Phòng giáo dục Phúc Thọ Trường THCS Hiệp Thuận.. đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F.[r]
Trang 1Phũng giỏo dục Phỳc Thọ đề thi học sinh giỏi
Trường THCS Hiệp Thuận Lớp: 9 (Năm học 2006 -2007)
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )
Câu 1: (2 điểm)
cho biểu thức B = y - 5x √y + 6x2
a) Rút gọn rồi tính giá trị của B cho x = - 2
3 ; y =
18 4+√7 b) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
x - √y +1 = 0 và B = 0
Câu 2:(2 điểm)
Giải phơng trình
(6x + 5y)2(3x + 2) (x + 1) = 35
Câu3:(2điểm)
Chứng minh rằng
√ a
b+c + √ b
a+c + √ c
a+b > 2 ( Với a,b,c > 0)
Câu 4: Trên đờng kính AB của đờng tròn tâm 0, lấy hai điểm T và S đối sứng
nhau qua 0, lấy điểm M trên đờng tròn sao cho MA < MB , các đờng thẳng MT,MO,MS cắt đờng tròn lần lợt tại C,E,D đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F Qua D kẻ đờng thẳng // với AB nó cắt ME và MC tại L,N
a) Chứng minh LN = LD
b) Hạ OH CD chứng minh HNDE là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O
Câu 5: (1đ) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y + 2033
đáp án
Câu 1: (2đ) (ĐK: y 0)
a) B = y - 5x √y + 6x2 = √y ( √y - 2x) - 3x √y − 2 x
= ( √y - 2x) ( √y - 3x )
(0.5)
Ta có : y = 18
4+√7 =
18(4 −√7)
16 −7 =
18(4 −√7) 9
= 8 - 2 √7 = ( √7 -1)2
Trang 2⇒ √y = √7 - 1
Vậy B = [( √7 - 1) + 2 2
3 ] [ √7 -1 + 3
2
3 ] =
22+4√7 3 (0.5)
b) Theo bài ra ta có {x − √y +1=0
√y −2 x=0 (1) Hoặc {x − √y +1=0
√y −3 x=0 (2)
(0.5)
Giải hệ (1) có {x=1 y=4 (t/m)
Giải hệ (1) có {x=1/2 y=9 /4 (t/m)
Vậy 2 cặp số thoả mãn đề bài ra là: x =1; y = 4 và x = 1
2 ; y =
9 4 (0.5)
Câu 2: (2đ) Giải PT
(6x + 5)2 (3x + 2y) (x + 1) = 35 (1)
⇔ (36x2 + 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35
[12(3x2 + 5x + 2) + 1] (3x2 + 5x + 2) = 35 (2) (0.5)
Đặt: 3x2 + 5x + 2 = t (3)
(2) ⇔ với (12t + 1) t = 35
⇔ 12t2 + t - 35 = 0
PT này có t1 = 5
3 ; t2 = -
7
Thế t = 35 vào (3) ta đợc: 9x2 + 15x + 1 = 0
PT này có 2 nghiệm: x1 = − 15+√189
− 5+√21
6 ;
x2 = − 15−√189
− 5−√21
Thế t = - 7
4 vào PT (3) có 12x2 + 20x +15 = 0
( PT này vô nghịêm vì Δ = 102 - 12 15 = - 80 <0)
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là x = − 5+√21
6 ; x =
− 5 −√21
Câu3:(2đ) do a,b,c > 0 nên theo bất đẳng thức côsi ta có
2 √b+ c
a ì1
b+c
a +1=
a+b+c a
Trang 3⇔ √ a
b+c
2 a
b+c +a (1)
(0.25đ)
Dấu "=" xẩy ra ⇔ b+c
a =1 hay a = b+ c
Tơng tự có: √a+c b
2 b
b+c +a (2)
√ c
a+b
2 c
(0.25đ)
Cộng từng vế của (1), (2),(3) ta đợc
√ a
b+ a 2 ( do a + b + c>0 )
(0.25đ)
dấu "=" xẩy ra ⇔ {b+c=a a+b=c
a+c=b
⇔ a + b + c = 0 ( vô lý, vì a + b + c > 0)
do đó không xẩy ra dấu"="
Vậy √ a
b+ a > 2 ( ĐPCM)
(0.25đ)
Câu4: (3điểm)
Chứng minh LN = LD
Ta có: ND // TS
⇒ NL // TO và LD//OS
theo định lý talét ta có TO
NL=
OS
LD ( vì cùng =
MO
ML ) (0.5)
Trang 4mà TO = OS ⇒ NL = LD (ĐPCM)
(0.5)
b) ta có OH CD (gt)
⇒ HC = HD (1)
LN = LD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ LH là đờng trung bình của Δ CDN ⇒ LH // CN
⇒ CME = HLE (đồngvị)
Mà CME = CDE ( Cùng chắn cung CD)
⇒ HLE = HDE ⇒ tứ giác HLDE nôi tiếp
(0.5)
c) do HLDE nôi tiếp ⇒ HEL = HDL (cùng chắn cung LH ) (0.5)
mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900
⇒ EF là tiếp tuyến của đờng tròn (O) (0.5)
Câu5: (1đ)
P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y +2033
= x2 - 6xy + 9y2 -12y + 4x +4 + x2 - 10x +25 +2004
= ( x -3y + 2)2 + ( x -5)2 + 2004 2004 (0.5đ) ( vì ( x -3y + 2)2 0 ∀ x,y ; và ( x -5)2 0 ∀ x
dấu "=" xẩy ra ⇔ {x −3 y +2=0 x − 5=0 ⇔ {y= x=57
3 Vậy P min = 2004 tại {y= x=57
3