5 BO DE THI HSG

Với giá trị nào của m thì đờng thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.. Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đ[r]

Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)

Đề 1

Bài 1: (8 điểm)

Cho parabol

21( ) :

3

P y x

.

1 Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(2;1).

2 Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(2;1)và có hệ số góc m Với giá trị nào của m thì đờng thẳng d

cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.

3 Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

1 Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi qua một

điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.

2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho.

3 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho.

-HẾT -Đáp án và thang điểm:

Bài 1 ý Nội dung Điểm

1.1 (2,0 điểm)

Phơng trình đờng thẳng d1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a + b,

Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d1 và (P) là:

2

(*)3

m m m

Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x1 và x2 là 2 nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:

đờng thẳng

34

x y xy

x y xy

3 8,0

3.1

Gọi K là giao điểm của Ax

và GF, I là giao điểm của By và ED Ta có:

+ Vậy khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O) thì dờng thẳng ED đi qua điểm I

3.2 Suy ra quĩ tích của I là nửa đờng tròn đờng kính BI (bên phải By,

,

C A EI C  B EB); quĩ tích của K là nửa đờng tròn đờng kính

3.3

Xét 2 tam giác BEI và BDK, tacó:

12



+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK

+ Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng tròn đờng kính AI 3,0

x x y

đó cho biết vị trí của điểm E ?

2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.

-

22

2 6,0

2.1 (3,0 ®iÓm)

2 2

1

x x y

.(1)

x y

x y xy

Trên tia đối của tia KG lấy điểm

N sao cho KN = KH Khi đó, HKN cân tại K Suy ra

(góc nội tiếp chắn cung nhỏ GH cố định), do đó GNH

không đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới

góc

1

4GOH

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính của

cung tròn, suy ra GHK vuông tại H, do đó KGH KHG (vì lần lợt phụ với

hai góc bằng nhau) Khi đó, K là trung điểm của cung lớn GH.

1,5

Vậy: Chu vi của GKH lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn GH.

ĐỀ SỐ 3

Bài 1: (8 điểm)

Cho phơng trình 2x2 2mx m 2 2 0 (1). .

4 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt.

5 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức

3 3

1 2

52

Cho tam giác ABC có ABC60 ;0 BC a AB c ;  (a c, là hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ

có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.

1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó.

2 Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa Tính diện tích của hình vuông đó

m m P

2

0 2 2 (**)2

0

m m

Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:

4

02

m   m  m  m  m  m 

0,50Suy ra:

2

x   x 

.Dấu đẳng thức xảy ra khi:

2 2

3 03

1

1 13

02

t   

(loại); 2

1 13

02

2

x   

1,0

0,5

+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình

vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC tại F Dựng hình

chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta có EF =

nhất

Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở trên cạnh

BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E

Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất

ĐỀ SỐ 4

Bài 1: (7 điểm)

3. Giải hệ phơng trình:

4 4

4 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và

ng-ời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và ngng-ời song sinh của C là hai ngng-ời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏi trong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?

Bài 3: (7 điểm)

Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau Đờng tròn (O 1 ) nội tiếp trong tam giác ACD Đờng tròn (O 2 ) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O 3 ) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O 4 ) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O 1 ) Tính bán kính của các đờng tròn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ), (O 4 ) theo R.

-Hết -Đáp án và thang điểm:

Bµi ý Néi dung §iÓm

1.1 (4,0 ®iÓm)

4 4

x y

x y

điều kiện bài toán.

Với y = 2: k2 100x240x4 Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng chụccủa k2 mới là 4, suy ra k2 3600 244 3844  abbb.

Với y = 4; 6:

y  , khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ

số hàng chục của k2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là2

k abbb.

Với y = 8: y2 = 64; k2 100x2160x64, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì

chữ số hàng chục của k2 mới bằng 4, suy ra k 2 382 1444 hoặc

2 882 7744

k   (không thoả điều kiện bài toán).

Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh

Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C:

 Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu nh thế thì C

là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác giới tính(gt), nên C là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể là C nên phải

là A, do đó A là phái nữ Vậy B khác giới tính với hai ngời còn lại là A

+ Gọi r là độ dài bán kính đờng tròn (O1) Ta có:

+ Đờng tròn (O2) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O2 ở trên tia phân giác của

góc BOD, (O2) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở trên

đ-ờng thẳng nối 2 tâm O và O2, chính là giao điểm của tia phân giác gócBOD

với (O)

+ Đờng thẳng qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B' và D' là tiếp

tuyến chung của (O) và (O2) Do đó (O2) là đờng tròn nội tiếp OB D' '.

+ OB D' 'có phân giác góc O vừa là đờng cao, nên nó là tam giác vuông cân

và B D' ' 2 OT 2 ,R OB'OD'R 2, suy ra: OB D' 'ACD.

+ §êng trßn (O4) cã hai trêng hîp:

a) Tr êng hîp 1 : (O4) ë bªn tr¸i (O1):

KÎ tiÕp chung cña (O4) vµ (O1) t¹i tiÕp ®iÓm K c¾t AC vµ AD t¹i E vµ F

CO vµ CA lµ cßn lµ 2 tiÕp tuyÕn cña (O1), nªn chu vi cña CEFb»ng 2CO,

suy ra nöa chu vi cña nã lµ p = R

Ta cã:

2 2 1

2

4 2 2 11





2,0

b) Tr ờng hợp 2 : (O'4) ở bên phải (O1):

Khi đó: K' là tiếp điểm của 2 đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD tại E'

và F', CD tiếp xúc với (O'4) tại H

4 2 2 1 4 2 2'

4 2 2 1

R CH

3 2 và 2 3

Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x2  1 x  2   1 0

Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

x 1 A

Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành

các tổ học tập:

- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.

- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.

- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín người.

Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?

Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trong đoạn AB

lấy điểm M khác 0 Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với

AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.

c) CM.CN = 2R 2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn (O, R) Trên tia đối

của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

Hết ĐÁP ÁN

Câu Nội dung – yêu cầu Điểm

u 

3u - 2y = 2

1 13

y 

Hệ PT có 2 nghiệm là:

0,250,75

y 



(4đ) * Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,

số bạn nam được chia vào tổ là y,

* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP

* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP

b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

NMP NCD (hai góc đồng vị)

ONC OCN (hai góc đáy của tam giác cân ONC)

NMP NOP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra MNO NOP  ; do đó, OP//MC

0,5

0,250,250,250,50,250,250,250,250,25

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.

c) CNDCOM g g( )

Nên

OC CM

CN CD hay CM.CN = OC.CD = 2R2d) Vì MP = OC = R không đổi

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy trên đoạn AB

nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên

0,50,50,50,5

DC

O