2Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m d và đồ thị C là nghiệm của phương trình... thể tích khối lăng trụ là VABC.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
-
Câu 1: ( 2,0 điểm)
Cho hàm số 2 1
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m (m ∈ ) để đường thẳng y=x m+ cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB =4
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình 3 cos 2x+2 cosx(sinx−1)=0
2
2 log x 2 log log x (x )
x
Câu 3: (1,0 điểm)
Tính tích phân
1
0
2 I
1
x dx x
= +
∫
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên
(A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ∆A’B’C’ Cạnh bên tạo với đáy góc 0
60 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu 5: (1,0 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+4y−20=0,d2:x+y+ =1 0
Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) có bán kính R=5, tiếp xúc với d1và có tâm nằm trên d2
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình
(S): 2 2 2
x +y +z − x− y+ z− = ( ) : 2P x+y− 2z+ = 1 0
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) bằng 3
Câu 7: ( 1,0 điểm)
Cho số phức z thoả mãn (1 +i 3)z= 4i Tính 2010
Câu 8: (1,0 điểm)
Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn 2 2 2 4
3
x +y +z =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3(x y z) 4
+ +
………….………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:
Chữ kí giám thị:………
Trang 2H−íng dÉn chÊm TOÁN
Câu1
(2,0đ)
1)1,0 đ
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 1
1
x y x
−
=
−
1 Tập xác định: D = \ {1}
2 Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số Tiệm cận của đồ thị hàm số
1 2
2 1
1
x
y
x
x
→±∞
−
−
=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang
=>Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng
0,25
* Lập bảng biến thiên
2
1
( 1)
x
−
= < ∀ ∈
− , y’ không xác định <=> x=1 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó Hàm số không có cực trị
0,25
bảng biến thiên
x -∞ 1 +∞
y’ - || -
y 2 +∞
-∞ 2
0.25
3 Đồ thị
- Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2
- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1
- đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng
0,25
I(1;2) 2
x
O
Trang 32)1,0đ 2)Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình
2 1
1
x
x m x
−
= +
−
( x=1 không phải là nghiệm của (*))
2
0,25
(m 3) 4(1 m) m 2m 5 0 m
Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) vớix x1, 2là hai nghiệm của (1)
0,25
Theo viét x1+x2 = −3 m x x; 1 2 = −1 m Vì A B, ∈ ( )d nên y1 =x1+m y; 2 =x2+m
0,25
3
m
m
= −
=
0,25
Câu 2:
(2,0đ) 1)Giải phương trình 3 cos 2x+2 cosx(sinx−1)=0
⇔ 3 cos 2x+sin 2x=2 cosx
3 1
cos 2 sin 2 cos
0,25
cos 2 cos sin 2 sin cos
cos(2 ) cos
6
0,25
6
6
k
π
π π
π
− = − +
0,25
2 6
2
18 3
k k x
π π
= +
= +
KL
0,25
1)1,0đ
2
2 log x 2 log log x (x )
x
ĐKXĐ:x>0
2
1 log x 2 log log x
x
0,25
Trang 4⇔ log22 x− 3log2 x+ 2 = 0 (*) 0,25
Đặt t=log2x
Thay vào (*) ta có
2
3 2 0 1 2
t t
− + =
=
⇔
=
0,25
t=1 ta có log2x=1⇔x=2
t=2 ta có log2x=2 ⇔x=4
kết hợp với ĐKXĐ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4
0,25
Câu 3:
(1,0đ) Tính tích phân
1
0
2 I
1
x dx x
= +
∫
2
3
1 1
t
+
Nếu
= ⇒ =
0,25
2
t
0
3t 2t t t
10
4 ln 2 3
Câu 4:
(1,0đ)
A'
G
M ' C'
B'
C
B
Trang 5Hình chiếu của AA’ trên (A’B’C’) là A’G nên góc tạo bởi AA’và (A’B’C’) là 0
' 60
AA G =
gọi M’là trung điểm B’C’⇒A’,G, M’ thẳng hàng
đặt x=AB
∆A’B’C’ đều cạnh x có A’M’ là đường cao ⇒ ' ' 3, ' 2 ' ' 3
Trong∆AA’G vuông có AG=AA’sin600= 3
2
a
' ' os60
0,25
diện tích ∆ABC là
ABC
thể tích khối lăng trụ là
' ' '
3 3 3 9
ABC A B C ABC
Câu 5:
(1,0đ) Giả sử là Vì (C) tiếp xúc với I t( ; 1− −t)∈d2tâm của đường tròn (C)
1
3 4( 1 ) 20
3 4
+
0,25
24 25
t
0,25
Với t = ⇒1 I1(1; 2)− ta được phương trình đường tròn
( )(C1 x− 1)2+(y+ 2)2 = 25
0,25
Với t= −49⇒I1( 49; 48)− ta được phương trình đường tròn
(C2)(x+ 49)2+(y− 48)2 = 25
0,25
Câu 6:
(1,0đ) (S):
2 2 2
(S) có tâm I(2;2;-1)
phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:2x+y− 2z+D= 0điều kiện D ≠1(*)
0,25
( , ( )) 3
d I P =
| 2.2 1.2 2( 1) |
3
2 1 ( 2)
D
+ − − +
+ + −
0,25
1
| 8 | 9
17
D D
D
=
= −
Kết hợp với điều kiện (*) ta được D = -17
0,25
Câu 7:
4 1 3 4
3
1 3 1 ( 3)
i
i
−
0,25
Trang 63 1
0,25
Theo công thức Moa-vrơ
2010 2010 2010 2010
0,25
( )
2010 2010
Câu 8:
(1,0đ) Đặt t=x+y+z Ta có
4 3
t
= +
0,25
Xét hàm số f t( ) 3t 4
t
= + trên 2 3; 2
3
2
3
t
−
2 3 '( ) 0
3
f t = ⇔ =t
Hàm số f(t) đồng biến trên 2 3; 2
3
do đó f t( ) f(2) 8
Dấu đẳng thức xảy ra khi t=2
0,5
Do đó A ≤8 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( )2 2 2 2
2
3
2
x y z
x y z
⇔ = = =
+ + =
Vậy giá trị lớn nhất của A là 8
0,25