♦

✈î✐ ✷ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✸ ❤➻♥❤ trá♥ t↕♦ t❤➔♥❤ ❝â ❞✐➺♥t➼❝❤ ❧î♥ ♥❤➜t✳ ❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ①✉➜t ❤✐➺♥ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ t÷ì♥❣ tü ✤➣ ✤÷ñ❝

2√3

=⇒ A1C1 = x − 2√3a

O1 ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ A1B1C1D1 ❝â ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝→❝❤ ❝↕♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣

❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD ♠ët ❦❤♦↔♥❣ = a✱ t➙♠ O2 ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣

t❤➻t(a, b) = 2a

✈➔ k1 ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣✳ ●✐↔ sû k ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣tr♦♥❣ ❣â❝ A ✈➔ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ k1✳ ❑❤✐ ✤â ❞➵ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ♥â

✈✉æ♥❣ ✈➔ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✳

2 + 1)2

(s + 1)2 ≤ 35 − 24

√2

✷✳✹✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥

◆❣÷í✐ t❛ ❝â t❤➸ t❤❛② t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❤♦➦❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ tr♦♥❣ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥tr➯♥ ❜➡♥❣ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ ✈➔ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ ❦✐➸✉ ▼❛❧❢❛tt✐ t❤ù ❜❛✿ ❇➔✐ t♦→♥

▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥✱ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿

❈❤♦ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ C✳ ❍➣② ❝➢t r❛ ✸ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ s❛♦ ❝❤♦tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❧î♥ ♥❤➜t✳

❊♠✐❧ ❑♦st❛❞✐♥♦✈ ✤➣ ❝❤➾ r❛ tr♦♥❣ ❬✷❪ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤↔♥ ❝❤ù♥❣ r➡♥❣

❜➔✐ t♦→♥ t❤ù ❜❛ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ❣✐↔✐ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✤➣ ❧➔♠ ✤è✐

✈î✐ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥✳ ➷♥❣ ❝ô♥❣ ❧÷✉ þ r➡♥❣ ✧❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣trá♥✧ ✤➳♥ ♥❛② ✈➝♥ ❝❤÷❛ t➻♠ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♥❣♦↕✐ trø ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝

❤❛✐ ♥û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❤ä ❧➔ AC = a, CB = b, O1, O2 ❧➔ ❤❛✐ t➙♠ ♥û❛ ✤÷í♥❣trá♥✳ C ❧➔ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤❛✐ ♥û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❤ä✱D ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ♥û❛ ✤÷í♥❣trá♥ ❧î♥ ♥❤➜t ✈î✐ ✤÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ Ct⊥AB✳ ◆❤÷ ✈➟② ✤÷í♥❣ trá♥ ❧î♥ ❝â

✶✺✸✹ ✲ ✶✶✼✽✮✳ ✣➙② ❧➔ t➟♣ s❛♥ ❤å❝ t❤✉➟t ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❊✉❝❧✐❞❡ ❝õ❛ ❦❤♦❛ t♦→♥tr÷í♥❣ ✤↕✐ ❤å❝ ❋❧♦r✐❞❛ ❆t❧❛♥t✐❝ ✭▼ÿ✮✳ ❚↕♣ ❝❤➼ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ ❧➟♣ ❜ð✐ ❣✐→♦ s÷

✸✳✷✳✶ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❆r❜❡❧♦s

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ❈❤♦ ❆r❜❡❧♦s ❆❇❈✳ ✣÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ♥❣♦➔✐ ✈î✐

✭❇❈✮✱ ✭❈❆✮ t↕✐ ❳✱ ❨ ✈➔ t✐➳♣ ①ó❝ tr♦♥❣ ✈î✐ ✭❆❇✮ t↕✐ ❩ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❝õ❛ ❛r❜❡❧♦s ❆❇❈✳ ❇❛ ✤✐➸♠ ❳✱ ❨✱ ❩ ❧➔ ❝→❝ t✐➳♣ ✤✐➸♠

ωOO2 = θ✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❝æs✐♥ →♣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ∆O1ωO, ∆O2ωO✿

O1ω2 = Oω2 + OO12 + 2Oω.OO1cosθ

O2ω2 = Oω2 + OO22 + 2Oω.OO2cosθ

❍➻♥❤ ✸✳✷✿ ✣÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❛r❜❡❧♦s

t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

(a + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + b2 + 2b(a + b − ρ)cosθ(b + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + a2 + 2a(a + b − ρ)cosθ

t❤➥♥❣ ❤➔♥❣❀ ❝→❝ ✤✐➸♠ Y′, Z✱ ❝➛♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ BP Z′ ✈➔ CP Y′ ❧➔

❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t↕♦ ✈î✐ AB ❝→❝ ❣â❝ 450

✳ ❚❛ ❧↕✐ ❝â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ BP Z′ ✤✐q✉❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ L ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ (AB)✳ ❷♥❤ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ✤÷í♥❣

✤✐ trá♥ ✤✐ q✉❛ A, C, X, Z✳ ❱➻ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❜↔♦ t♦➔♥ ❣â❝ ♥➯♥ ✤÷í♥❣trá♥ ♥➔② ❝ô♥❣ t↕♦ ✈î✐ AB ❣â❝ 450

✳ ❉♦ ✤â t➙♠ ❝õ❛ ♥â ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ Q1

❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ (AC)✳

P❤➛♥ t❤ù ❤❛✐ ❤♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü

▲÷✉ þ r➡♥❣ \AS′Z′ = Q\2S′Z′ = Q\2Y′Z′ = 450

= ABZ\′ ♥➯♥ A, B, S′, Z′

t❤✉ë❝ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ①➨t ↔♥❤ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥➔②t❛ rót r❛ CZ ❝❤ù❛ S✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ AQ2 ✈➔ CZ ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ ✤✐➸♠ S tr➯♥

❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ✭❤➻♥❤ ✸✳✺✮✳ ❚❛ ❦þ ❤✐➺✉ t➙♠ ❝õ❛(XY Z) ❧➔ω ✤➸ sû ❞ö♥❣ ✈➲ s❛✉✳

✲ ❉ü♥❣ W1′ = O2(O21M1) ∩ M2v ✈î✐ M1v⊥AB✳ ✣â ❧➔ t➙♠ ❆r❝❤✐♠❡❞❡st❤ù ❤❛✐✳

❝â t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝❤✉♥❣ ✤✐ q✉❛ B✱ ❝á♥ ❝→❝ ❝➦♣ (W1′), (W2) ❝â t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝❤✉♥❣

✤✐ q✉❛ A✱ ❤➻♥❤ ✸✳✻✳ ❈➦♣ ♥➔② ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❜ð✐ ❈✳❲✳ ❉♦❞❣❡✱ ❝æ♥❣ ❜ètr♦♥❣ t↕♣ ❝❤➼ ▼❛t❤✳ ▼❛❣✳✱✼✷✭✶✾✾✾✮✳

✸✳✸✳✷ ❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜❛ ✈➔ t❤ù t÷

❍➻♥❤ ✸✳✽✿ ❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜❛ ✈➔ t❤ù t÷

❑þ ❤✐➺✉ t❤➯♠ I′ ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ AB✳ ✣÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ AB✱ ✤✐q✉❛ O, C ❧➛♥ ❧÷ñt ❝➢t Q1Q2 ð I, J✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â CJ = 2t ✈➔ ✈➻ O ✈➔ C ✤è✐

①ù♥❣ ♥❤❛✉ q✉❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ O1O2 ♥➯♥ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤tr♦♥❣ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ t❛ ❝â✿ OI = (a + b) − 2t✳ ❑➨♦ t❤❡♦ II′ = 2t ❧÷✉ þ r➡♥❣

❱➻ O ✈➔ C ✤è✐ ①ù♥❣ ♥❤❛✉ q✉❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ O1O2 ♥➯♥ OM + CN =

O1U + O2V = a + b✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ (a + b) − OM = CN = 2t✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔

✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ❞➙② HK ✈➔ ❝✉♥❣ HK ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ t✳ ✣÷í♥❣ trá♥t➙♠ W4′ ♥➔② t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ♥û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ (AB) ð ✤✐➸♠ Q✳ ❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥t➙♠ W4(t), (W4′(t) ❣å✐ ❧➔ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù t÷✱ ❤➻♥❤ ✸✳✽❜✮ ✳

a + b✳ ❱➟② t❛ ❝â ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜↔② ❦✐➸✉P♦✇❡r (W7), (W7′)✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➜② ✤è✐ ①ó♥❣ q✉❛ OM t❛ ❝â ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥