CAC PHUONG PHAP CHUNG MINH BAT DANG THUC

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng.. Chøng minh: Gi¶i:..[r]

(b − a)]

−ca −ab+ab+c2

1 abc(b − a)¿

=

1 abc (b − a)(−ca − cb+ab+c

2

)

1 abc (b − a)(c − b)(c − a)≥ 0

2

b+b2a −b2c −a2c )≥

1 abc (c

2

b +b2a −b2c −abc)

1 abc [(c2b− b2c)+(b2a − abc)]= 1

abc [bc (c − b)+ba(b− c)]1

abc b (c −b)(c −a)≥ 0 =

( v× o < a  b  c) VËy:

T¬ng tù, xÐt hiÖu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d)

= (a - b) (c - d) > 0 Suy ra: z > y

VËy: x < y < z

Bµi 1.4: Cho abc = 1 vµ a3 > 36 Chøng minh r»ng:

2

12 4

a Ta cã: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x)  0 (1)

MÆt kh¸c: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x- y - z + xy + yz + zx - xyz  0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx  1 - xyz  1 (2)

Bµi 2.4: Cho 0  a, b, c  2 tho¶ a + b + c = 3 Chøng minh r»ng:

VËy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca)

= 9 - 2 (ab + bc + ca)  5 (theo (1))

Cách 2: Vì a, b, c  2 nên:

abc

2 ≥ 2 (2 - a) (2 - b) (2 - c) = 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ca) - abc  0

Suy ra: - 4 + 2 (ab + bc + ca) - abc  0 => ab + bc + ca  2+

Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca)  9 - 4 = 5

1

2 = - 1 + 4 (ab + bc + ca) - 8abc > 0

Suy ra: 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca

1

2

1 2

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức

đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng

Bài 3.1: a Với a,b, c > 0 Chứng minh:

(x −1)(x+1)(x2− x+1) −

1 (x −1)(x +1)(x2

+x +1) −

4 (x − 1)(x2− x+1)(x2

<=> 16x4 + 16x2 + 7 > 0(luôn luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = , b = 0, c =

Bài 4.2: Cho x, y > 0 và x + y - z = 1 Chứng minh rằng: x + y  16xyz.

Cộng (1), (2), (3) ta đợc điều phải chứng minh

Bài 4.4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

d a+b ≥ 2

x + y¿2

¿

¿ 1

4

¿

Do đó:

xy ≥

4

¿

a b+c+

b

c +d+

c a+d+

d a+b ≥ 2

(3) <=> 4 (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd)  2 (a + b + c + d)2

<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd  0

<=> (a - c)2 + (b - d)2  0 (®pcm)

a+b a+b+

b+d b+c+

c+a c+d+

d+b d+a ≥ 4 a+b

a+b+

b+d

b+c+

c+a c+d+

d+b d+a=(a+c a+b+

c +a c+d)+(b+d b+c+

d +b

d +a)

áp dụng bất đẳng thức:

với x, y > 0, ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b =

a+c a+b+

b+d b+c+

c+a c+d+

d+b d+a ≥ 4

d+b d+a=(a+c a+b+

c +a c+d)+(b+d b+c+

d +b

d +a)

áp dụng bất đẳng thức: ,

ta có:

trong các bất đẳng thức sau là sai:

Bài 5.2: Cho 6 số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 108 Chứng minh rằng có thể

chọn đợc ba trong 6 số đó chẳng hạn a, b, c sao cho a < bc, b < ca, c < ab

Suy ra: (x - 1) (y - 1) (z - 1) > 0

Trong ba số x - 1, y - 1, z - 1 có một và chỉ một số dơng Thật vậy, nếu cả

3 số đều dơng thì x, y, z > 1 Khi đó xyz > 1, vô lý! Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1

Bài 5.4: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng không thể đồng thời xảy ra

a a+b+c<

a a+b<

a+c a+b +c Bài 6.1: Cho 3 số dơng

a+b a+b+c+

b+c b+c +d+

c +d c+d+a+

b+c +a a+b+c+d ;

c +d a+b+c+d<

c+d

c +d +a<

c+d+b a+b+c+d ; Cộng các

bất đẳng thức trên lại ta đợc điều phải chứng minh

Bài 6.2: Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng:

a+b+c<1

a+b a+b+c+d<

a+b a+b+c<

a+b+d a+b+c +d. A =

Bµi 6.4: Cho d·y sè a1 = 1, a2= Chøng minh r»ng:

1 (2k −1)ak − 1 a k=

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = =an.

√3 Bài 7.1: Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd trong đó ad - bc =1

Chứng minh rằng S 

Giải:

(ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2

= a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 +d2)Vì ad - bc = 1 nên: 1 + (ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 +d)2

1 2

<=> (S + 1) (S - 4)  0 <=> - 1  S  4

Bài 8.3: Cho tam giác ABC và một điểm Q nào đó ở trong tam giác Qua kẻ

đờng thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt BC ở N Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở F và cắt BC ở E Qua Q kẻ đờng thẳng song song với

BC cắt AC ở P và cắt AB ở R Ký hiệu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR)

và S = dt (ABC) Chứng minh rằng:

Do đó:

√S=√S1+√S2+√S3=> S=(√S1+√S2+√S)2 1.√S1+ 1.√S2+1 √S3¿2≤ Suy ra:

b áp dụngbất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:

a Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0

b Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k

c Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Bài 9.1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 ta có:

<=> (2k + 1)2 (3k + 4)  (2k + 2)2 (3k + 1)

<=> 0  k (đúng)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n  1