DE thi HSG 9

NÕu bít ®i mét ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại.[r]

Phòng GD- ĐT PHÚC THỌ

TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN

==========

Đề thi khảo sát học sinh giỏi ( 2008-2009)

Môn: Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )

-Bài 1 (1,5 điểm)

Rút gọn các biểu thức sau :

1+√5 +

1

√5+√9 +

1

√9+√13 +

1

√2001+√2005 +

1

√2005+√2009

b) B = x3 - 3x + 2000 với x = √33+2√2 + √33− 2√2

Bài 2 (2,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:

a) 3x2 + 4x + 10 = 2 14x 2 7

b) 4 4 x2  4 x416 4x 1 x2y2 2y 3 5  y

c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyờn)

Bài 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì a b, ta luôn có:

2 2

a b

ab



 



 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

b) Cho ba số thực a b c, , không âm sao cho a b c    1

Chứng minh: b c   16 abc Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

c) Với giá trị nào của góc nhọn  thì biểu thức Psin6cos6 có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị

bé nhất đó

Bài 4: (1,5 điểm)

Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một ngời Nếu bớt đi một

ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại

và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời

Bài 5 ( 3,0 điểm )

1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC

1 1 4

b) Chứng minh :

3 3

2 2 2

8

ABCD

R r S



 ; ( Kí hiệu S ABCD là diện tích tứ giác ABCD )

2) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC  1080.Chứng minh :

BC

AC là số vô tỉ.

===============================================

TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN

-Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi ( 2008-2009)

Môn: Toán 9

điểm Bài 1.b

(1,5 đ) áp dụng công thức (a+b)

3=a3+b3+3ab(a+b), với a= √33+2√2 , b= √3 3− 2√2

và biến đổi => x3 = 6 + 3x

Suy ra B = 2006

0,75

a

Có A = √5 −1

5 −1 + √

9 −√5

9 −5 + √

13 −√9

13 −9 + + √

2005 −√2001

2005 −2001 +

√2009 −√2005

2009 −2005

Rút gọn, đợc A = √2009 −1

0,75

Bài 2a

(2,0đ)

Giải, xỏc định đỳng điều kiện:

;

 x24x 4 2x2 1 2 2x21 7 7 = 0

2 (x 2) ( 2x 1 7) 0

2

2

2 0

2 2

x x

x x





 

  



0,25 0,25

0,25 b

Điều kiện :

2 2

2 2

2 3 0 (4)

x x x

  



 





 



    



Từ (2)  (x2 – 4)(x2 + 4)  0 x2  4 0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2

Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0 ; Đỳng với mọi giỏ trị của y

Thay x = 2 vào phương trỡnh và giải đỳng, tỡm được y = 1,5

Vậy nghiệm của phương trỡnh: (x = 2; y = 1,5)

0.5 0,25

c Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0

 x2 – 2y – 5 = 0  x2 = 2y2 + 5  x lẻ

Đặt x = 2k + 1 ; ( kZ ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4

 y2 = 2(k2 + k – 1)  y chẵn

Đặt y = 2n; (n Z)  4n2 = 2(k2 + k – 1)  2n2 + 1 = k(k + 1) (*)

Nhỡn vào (*) ta cú nhận xột: Vế trỏi nhận giỏ trị lẻ, vế phải nhận giỏ trị chẵn (Vỡ k và

k + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp)  (*) vụ nghiệm pt đó cho vụ nghiệm

0,25

0,25

Bài 3a

 

 

 

 2

0, , 4

a b

a b



Vậy:

 

2

2

2

a b



 

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b

0,25

0,25

a b c  2 ab c 2 4a b c  

mà a b c  1 (giả thiết)

0,25

0,25

nên: 1 4 a b c    b c 4a b c  2

(vì a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhng: b c 2 4bc

(không âm) Suy ra: b c 16abc.

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

,

a b c

b c

 









0,25

sin cos sin s

sin2 cos2  sin4 sin2 cos2 cos4

sin2 cos2 2 3sin2 cos2 1 3sin2 cos2

áp dụng kết quả câu 3.1, ta có:

sin cos 4sin cos 1 4sin cos sin cos

4

Suy ra:

1 3sin cos 1

4 4

Do đó: min

1 4

P 

khi và chỉ khi: sin2 cos2  sin cos (vì  là góc nhọn)

0 sin

cos tg





0,25

0,25

0,25

Bài 4

(1,5đ) + Gọi số ô tô lúc đầu là x ( x nguyên và x  2)

Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1

+ Theo giả thiết: Nếu số xe là x 1 thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe,

mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y  30)

x



0,25 0,25

0,25 + Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên x 1 phải là ớc số của 23.

Mà 23 nguyên tố, nên: x1 1  x2 hoặc x1 23  x24

 Nếu x 2 thì y 22 23 45 30   (trái giả thiết)

 Nếu x 24 thì y 22 1 23  < 30 (thỏa điều kiện bài toán).

+ Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là:

22 24 1 23 23 529     học sinh.

0,25 0,25 0,25

Bài 5

(3,0đ)

I E

K M

D

O

B

Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đờng trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đờng trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đờng trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ADB,ABC

Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một

điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI

và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng )

0,25

1a

Xét EBK có EBK 900,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có

0,25

Mà BK = r , BE = BI = R; BM = 2

a

1 1 4

(Đpcm)

0,25

1b

Xét AOB và AMI có AOB AMI 900 và A chung AOBAMI

2

.

2

AO

Chứng minh tơng tự ta đợc

2

2

BO

0,25

0,25

Ta có

4

2 2

4

ABCD

AB

Rr

Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có

2 2

4

2 2 2

2 2

4R r AB



Từ đó ta có :

3 3

2 2 2

8

ABCD

R r S





0,25

0,25

2

x C

D

B

A

0,25

Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của BCx, tia Cx cắt đờng thẳng AB tại D.Khi

đó Ta có DCA ACB 360 DCA cân tại C , BCD cân tại B AB AC DC 

.Theo tính chất đờng phân giác trong tam giác BCD ta có

;

CD AD  CA BD CA 

1 0



          

0,25

0,25

1 5 2

BC

CA





( Vì

0)

BC

BC

AC là số vô tỉ

0,25