(SKKN 2022) Hướng dẫn HS lớp 11 giải một số bài toán hình học không gian từ một số bài toán hình học phẳng

Trong quá trình dạy học ở trường phổthông để giải quyết một vấn đề của hình học không gian nhiều giáo viên đã chuyểnvấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thức của hình không gian th

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

1.5 Những điểm mới của SKKN……… ………… 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của đề tài……… 4

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN ……… 4

2.3 Giải pháp thực hiện ……… 5

2.4 Hiệu quả của SKKN 16

3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận …….……… 17

3.2 Kiến nghị …….……… 19

Tài liệu tham khảo……… 21

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông, đặc biệt là môn toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trongđời sống mỗi người

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng làmôn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng vớiphương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn họckhác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh

hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinhđức tính, phẩm chất của người lao động mới như cẩn thận, chính xác, có tính kỉluật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng tính thẩm mĩ Một trong các phân môncung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính, phẩm chất của con người lao độngmới là môn hình học không gian Để học môn này học sinh cần có trí tưởng tượng,

kỹ năng trình bày, vẽ các hình trong không gian và giải nó

Như mọi người đều bỉết, hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nộidung phong phú hơn so với hình học phẳng Trong quá trình dạy học ở trường phổthông để giải quyết một vấn đề của hình học không gian nhiều giáo viên đã chuyểnvấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thức của hình không gian thành nhữngphần đơn giản hơn mà có thể giải nó trong các bài toán phẳng Đó là một việc làmđúng đắn, nhờ nó làm cho quá trình nhận thức, rèn luyện năng lực lập luận, sự sángtạo, tính linh hoạt khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học không giancủa học sinh

Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian, với cơ sở làmặt phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận phẳng rakhỏi không gian bằng các hình vẽ (các phần được tách ra thường là thiết diện, giaotuyến…) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài toán hình học phẳng để từ đógiải quyết được bài toán ban đầu

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình họckhông gian, đặc biệt là các em học sinh lớp 11 đã được làm quen với hình họckhông gian từ lớp 8, lớp 9 Các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tếkhách quan Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này,về phầngiáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức Qua nhiềunăm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúpcác em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng nhưhọc tập của học sinh ngày được nâng lên

Để giải bài tập hình học không gian một cách thành thạo thì một trong yếu tốquan trọng là biết kết hợp các kiến thức của hình học không gian, hình học phẳng,phải tìm ra mối liên hệ của chúng sự tương tự giữa hình học phẳng và hình họckhông gian, giúp học sinh ghi nhớ lâu các kiến thức hình học, vận dụng tốt các kiếnthức đã học

Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài :

“ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải một số bài toán hình học không gian từ một

số bài toán hình học phẳng "

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho họcsinh, từ đó củng cố các kiến thức đã học ở THCS Nhằm giúp học sinh thấy đượcmối liên quan của hình học phẳng và hình học không gian Từ đó nâng cao chấtlượng học tập của học sinh trong các tiết học

- Hệ thống hóa kiến thức, kĩ năng và nhận dạng một số bài toán về hình học phẳng

và hình học không gian ở mức độ vận dụng, để từ đó có hướng giải quyết bài toán

- Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng, khả năng tương tự hóa

- Việc đưa ra hướng giải cho một số bài toán đó giúp cho học sinh có cái nhìn sâuhơn, phát triển tư duy tưởng tượng cho học sinh trung học phổ thông

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Đề tài nghiên cứu, tổng kết về vấn rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 thông quamối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian

- Học sinh khối lớp 11 mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy

- Một số bài toán hình học phẳng có liên quan đến hình học không gian và một sốbài toán hình học không gian trong giải toán hình học lớp 11

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, điều tra, nghiên cứu chương trình, phân tích cáctài liệu, các đề thi thử trung học phổ thông quốc gia và tốt nghiệp trung học phổthông, xây dựng cơ sở lí thuyết

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11,12 phần hình học

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đưa ra sự tương tự hóa giữa hình học phẳng và hình học không gian, phát triển trítưởng tượng cho học sinh

- Phát triển tư duy hình học mới mẻ

- Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượnghọc sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy hình học không gian trong nhàtrường trung học phổ thông.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lí luận của đề tài.

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông là hình thành những cơ sở banđầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu vàđiều kiện hoàn cảnh đất nước con người

Môn Toán ở trường trung học phổ thông là một môn độc lập, chiếm phần lớnthời gian trong chương trình học của học sinh Môn Toán có tầm quan trọng to lớn,

nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tựnhiên của con người Nó có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện tưduy,suy luận logic, đem lại niềm vui, hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹp chongười lao động trong thời đại mới Bài toán rèn tư duy giúp học sinh tư duy hìnhhọc tốt hơn, hình thành phẩm chất của người lao động năng động, sáng tạo, làm chủtương lai

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình dạy học môn Toán, nhất là môn Hình học thì quá trình họctập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt Đặc điểm cơ bản của môn học

là môn yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suyluận logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tậphình không gian

Ở trường các em học sinh được học sách hình học cơ bản, các bài tập tươngđối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo sátchất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho họcsinh Nhiều em không biết cách trình bày bài giải, sử dụng các kiến thức hình học

đã học chưa thuần thục, lộn xộn trong bài giải của mình Cá biệt có một vài em vẽhình quá xấu, không đáp ứng đươc yêu cầu của một bài giải hình học Vậy thìnguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh?

Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thườnggặp một số khó khăn với nguyên nhân như là :

+ Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một bài toán hìnhkhông gian

+ Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sửdụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với học sinh

+ Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình khônggian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử dụngtrong hình không gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng chohình không gian

+ Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa rõràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách

+ Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơhọc tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từngchuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh Cũng có thể do chính các thầy

cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thứcchưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh

Để hiểu rõ các nguyên nhân yếu kém tôi đã tiến hành trắc nghiệm kháchquan bằng 20 câu hỏi cho mỗi phiếu (gồm 02 phiếu) về khả năng học tập môn toán

và môn hình học ở trường phổ thông

Từ một số nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một hướng giải quyết nhằmnâng cao chất lượng dạy và học của thầy và trò trong bộ môn hình học không gian,tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học hình ở trường phổ thông bằng cách

“ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải một số bài toán hình học không gian từ một

- Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, cácphần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS, Geogebra…

- Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ khốilượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức

mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất

Trong quá trình dạy học tôi đề ra một hướng giải quyết là :

“ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải một số bài toán hình học không gian từ một

2 Kỹ năng

- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đườngtròn qua một phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng

- Rèn kỹ năng vẽ hình trong không gian

- Biết vận dụng kiến thức về các định lý Talets trong mặt phẳng; tính chấtcủa hình bình hành

3 Tư duy và thái độ

- Biết qui lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng không gian, suy luận logictrong không gian

- Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức

- Biết được toán học có ứng dụng trong thực tiễn

- Biết được vai trò của toán học trong thực tiễn

B CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ

- Giáo viên: dụng cụ dạy học, bảng phụ, phiếu học tập, máy vi tính(computer) và máy chiếu (projector)

- Học sinh: dụng cụ học tập, bài cũ

C GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

- Về cơ bản sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp

- Đan xen hoạt động nhóm

D TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1 Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ.

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng,cho tam giác ABC vuông tại A

AB c BC a AC b AD h BC c CD b      Nêu các hệ

thức lượng trong tam giác vuông đã học ở lớp 9

Giáo viên:

Đây là câu hỏi không khó yêu cầu một học sinh trình bày

- Yêu cầu học sinh khác nhận xét câu trả lời của bạn và bổ sung nếu có

- Hiểu yêu cầu đặt ra và trả lời câu hỏi

- Nhận xét câu trả lời của bạn và bổ sung nếu cần

2 Hoạt động 2: Bài mới

Ví dụ 1’: Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S Đặt SA a ;SB b  ; SC c

hạ SH  (ABC);SH h  Chứng minh rằng :

c

a

b ha

c' b' A

Vậy S ABC2 S SAB2 S SBC2 S SAC2

Giáo viên và học sinh:

- Gọi 1 học sinh đứng tại chỗ giải, tính theo a, b, c tỉ số SCB

ABC

S

S

- Hướng dẫn học sinh chứng minh ý a) dựa vào ví dụ 1.

- Yêu cầu học sinh chứng minh tương tự ý b) và đưa ra kết luận

Nhận xét:

Có thể coi ý b) là định lí Pitago trong không gian Học sinh có thể phát biểu thànhlời và mở rộng các hệ thức còn lại ở lớp dưới thành bài toán hình học không gianmới

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho ∆ ABC thì diện tích tam giác: Công thức Hê-rông

Ví dụ 2’: Trong không gian, cho tứ diện SABC có SA; SB; SC đôi một vuông góc.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho ∆ABC thì giao của 3 trung tuyến đồng qui tại G và

G chia các đoạn trung tuyến theo tỉ số 1:2

Ví dụ 3’: Trong không gian, cho tứ diện ABCD, gọi G G G G a; b; c; d lần lượt là trọngtâm các mặt (BCD), (ACD), (ABD); (ABC)

Chứng minh rằng các đường thẳng AG a;BG b;CG c; DG d đồng qui tại G và

AG  BG  CG  DG  4

Hướng dẫn:

Ta có các đoạn MN; PQ; RS đồng qui tại G.Ta

chứng tỏ AGa qua G và chia theo tỷ số như trên

- Nối AG cắt BM tại X Kẻ NP //AG cắt BM tại P

Ta chứng minh X là Ga.

- Trong ∆ NMP có XG // NP qua trung điểm của

MN nên XP = XM; trong ∆ ABX có NP // AX

qua trung điểm của AB nên BP = PX

- Học sinh dễ bị nhầm tính chất trọng tuyến của tứ diện với trọng tâm tam giác.

- Chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian thông thường và hình họcvéc tơ như: GA GB GCuuur uuur uuur r  0 và tứ diện ABCD thì GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r   0 cũnggiống như trọng tâm của tứ giác ABCD

Ta có I là giao điểm của MP và QN thì I nằm trên SO

- Trong tam giác SAC ta có: SMP SMI SIP

- Tương tự trong ∆ SBD : 2SO SB SD (2)

SI  SN SQ 

từ (1) và (2) ta có đpcm

Giáo viên :

- Hướng dẫn học sinh chứng minh kết quả ở ví dụ 4

- Áp dụng kết quả vào ∆ SAC; ∆SAO; ∆ SOC

Giáo viên và học sinh:

- Kiểm tra bài cũ

- Mở rộng đề bài trong không gian

- Đặt câu hỏi cho học sinh và gợi ý các bước để giải bài toán

+ Nối AC cắt Ex tại M Khi đó M là điểm cần tìm

Nhận xét:

Bài toán này được dùng nhiều ở phần cực trị hình học kể cả sử dụng tọa độ để giải

* Nếu A; B khác phía đối với mặt phẳng( ) thì điểm M xác định như thế nào?

* Nếu A; B cùng phía đối với mặt phẳng ( ) thì điểm M xác định như thế nào?

+ Xác định điểm đối xứng của B qua mặt phẳng ( )

+ Lập mặt phẳng (ABC) cắt ( ) giao tuyến Ex

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng, cho góc xOy, trên Ox lấy điểm A, Oy lấy điểm B sao

- Đặt vấn đề: ta có thể mở rộng ra không gian được không?

Ví dụ 6’: Trong không gian, cho hai đường thẳng

chéo nhau a; b Trên đường thẳng a lấy hai điểm A,B

trên đưòng thẳng b lấy hai điểm C; D sao cho B; D

nằm cùng phía so với A; C (A; C cố định) và

AB CD k

Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua BD và song song

với AC qua một điểm cố định

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD có M; N; P; Q lần lượt là trung điểm

- Trong không gian có bài toán tương tự không? Hãy phát biểu

- Hướng dẫn học sinh chứng minh và yêu cầu phát triển bài toán từ hình học phẳngsang hình học không gian

Ví dụ 7’: Trong không gian, cho tứ diện ABCD, gọi M; N; P;

Q; R; S lần lượt là trung điểm các cạnh AB; CD; CA; BD;

AD; BC Chứng minh các đoạn thẳng MN; PQ; RS đồng qui

tại một điểm

Ta có tứ giác MRNS; NPMQ; PRQS là hình bình hành

Vậy các đường chéo đồng qui tại một điểm các đoạn thẳng

MN; PQ; RS đồng qui tại một điểm

Nhận xét:

- Điểm G là trọng tâm của tứ diện, đến đây ta có cái nhìn rộng hơn về điểm đặc biệtnày từ ví dụ 3’.

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC, trọng tâm G, M điểm nằm trong tam

giác Đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự tại A', B', C'.Chứng minh rằng: ' ' ' 3

- Hướng dẫn học sinh chứng minh và yêu cầu phát triển bài toán từ hình học phẳngsang hình học không gian.

Học sinh:

-Tiếp nhận đề bài và chứng minh được MK MI MJ  không đổi

Ví dụ 8’: Trong không gian, cho tứ diện đều ABCD, trọng tâm G Một điểm M

trong tứ diện, đường thẳng MG cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)lần lượt tại các điểm A', B', C', D'

A M B M C M D M

A G  B G  C G  D G 

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC và M là một điểm thuộc miền trong tam giác Gọi S1,

S2, S3 lần lượt là S MBC,S MCA,S MAB Chứng minh: S MA S MB S MC1uuur 2uuur 3uuur r0

Nhận xét: Bài toán trên được mở rộng trong không gian khi xét cho tứ diện bất kì

và diện tích của các tam giác cần chứng minh sẽ chuyển thành thể tích của các tứdiện