b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C.[r]
Trang 1Mục lục
1.1 Lý thuyết 3
1.1.1 Phương trình bậc hai 3
1.1.2 Dấu của tam thức bậc hai 3
1.1.3 Các lý thuyết về đạo hàm 4
1.1.4 Tính đồng biến - nghịch biến của hàm số 5
1.1.5 Cực trị của hàm số 5
1.1.6 Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số 5
1.1.7 Tương giao của hai đồ thị 5
1.1.8 Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 5
1.2 Bài tập 6
2 Dạng toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình 8 2.1 Lý thuyết 8
2.1.1 Lượng giác 8
2.1.2 Lũy thừa 9
2.1.3 Logarit 9
2.1.4 Phương trình mũ và phương trình logarit 10
2.2 Bài tập 10
2.2.1 Dạng toán giải các phương trình lượng giác 10
2.2.2 Dạng toán giải các phương trình chứa căn thức 11
2.2.3 Dạng toán giải các phương trình mũ 11
2.2.4 Dạng toán giải các phương trình logarit 11
2.2.5 Dạng toán giải các bất phương trình mũ 11
2.2.6 Dạng toán giải các bất phương trình logarit 11
2.2.7 Dạng toán giải các hệ phương trình 11
3 Dạng toán hình học giải tích 3 chiều 13 3.1 Lý thuyết 13
3.1.1 Hệ trục tọa độ trong không gian 3 chiều 13
3.1.2 Phương trình mặt phẳng 14
3.1.3 Phương trình đường thẳng 14
3.1.4 Phương trình mặt cầu 15
3.2 Bài tập 16
4 Dạng toán tích phân và đại số tổ hợp 18 4.1 Lý thuyết 18
4.1.1 Các lý thuyết về nguyên hàm 18
4.1.2 Các lý thuyết về tích phân 19
4.1.3 Các lý thuyết về đại số tổ hợp 20
4.2 Bài tập 21
4.2.1 Dạng toán tính tích phân 21
4.2.2 Dạng toán tổ hợp, nhị thức Newton 21
Trang 21.1.2 Dấu của tam thức bậc hai
cùng dấu với a0 trái dấu với a 0cùng dấu với a
• Nếu ∆ = 0 thì có bảng xét dấu sau
x
ax2 + bx + c
cùng dấu với a0cùng dấu với a
• Nếu ∆ < 0 thì có bảng xét dấu sau
x
ax2+ bx + c
cùng dấu với a
Trang 3của f (x) tại x0, kí hiệu là f0(x0)hay y0(x0), khi đó
• (sin x)0 = cos x • (sin u)0 = u0 cos u
• (cos x)0 = − sin x • (cos u)0 = −u0 cos u
• Vi phân: Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b) và có đạo hàm tại x ∈ (a, b) Giả sử
∆xlà số gia của x sao cho x + ∆x ∈ (a, b) Tích f0(x)∆xđược gọi là vi phân của hàm
số f (x) tại x, ứng với số gia ∆x, ký hiệu là df (x) hay dy Như vậy dy = df (x) = f0(x)dx
Trang 41.1.4 Tính đồng biến - nghịch biến của hàm số
Giả sử hàm f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b), khi đó:
• f0(x) > 0, ∀x ∈ (a, b)thì f (x) đồng biến trên khoảng (a, b)
• f0(x) < 0, ∀x ∈ (a, b)thì f (x) nghịch biến trên khoảng (a, b)
• f (x) đồng biến trên khoảng (a, b) thì f0
- So sánh để suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
• Xét trên một khoảng : Dùng bảng biến thiên
1.1.7 Tương giao của hai đồ thị
Giả sử (C1)là đồ thị của hàm số y = f (x) và (C2)là đồ thị của hàm số y = g(x) Khi đó sốnghiệm của phương trình f (x) = g(x) tương ứng với số giao điểm của (C1)và (C2)
1.1.8 Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) và M0(x0; f (x0)) ∈ (C) và f (x) có đạo hàm tại
x = x0 Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0là
y − y0 = f0(x0)(x − x0)
Trang 51.2 Bài tập
1.1 Cho hàm số y = f (x) = −x3+ 3mx2+ (m − 1)x + 3m − 1 (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (Cm)khi m = 1
b) Tìm m sao cho phương trình −x3+ 3x2− 2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
c) Xác định các giá trị của m để hàm số (Cm)đồng biến trên khoảng (0; 1)
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f (x) = −x3 + 3x2 + 2biết tiếptuyến đi qua điểm M (0; 6)
1.2 Cho hàm số y = 2x + 3
x + 2 (1)a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Xác định các giá trị của m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểmphân biệt
1.3 Cho hàm số y = −2x + 3
x − 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số
đã cho tại hai điểm phân biệt
1.4 Cho hàm số y = x4− 2x2− 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4− 2x2− 1 −
m = 0
1.5 Cho hàm số y = 2x + 1
x − 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)đi qua điểm M (1; 8)
1.6 Cho hàm số y = −x3+ 3x2− 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x3−3x2+k = 0
1.7 Cho hàm số y = x − 3
x − 2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã chotại hai điểm phân biệt
1.8 Cho hàm số y = x3− 3x + 1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)đi qua điểm M (14
9 ; −1)
Trang 62 Dạng toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
2.1 Lý thuyết
2.1.1 Lượng giác
• Các công thức lượng giác:
◦ sin2+ cos2 = 1; 1 + tan2x = 1
cos2x; 1 + cot
2x = 1sin2x; tan x cot x = 1
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b; cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b; sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
tan(a − b) = tan a − tan b
1 + tan a tan b; tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
◦ Công thức nhân đôi:
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a − sin2a = 2 cos2a − 1 = 1 − 2 sin2a
◦ Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos u + cos v = 2 cos u + v
2
cos u − v
2
Trang 7
sin u + sin v = 2 sin u + v
u − v2sin u − sin v = 2 cos u + v
2
sin u − v
• Lũy thừa với số mũ 0: Với a 6= 0 ta có a0 = 1
• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Với a > 0, m, n ∈ Z, n > 2, ta có amn = √n
• Định nghĩa: Cho a > 0, b > 0, a 6= 1, số α thỏa đẳng thức aα = bđược gọi là logarit cơ
số a của b và ký hiệu là logab, như vậy α = logab ⇐⇒ aα = b
• Các tính chất:
loga1 = 0; logaa = 1; aloga b
= b; logaaα = α
• Các quy tắc
Trang 8αlogab(α 6= 0)
• Logarit thập phân và logarit tự nhiên: Với x > 0 ta viết gọn
log10x = lg xhoặc log10x = log x; logex = ln x
2.1.4 Phương trình mũ và phương trình logarit
• Phương trình mũ: có dạng cơ bản
ax = b (a > 0, a 6= 1)
- Nếu b 6 0 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
- Các phương pháp để biến đổi về dạng cơ bản: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lấylogarit hai vế,
• Phương trình logarit: có dạng cơ bản
logax = b (a > 0, a 6= 1)
- Phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x = ab
- Các phương pháp để biến đổi về dạng cơ bản: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũhóa hai vế,
2.2 Bài tập
2.2.1 Dạng toán giải các phương trình lượng giác
2.1 ) sin 7x + sin 5x + sin 3x = 0 2.2 ) 1 + cos 2x + cos x + cos 3x = 0
2.3 ) cos x + cos 2x + cos 3x = 0 2.4 ) 2 sin x cos 2x + 2 cos 2x − 1 − sin x = 0 2.5 ) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x 2.6 ) sin22x + cos24x = sin25x + cos26x
2.7 ) cos 2x + sin 2x + sin 6x = 0 2.8 ) cos x + cos 4x = sin 5x
Trang 92.2.2 Dạng toán giải các phương trình chứa căn thức
2.2.4 Dạng toán giải các phương trình logarit
2.25 ) log2(x + 7) − log2(x − 1) = 0 2.26 ) log5(3x − 11) + log5(2x − 27) = 3 + log58
2.27 ) log3x + log9x + log27x = 11 2.28 ) log2(3x − 1) + log2(x + 1) = −1
2.29 ) log2(9 − 2x) + x = 3 2.30 ) 2 log22x − log2x − 6 = 0
2.2.6 Dạng toán giải các bất phương trình logarit
2.41 ) log2(x + 7) − log2(x − 1) 6 0 2.42 ) log5(3x − 11) + log5(2x − 27) > 3 + log58
2.43 ) log3x + log9x + log27x > 11 2.44 ) log2(3x − 1) + log2(x + 1) < −1
2.45 ) log2(9 − 2x) + x > 3 2.46 ) 2 log22x − log2x − 6 < 0
Trang 102.55 ) 3x
2+ 2xy + y2 = 11
2− xy − 2y2 = 565x2− xy − y2 = 49
Trang 113 Dạng toán hình học giải tích 3 chiều
3.1 Lý thuyết
3.1.1 Hệ trục tọa độ trong không gian 3 chiều
• Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc trong không gian 3 chiều gồm 3 trục
x0Ox, y0Oy, z0Ozvuông góc với nhau từng đôi một Gọi−→i ,−→
j ,−→
k lần lượt là các vec tơđơn vị trên các trục x0Ox, y0Oy, z0Oz Điểm O gọi là gốc tọa độ Không gian gắn với
hệ tọa độ Oxyz gọi là không gian Oxyz
• Tọa độ của một điểm: Trong không gian Oxyz cho điểm M tùy ý Khi đó −−→OM =
x−→
i + y−→
j + z−→
k và bộ ba (x, y, z) gọi là tọa độ của điểm M
• Tọa độ của một vec tơ: Trong không gian Oxyz cho vec tơ −→a với −→a = a1−→
i + a2−→
j +
a3−→
k Khi đó bộ ba (a1, a2, a3)gọi là tọa độ của −→a và viết −→a = (a1, a2, a3)hay −→a (a1, a2, a3)
• Biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ: Trong không gian Oxyz cho −→a = (a1, a2, a3),
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng:
◦ Trong không gian Oxyz cho −→a = (a1, a2, a3),−→b = (b1, b2, b3), khi đó tích vô hướngcủa −→a và−→b là
• Liên hệ giữa tọa độ điểm và vec tơ: Cho 2 điểm A(xA, yA, zA)và B(xB, yB, zB)khi đó
◦ Tọa độ của vec tơ−→AB = (xB− xA, yB− yA, zB− zA)
Trang 123.1.2 Phương trình mặt phẳng
• Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vec tơ −→n khác −→0 và có giá vuông góc với mặtphẳng (α) gọi là vec tơ pháp tuyến hay pháp vec tơ của mặt phẳng (α)
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
◦ Nếu mặt phẳng (α) có phươn trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó cómột vec tơ pháp tuyến là −→n = (A, B, C)
◦ Phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0, y0, z0) và nhận vec tơ −→n =(A, B, C) 6=−→
0 làm vec tơ pháp tuyến là
a2 a3
b2 b3
,
a3 a1
b3 b1
,
a1 a2
b1 b2
= (a2b3− a3b2; a3b1− a1b3; a1b2− a2b1)Chú ý : Vec tơ −→n = −→a ∧−→b vuông góc với cả −→a và−→b
• Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α1)có phương trình tổng quát
A1x + B1y + C1z + D1 = 0với vec tơ pháp tuyến −→n1 = (A1, B1, C1)
và mặt phẳng (α2)có phương trình tổng quát A2x + B2y + C2z + D2 = 0với vec tơpháp tuyến −→n2 = (A2, B2, C2) Khi đó
Trang 13◦ Cho đường thẳng (∆) đi qua điểm M (x0, y0, z0)và nhận vec tơ −→a = (a1, a2, a3) 6=−→
0làm vec tơ chỉ phương, (∆) có phương trình tham số là
• Vị trí tương đối của 2 đường thẳng Cho 2 đường thẳng d1qua điểm M1(xM1, yM1, zM1)
và có vec tơ chỉ phương −→a1, d2 qua điểm M2(xM2, yM2, zM2)và có vec tơ chỉ phương
• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d đi qua điểm
M (x0, y0, z0)và có vec tơ chỉ phương −→a = (a1, a2, a3), mặt phẳng (α) có phương trình
Ax + By + Cz + D = 0và nhận −→n = (A, B, C)làm vec tơ pháp tuyến Khi đó
• Ngược lại, phương trình x2+y2+z2+2Ax+2By +2Cz +D = 0với A2+B2+C2−D > 0
là phương trình mặt cầu tâm I(−A, −B, −C) có bán kính r =√A2+ B2+ C2− D
Trang 143.2 Bài tập
3.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng (P ) có phương
trình x + 2y + z − 1 = 0
a) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P )
b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P )
3.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 0; 5) và hai mặt phẳng (P ) :
3.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(−2; 1; −1), B(0; 2; −1), C(0; 3; 0), D(1; 0; 1).
a) Viết phương trình đường thẳng (BC)
b) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a) Chứng minh rằng đường thẳng (∆1)và đường thẳng (∆2)chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng (∆1)và song song với đường thẳng
a) Chứng minh rằng (d) cắt (P ) tại A Tìm tọa độ điểm A
b) Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua A, nằm trong (P ) và vuông góc với (d)
Trang 153.7 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−1; 2; 0), B(−3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; −2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AD và song song với BC
3.8 Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7).
a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)
b) Lập phương trình của mặt cầu (S)
Trang 164 Dạng toán tích phân và đại số tổ hợp
• Mọi hàm số liên tục trên khoảng K ⊆ R đều có nguyên hàm trên đoạn đó
• Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K ⊆ R thì với mỗi hằng
số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K Ngược lại,Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x)trên K đều có dạng F (x) + C với C là một hằng số Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàmcủa hàm số f (x) làR f (x)dx, đọc là tích phân bất định của f(x) Khi đó R f(x)dx =
Trang 17Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x))
•R cos xdx = sin x + C •R cos udx = sin u + C
•R sin xdx = − cos x + C •R sin udu = − cos u + C
Trang 18◦ Phương pháp đổi biến số:
- Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β] sao cho ϕ(α) =
• Quy tắc nhân: Giả sử có hai hành động được thực hiện liên tiếp Hành động thứ nhất
có m kết quả Ứng với kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kếtquả Khi đó có m × n kết quả của hai hành động liên tiếp đó Quy tắc này cũng đúngcho nhiều hành động liên tiếp
• Cho tập hợp A có n phần tử (n > 1)
◦ Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là mộthoán vị của tập hợp A Số các hoán vị của A được ký hiệu là Pn, khi đó Pn = n! =n.(n − 1) 2.1
◦ Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1 6 k 6 n) và xếp theo một thứ tự nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử Số các chỉnh hợp chập k của nphần tử được ký hiệu là Ak
◦ Số các hạng tử là n + 1
Trang 19◦ Số hạng tử thứ k + 1 là Ck
nan−kbk
◦ Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n nhưng tổng các
số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
◦ Các hạng tử cách đều hạng tử đầu và hạng tử cuối có hệ số bằng nhau
4.11 Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)
b) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)
c) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau
d) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau
4.12 Một người vào cửa hàng ăn Người đó muốn chọn thực đơn gồm một món ăn trong
10 món, một loại hoa quả tráng miệng trong 5 loại hoa quả và một loại nước uống trong
4 loại nước uống Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa ăn
4.13 Cô giáo chia 4 quả bưởi, 3 quả cam và 2 quả quít cho 9 học sinh (mỗi em một quả).
Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau?
4.14 Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo?
4.15 Xác định hệ số chứa x4trong khai triển của biểu thức A = (x − 1)10
4.16 Xác định hệ số chứa x6trong khai triển của biểu thức A = (2x + 1)12
4.17 Xác định hệ số chứa x8trong khai triển của biểu thức A = (2x + 1)12+ 3x4(x + 2)5
4.18 Xác định hsố hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức A =
2x − 1
x3
6
Trang 205 Các đề thi tham khảo
TRƯỜNG ĐH KHXH VÀ NHÂN VĂN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC HỆ VỪA HỌC VỪA LÀM ĐỢT 2 - 2009
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút
———-Câu I Cho hàm số y = 2x + 3
x + 2 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2 Xác định các giá trị của m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị của hàm số (1) tại haiđiểm phân biệt
2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
Câu IV Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P ) :
2x + y − 2z − 6 = 0
1 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P )
2 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P )
Trang 21
———————————Hết——————————-ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐH KHXH VÀ NHÂN VĂN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC HỆ VỪA HỌC VỪA LÀM ĐỢT 1 - 2010
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút
———-Câu I Cho hàm số y = −x3+ 3mx2+ (m − 1)x + 3m − 1(1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2 Xác định các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (0; 1)
Câu III Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 3 = 0.
1 Viết phương trình mặt cầu (C) tâm I(1, −2, 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P )
2 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa các điểm A(1, 2, −1), B(2, 1, −3) và vuông gócvới mặt phẳng (P )
... C2) Khi Trang 13◦ Cho đường thẳng (∆) qua điểm M (x0, y0, z0)và... C2− D
Trang 143.2 Bài tập
3.1 Trong không gian với hệ tọa độ... ) vng góc với (d)
Trang 153.7 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 0), B(−3; 0; 2), C(1;