Thường gặp các trường hợp nhö sau: + Trường hợp 1: Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế + Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phươn[r]
Trang 1Hệ phương trình hai ẩn
I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a x b y c
a x b y c
Cách giải:
b1 Tính các định thức: 1 1 ; ;
2 2
D
x
2 2
D
y
2 2
D
b2 Ta có:
i/ D 0 : Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x Dx ,
D
y D
ii/ x y : Hệ phương trình vô nghiệm
D 0
iii/ D D x Dy 0: Hệ phương trình có thể vô nghiệm, có thể vô số nghiệm
( nên thay giá trị cụ thể vào hệ phương trình rồi kết luận )
2 Các ví dụ:
VD1: Cho hệ phương trình:
(I)
x my 3m
mx y 2m 1
1 Giải và biện luận hệ (I)
2 Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0), tìm các giá trị nguyên của m sao cho x0 và y0 là những số nguyên
VD2: Cho hệ phương trình:
2
x (m 3)y 2m 3
1 Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn điều kiện x y ?
2 Với các giá trị của m đã tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y
( ĐH An Ninh 98 )
VD3: Giải và biện luận hệ phương trình
(1 sina)x cos a.y cos a cos a.x (1 sina)y sina
VD4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi a R thì hệ phương trình có nghiệm
Trang 2( ĐH Công Đoàn 98 )
2
x 2ay b
ax (1 a)y b
3 Bài tập làm thêm:
B1 Giải và biện luận hệ phương trình (a22 1)x (a 1)y a33 1
2x my 2m 5
a) Giải và biện luận hệ phương trình
b) Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với m
a) Giải và biện luận hệ phương trình
b) Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm được c để hệ phương trình có nghiệm
II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
1 Dạng: f(x;y) 0 (1), trong đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y
g(x;y) 0
2 Nhận dạng: Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ không đổi Tức là:
f(x;y) 0 g(x;y) 0
thay x bởi y và thay y bởi x
g(y;x) 0
Chẳng hạn: hệ phương trình x y xy 112 2
3 Cách giải:
b1 Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy Ta được: F(S;P) 0 (2)
G(S;P) 0
b2 Giải hệ phương trình (2)
+ Nếu S0 , P0 là một nghiệm của hệ (2) thì nghiệm x, y của hệ (1) là nghiệm của hệ
0
0
x y S
xy P
+ Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t2 – S0.t + P0 = 0 (3)
Trang 3b3 Kết luận
4 Chú ý:
a) Hệ (1) có nghiệm (x; y) Hệ (2) có nghiệm (S0; P0) S2 4P 0
b) Nếu 2 thì phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
0 0
S 4P 0
và
2
1
t
2
2
2
t
2
Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng 1 và
2
x t
y t
2
1
x t
y t
c) Nếu 2 thì phương trình (3) có nghiệm kép
0 0
1 2
S
2
Khi đó hệ (1) có 1 nghiệm tương ứng x y S0
2
d) Do tính đối xứng,
“ nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ (1) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của hệ (1)”
Do đó: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm này có dạng (x0; x0)
e) Các biểu thức đối xứng thông dụng:
x y x y 2xy S 2P
x y x y 3xy x y S 3SP
x y x y 4xy x y 6x y S4 4P(S2 2P) 6P 2 S4 4S P 2P2 2
f) Đôi khi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa ( ẩn ở mẫu )
5 Các ví dụ:
VD1: Giải hệ phương trình x y xy23 3 2 30 ( ĐH Mỏ – Địa chất 98 )
1 Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm
2 Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất
VD3: Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm
( ĐH Y Dược TpHCM 98 )
2 2
2
6 Bài tập làm thêm
Trang 4B1 Giải hệ phương trình ( ĐH Ngoại thương 97, khối D )
2 2
2 2
1 1
x y
B2 Cho hệ phương trình x y m2 2 2 ( Báo chí, Tuyên truyền 98, khối D )
1 Giải hệ phương trình khi m = 1
2 Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm
1 Giải hệ phương trình với m = 3
2 Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm
B4 Giải hệ phương trình x24 y22 2 5 4 ( ĐH Ngoại thương 98 )
2 2
2 2
1
xy 1
x y
xy(x 1)(y 1) m
1 Giải hệ phương trình khi m = 12
2 Xác định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm
B8 Giải hệ phương trình x24 y24 xy 72 2 ( ĐH Sưphạm HàNội 2000, khối B )
B10 Giải hệ phương trình x y 54 4
Trang 5III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
f(x;y) 0 1
f(y;x) 0 2
2 Nhận dạng:
Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại
và thay y bởi x
f(x;y) 0 1 f(y;x) 0 2 Chẳng hạn: hệ phương trình x22 2x 3y 0
3 Cách giải:
b1 Biến đổi
f(x;y) 0 1
f(y;x) 0 2
f(x;y) 0 f(x;y) f(y;x) 0
f(x;y) 0 (x y).g(x;y) 0
x y
A f(x;y) 0 g(x;y) 0
B f(x;y) 0
b2 Giải hệ phương trình (A) và (B)
Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải như sau:
g(x;y) 0
B f(x;y) 0
f(x;y) f(y;x) 0
b3 Kết luận
4 Các ví dụ:
1 3 2x
1 3 2y
Trang 6VD2: Cho hệ phương trình x33 y22 7x22 mx ( ĐHSưphạm Vinh 99 )
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
VD3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ĐH Hàng hải 97 )
2
2
2 2 2 2
y 2 3y
x
x 2 3x
y
5 Bài tập làm thêm:
B1 Giải hệ phương trình x33 3x 8y ( ĐHQG Hà Nội 98 )
4y
x 3y
x 4x
y 3x
y
B3 Cho hệ phương trình y22 x33 4x22 ax ( ĐHQG TpHCM 96 )
Xác định a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
1 Giải hệ phương trình khi m = 0
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
B6 Giải hệ phương trình 2x22 3x y22 2 ( ĐHQG Hà Nội 2000)
Trang 7B7 Giải hệ phương trình ( HV Chính trị 2001 )
2
2
1
y 1
x
B8 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ĐH Sưphạm HCM 2001 )
2
2
B9 Cho hệ phương trình xy x22 m(y 1) ( ĐH Hàng hải 97 )
1 Giải hệ phương trình khi m = –1
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
B10 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất y22 x33 4x22 ax
IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
f (x;y) g (x;y)
f (x;y) g (x;y)
1 2
f (x;y),f (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc
g (x;y),g (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc
+ Trong đó: n là số nguyên dương n N* và các hệ số a ,a , ,a0 1 n không đồng thời bằng 0 được gọi là
đa thức dẳng cấp bậc n
2 Cách giải:
b1 Giải hệ (I) khi x = 0
b2 Giải hệ (I) khi x 0
+ Đặt y = t.x , ta được: F(x;t) 0 (II)
G(x;t) 0
KHỬ x
h(t) 0 Giải phương trình t t0
+ Thay t = t0 vào (II), ta có: 0 (III)
0
F(x;t ) 0 G(x;t ) 0
Giải hệ (III)
0
x x
Thế t , x tìm y 0 0 0
0 0 0
y t x
b3 Kết luận
3 Chú ý:
3.1 Theo cách giải nêu trên, ta có thể giải hệ (I) như sau:
b1 Giải hệ (I) khi y = 0
Trang 8b2 Giải hệ (I) khi y 0 Đặt x = t.y ( làm tương tự như trên )
b3 Kết luận
3.2 Đối với hệ đẳng cấp bậc hai, ta có thêm phương pháp giải như sau:
b1 Sử dụng phép biến đổi tương đương, khử y2 ( hoặc khử x2 ) Từ đó tính y theo x
( hoặc tính x theo y )
b2 Sử dụng phép thế, ta được phương trình bậc 4 trùng phương
b3 Giải phương trình bậc 4 trùng phương nói trên và kết luận
4 Các ví dụ:
ìï - = ïí
ïỵ
VD2: Giải hệ phương trình 2y(x22 y )22 3x ( Mỏ địa chất 97 )
ïí
ïỵ
ïí
ïỵ
1 Giải hệ phương trình khi m = 0
2 Xác định m để hệ phương trình có nghiệm
5 Bài tập làm thêm:
B1 Giải hệ phương trình 3x22 5xy 4y22 3 ( ĐH Kiến trúc HCM 95 )
B3 Giải hệ phương trình 3x22 2xy 162 ( ĐH Hàng hải 2000 )
B4 Giải hệ phương trình y32 x3 72 ( ĐH Kiến trúc HàNội 98 )
B5 Giải hệ phương trình 6x22 xy 2y22 56
Trang 9V HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
1 Cách giải:
Dùng các phép biến đổi, đưa về hệ phương trình đã biết cách giải Thường gặp các trường hợp như sau:
+ Trường hợp 1: Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế
+ Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phương trình
tích số thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản
+ Trường hợp 3: Nếu phát hiện trong hệ có những biểu thức đồng dạng thì ta dùng
ẩn số phụ
2 Các ví dụ:
ì + = ïïí
ïỵ
1 Giải hệ phương trình khi m = 4
2 Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm
ïí
ïỵ
1 Giải hệ khi a = b = 1
2 Xác định a, b để hệ có nhiều hơn 4 nghiệm phân biệt
ì - - = ïïí
ï + - - = ïỵ
3
3 Bài tập làm thêm:
B1 Giải hệ phương trình x22 3x y y2 2 5 ( ĐH Hồng Đức 99 )
Trang 10B2 Giải hệ phương trình
1
2x y
x y z 6
xy yz zx 12
2 2 2 3
B6 Giải hệ phương trình
2x y 6
x y 2
2 2
xy 2
2 2
x y y x 30
x x y y 35
B7 Giải hệ phương trình
2 2
xy z 0
x y 8
x y z 9
xy yz zx 27
1 1 1 1
x y z
2 2 2
x y z 13
xy zx 3yz
B8 Giải và biện luận hệ phương trình
a) x y m2 2 b)
2x y m
B9 Giải hệ phương trình
2
2
3 x 5y 9 0 2x y 7 0