Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho MN vu«ng gãc víi AE... Ta chøng minh 9a+b..[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi huyện khối 9 Năm học 2010 – 2011 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
-Câu1:
Cho biểu thức: P = (1 − x −3√x
x − 9 ):(√2 − x −3√x+
√x −2
3+√x −
9 − x
x +√x − 6)
a) Tìm điều kiện và rút gọn P
b) Tìm x để P > 1
Câu2:
a/ Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh a+b
abc ≥
16 9
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = a2
b2+¿ ¿
Câu3:
1 Cho a = √6 +√2
2 và b =
√6 −√2
2 Tính S =
1
a5 + 1
b5
2 Tìm nghiệm nguyên dơng của: 1
x+
1
y=z
Câu4:
Cho tứ giác ABCD có AB = √3, BC = 3, CD = 2√3, DA = 3√3 và ∠A = 600
Tính các góc còn lại của tứ giác ABCD ?
Câu5:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3
2AD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE
cắt đờng thẳng DC tại F Trên cạnh AB, CD lần lợt lấy điểm M, N sao cho
MN vuông góc với AE Đờng phân giác của ∠DAE cắt CD tại P Chứng
minh rằng:
a) MN = 23BE + DP
b) 1
AB 2 = 1
AE 2 + 4
9 AF 2
-Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện khối 9
Năm học 2010 – 2011 2100
Môn Toán
điểm a) Tìm đợc điều kiện xác định của P là: x > 0, x 4, x 9
Qui đồng và rút gọn đợc: P = 3
√x −2
1 điểm
2 điểm
1
1
Trang 2b) P > 1 => 3
√x −2 > 1 =>
3
√x −2 - 1 > 0 =>
5−√x
√x −2 > 0
Giải và kết hợp với ĐK đợc kq: 4 < x < 25 và x 9 thì P > 1
(Nếu quên không kết hợp với điều kiện thì trừ 1 điểm ở câu b)
1 điểm
1 điểm
đ a/ (2đ) Cho các số dơng a,b,c và a+b+c = 3 Chứng minh a+b
abc ≥
16
9 (1)
(1) ⇔9(a+b)16 abc
Ta có ¿
Ta chứng minh 9(a+b) 4c(a+b)2
⇔ 9≥ 4 c(a+b)⇔ 9≥ 4 c (3 −c)⇔4 c2
−12 c +9 ≥ 0 ⇔¿ luôn đúng Vậy 9(a+b)16 abc Hay a+b
abc ≥
16 9
2 điểm
b/ (2đ) B = a2
b2+ ¿ ¿
Ta có (a+b)2 2(a2+b2)
B a2
b2 +2(a 2
+b2
)+
b2
a2 +2(a 2
+b2 )= a2
2 a2+3 b2¿¿+
b2
3 a2+2 b2
B+2 a2
+2 a2 +3 b 2
2 a2+3 b2 +
b2 +3 a2 +2 b 2
3 a2+2b2 = 3 (a
2+b2)( 1
2 a2+3 b2+
1
3 a2+2 b2)
=3
5[(2 a2+3 b2)+(3 a2+2 b2)] (2 a2+3 b1 2+
1
3 a2+2b2)
3
5 2√(2 a2+3 b2) (3 a2+2 b2) 2√(2 a2+3 b21) (3 a2+2 b2)=
12 5
⇒B12
5 −2=
2
5 Vậy B
2
5 Dấu “=” xảy ra khi a=b
2 điểm
4đ
1 Theo bài ra ta có : a + b = √6 và ab = 1
Mà: S = 1
a5+
1
b5=
a5 +b5
a5b5 = a
5 + b5 (vì ab = 1) Mặt khác: a5 + b5 = (a + b)5 – 2011 5(a3 + b3) -10a2b2(a + b)
Biến đổi và thay: a + b = √6 và ab = 1 vào đợc S = 11√6 2 điểm
2 2 Ta có: x + y = xyz Vì vai trò của x, y nh nhau nên giả sử : x y
=> xy z = x + y y + y = 2y => xz 2 Vì x, z nguyên dơng nên có thế xẩy ra: x
= 1, z = 1 hoặc x = 1, z = 2 hoặc x = 2, z = 1
Từ đó lập luận ta có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 1); (1, 1, 2)
1 điểm
1 điểm
2,5 đ
Trang 3Hình vẽ:
1 2
1
3
3
3
3
2 3
3
3
E
A
Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE = √3=> ED = 2√3
Ta có:ΔABE cân ở A có ∠A = 600 => ΔABE đều
Kẻ DH BE => ΔEDH vuông ở H có ED = 2√3 và ∠E1= ∠E2 = 600 => ∠D1 =
300 => EH = ED/2 = √3 => BH = 2√3
=> Tứ giác BCDH là hình chữ nhật
Từ đó tính đợc: ∠C = 900, ∠D =600, ∠B = 1500
1điểm
1,5điểm
4,5 đ Hình vẽ:
0,5
điểm
a) Qua A kẻ vuông góc với AE cắt tia CD tại Q
Vì ∠A2 = ∠A3 nên ∠A1 = ∠A4 => ΔADQ đồng dạng với ΔABE (g.g)
=>AQ
AE =
DQ
BE =
AD
AB =
2
3 (1) Mà MN // AQ => MN = AQ.
Ta lại có: ∠A34 = ∠A12 = ∠APQ => ΔAPQ cân ở Q
=> AQ = QP = MN (2)
Từ (1), (2) => MN = QP = QD + DP = 2
3BE + DP (ĐPCM)
2,5
điểm
b) Theo ĐL 4 cho ΔAQF vuông ở A có AD QF ta đợc:
1
AD2=
1
AQ2+
1
AF2 mà AD =
2
3AB, AQ =
2
3AE =>
1
AB2=
1
AE2+
4
9 AF2
1,5
điểm