Vận dụng hằng đẳng thức vào giảI các bài toán cực trị.. Vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai.. Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trang 1Vận dụng hằng đẳng thức
vào giảI các bài toán cực trị.
+ (a+b)2 = a2+ 2ab + b2
+ (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Vận dụng 1 Vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai A 2 ³ 0
+ (a+b)2 ³ 0
Suy ra: + (a+b)2+ K ³ K ị Min[(a+b)2+ K] = K ; khi a = -b
+ K - (a+b)2 ÊK ị Max[K- (a-b)2] = K ; khi a = -b
+ (a-b)2 ³ 0
Suy ra: + (a-b)2+ K ³ K ị Min [(a-b)2+ K] = K ; khi a = b
+ K- (a-b)2 ÊK ị Max [K- (a-b)2] = K ; khi a = b
Bài toá1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = -x 2 x + 2
2
Suy ra : Min C = -3 , khi x + 2 = 1 Û x = - 1
Bài toán.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = (x + 2)2+ (x-1)2
Giải:
A = x2+4x+4 + x2- 2x +1= 2(x2+x+5/2) = 2 ( x2+ 2x.1/2+ 1/4+ 9/4)
= 2(x+1/2)2 + 9/2 9
2
³ Suy ra Min A= 9/2 khi x = -1/2
Bài toán.3 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2009
Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó Giải
P = x2- 2x + 1+y 2- 2y + 1 + xy- x- y + 1 + 2006
= ( x- 1)2 + (y- 1)2+ (x-1)(y-1) + 2006
= (x- 1)2+ 2(x- 1).12(y- 1)+14(y-1)2 + 34(y-1)2+ 2006
y
ỗ
Suy ra Min P= 2006 khi y = 1; x= 1
Bài toán 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = (x- ay)2+ 6(x-ay) +x2 + 16y2- 8xy + 2x - 8y + 10 ; (x; y ; a : là các số nguyên)
Giải: P = [(x-ay)2+6(x-ay)+9] + (x2- 8xy + 16y2)+2(x-4y)+1
= (x-ay+3)2 + (x-4y)2+ 2(x-4y) + 1
= (x-ay+3)2 +(x-4y+1)2 ³ 0
Trang 2Suy ra Min P = 0 khi và chỉ khi ỡùùớx x - ay4y+ 31=00 Û ỡùùùớay x - 44y y =1;(2)2;(1)
(1) Û (a-4)y = 2 ; do x ; y ; a là số nguyên nên ta có:
(a-4;y)={(1;2),(2;1),(-1;-2),(-2;-1)
Thế vào ta có (x;y;a)={(3;1;6),(7;2;5),(-5;-1;2),(-9;-2;3)}
Bài toán 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M =x - xy + y - x +
Giải: M = -x 2 xy + y + - 1 2( x - y) 2 - y + 2y
Suy ra: Min M = -1/2, khi y= 1/4 ; x = 9/4
Bài toán 6 Cho hàm số: 2 2
f x
x
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Giải:
f x
ỗ
2005 1 1 2 2004 2004
x
ỗ
Suy ra Min f(x) = 2004
2005 khi x= 2005
Bài toán 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của :
2
2
1
D
x
=
Giải:
2 2
1
D
2
2
ỗ
2
x
ỗ
= ỗ ỗố + - ữữứ + ³
Suy ra Min D= 3/4 khi x = 1
Bài toán 8 Tìm x ; y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
D = 15- 10x- 10x2+ 24xy- 16y2
Giải:
D = - (16y2- 24xy + 9x2)- (x2 + 10x + 25) + 35
= 35 – (4y- 3x)2- (x+ 5)2 Ê 35
Suy ra Max D = 35 khi x =-5 ; y = -15/4
Trang 3Bài toán 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2
x G
x
= +
Giải:
x G
2
ỗ
= - ỗ ỗố + - ữữứ Ê
Suy ra Max G = 1/4 ; khi x= 1
Bài toán 10.Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho BĐT sau đây luôn
đúng "x ẻ R
(x+1)(x+2)2(x+3) ³ m
Giải: Ta có A = (x+1)(x+2)2(x+3) = (x2+4x+3)(x2+4x+4)
= (x2+4x+3)2+(x2+4x+3) +1/4- 1/4
= (x2+4x+3+1/2)2- 1/4 ³ -1/4
Suy ra Min A =-1/4 khi x2+4x+3 = -1/2 Û x = -2+ 22 hoặc x = -2- 2
Vì m ÊA , "x ẻịR m ÊMin A = -1/4
Suy ra giá trị nguyên lớn nhất của m là -1
Bài toán 11 Cho x + y + z =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2+ y2 +
z2
Giải: Từ x + y + z = 3 ị (x+y+z) 2 = 9
Hay x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + xz) = 9; (1)
Mà (x-y)2 ³ 0 Û x2+ y2 ³ 2xy , dấu “=” xảy ra khi x = y
(y-z)2 ³ 0 Û y2+ z2 ³ 2yz , dấu “=” xảy ra khi y = z
(z- x)2 ³ 0 Û z2 + x2 ³ 2zx , dấu “=” xảy ra khi z = x
Nên : 2(x2 + y2+ z2) ³ 2(xy+yz+zx) hay x2+y2+z2 ³ xy + yz + zx; (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 9 = x2+ y2+ z2 + 2(xy+yz+zx) Ê3(x2+y2+z2)
Nên x2+y2+z2 ³ 3
Vậy Min G = 3 khi và chỉ khi x = y = z =1
Bài toán 12 Cho hai số thực x, y thoả điều kiện: x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y
Giải: Với x, y ẻ R ta có
(x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy + y2 = 2(x2+y2) = 2
Do (x-y)2 ³ 0, với mọi x, y; dấu “=” xảy ra khi x = y
Suy ra (x+y)2 Ê2 Û x + y Ê 2 Û - 2 Ê x + y Ê 2
Khi x = y ta có x2 = y2 = 1/2 2
2
x =y =
2
x =y =
Vậy Max (x+y) = 2 2
2
x =y = Û
Trang 4Min (x+y) = 2 2
2