De dap an HSG T QH nghean

Vẽ hình đúng theo yêu cầu bài ra không tính phần vẽ thêm... Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa..[r]

PHÒNG GD &ĐT QUỲ HỢP

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Vòng 1 Năm học 2012 – 2013

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: P

:

b) Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn : 3

c





và

c  d  b

Tính giá trị biểu thức ad  bc

Câu 2: (3 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 2xy 7 0

b) Tìm số tự nhiên n để n + 6 và n – 13 là hai số chính phương

Câu 3: (5 điểm)

a) Cho x 0; y  0 Chứng minh x x y y  xy( x y)

b) Cho x y z , , 0và x y z  12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2x y z 15 x 2y z 15 x y 2z 24

M

Câu 4: (7 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, góc BCA có số đo bằng 

a) Chứng minh: Sin2  + Cos2  = 1

b) Biết: tan =

3

4; BC = 10 cm Tính độ dài các cạnh AB; AC

c) Gọi M là trung điểm của AC Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C

kẻ đường thẳng vuông góc với AC chúng cắt nhau tại N Chứng minh AN BM

Hết

-Lưu ý: - Học sinh không được sử dụng máy tính.

- Học sinh bảng A làm hết tất cả các câu.

- Học sinh bảng B không phải làm câu 2b.

Họ tên thí sinh:……… ; SBD:……

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN

A

Bảng B

Câu 1

5đ a)3đ Đ/k:

0; 1

P

.

1

x

      

 



x





x





4 1

x





b)

2đ Ta có: 1c  1d  3b  ccd d  3b 3 c d.  b( c d)(1)

3 3



(2)

Từ (1) và (2) ta có:  a b d  bc bd 0,25 0,25

0

Câu 2

3đ a)2đ Ta có:

x  xy 

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình, nên x 0 0,25 0,25 Với x 0, ta có:



Vì x và 2y là số nguyên

7

x



phải là số nguyên  x   1; 7

⇒

¿

x=−7 y=− 4

¿ {

¿

hoặc

¿

x=−1 y=− 4

¿ {

¿

hoặc

¿

x=1 y=4

¿ {

¿

hoặc

¿

x=7 y=4

¿ {

¿

(tm)

Vậy phương trình có 4 nghiệm:

( x ; y ) ∈{(− 7 ; − 4) ; (−1 ; −4 ) ; (1; 4) ; (7 ; 4 )}

0,75 0,75

b)

1đ

Để n+6 và n – 13 là hai số chính phương  n+6 = p2 và n -13 = q2 ( p, q  )

0,25

 p2 – q2 = (n + 6) – (n – 13) = 19  (p - q)(p + q) = 19 0,25

Do 19 là số nguyên tố, p – q < p + q nên:



0,25

Thay vào n – 13 ta được 94 – 13 = 81 = 92 ( thỏa mãn) Vậy n = 94 thì n+6 và n – 13 là hai số chính phương

Câu 3

5đ a)2,5 x x y y  xy( x y)(1)  ( x y x)(  xyy) xy( x y) 0,5 0,5

 ( x y x)(  xyy)  xy( x y) 0  1,0 1,0

đ  ( x y x)(  2 xyy) 0   ( x y)( x y)2  0(2)

Vì x 0; y  0 nên x y 0 Mặt khác ( x y)20 nên BĐT(2) đúng

 BĐT(1) đúng; dấu = xảy ra  x = y (x 0; y  0)

0,75 0,25

0,75

0,25

b)

2,5

đ Thay

12

x y z   vào biểu thức M, ta được :

M

=

1 1 4

3 3

x y z

    

Áp dụng BĐT :

a b a b (với a0,b0) hai lần ta được:

12 3

x y z x y  z x y z   

4

3 3 1 3

M

Dấu “=” xảy ra

3 6 12

x y

x y

x y z

z

x y z





 





     





   



0,25 0,25

Vậy GTLN của M là -1 khi x y 3,z6 0,25 0,25

Câu 4

7đ

Hình

Vẽ

(không tính phần vẽ thêm)

0,5đ 0,5

a

2,5 Ta có sin  =

AB

BC; cos  =

AC BC

0,5đ 0,5đ

 sin2  + cos2  =



(1)

1,0đ 1,0đ

Theo ĐL Pyta go: AB2 + AC2 = BC2 (2)

Từ (1)và (2)  s in2  + Cos2  = 1

1,0đ 1,0đ

b

2đ Ta có: tan  =

AB

AC mà tan =

3

4 nên

AB

AC =

3

4  3 4

Đặt 3 4



= k  AB = 3k; AC = 4k

0,5đ 0,5đ

Theo ĐL pytago ta có: 9k2 + 16k2 = 100  k = 2 0,5đ 0,5đ

c

2đ

Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB; ta có ABCD

là hình bình hành  AD// BC; AB//CD

0,75 0,75

K

H

M A

D

N

Mà CA AB(gt)  CD  CA Lại có CN  CA(gt) nên  CD và CN trùng nhau  CA DN

0,5đ 0,5đ

Vì MN BC, BC// AD nên  MN AD Tam giác ADN có CA DN ; MN AD  DM AN tại K

 ANBM tại K

0,75 0,75

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.