chuyen de 2 BDHSG lop 9

+ Phñ ®Þnh råi suy ra kÕt luËn.[r]

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?

- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?

III Bài mới

A – Lí thuyết

1) Định nghĩa bất đẳng thức.

a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a – b < 0

a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a – b > 0

a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a  b, nếu a - b  0

a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a  b, nếu a - b  0

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :





  dấu “=” xảy ra khi a = b

*) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có

(a2 b )(x2 2y )2 (axby)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)

Bài làm :

Xét hiệu (a2 b )(x2 2y ) (ax2  by)2

= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - b2y2 – 2byax

= (ay – bx)2  0

Vậy: (a2b )(x2 2 y )2 (axby)2

dấu “=” xảy ra khi ay = bx hay

dÊu “=” x¶y ra khi

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

- HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ? Giải bài tập 46/SBT

- HS2: Giải bài tập 7 (tiết trớc)

- HS3: Giải bài tập 45/SBT

III Bài mới

2 Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức

*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện

dấu “=” xảy ra khi x = y

- Từ (1) và (2) x4+y4 2 dấu“=” xảy ra khi x = y = 1



*) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 Chứng minh rằng :

(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d Bài làm :

Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab

Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b

Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc

Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c

=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)

=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd

=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d

*) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng :

*) Học sinh tự luyện tại lớp các bài tập sau:

*) Bài tập 6 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến

đổi tơng đơng và dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

- HS1: Giải bài tập 10 câu a

- HS2: Giải bài tập 10 câu b

Giải:

Dùng phép biến đổi tơng đơng

3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)

 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)

 9 4ab + 8  1 4ab  (a + b)2 4ab

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh

*) Bài tập 2 :

Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4

Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3

Giải:

Từ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = [(a+b)+c]2≥ 4 (a+b)c

=> 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc

 ( a + b )2  4 ab  ( a – b )2  0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợcchứng minh Xảy ra dấu đẳng thức  a = b

4 Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,

- Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy

Tơng tự ta thu đợc :

√ b

c +a ≥

2b a+b+c , √ c

a+ b ≥

2 c a+b+c

Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng )

Giải :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :

(x2 + y2)2 = ( x√1− y2+y√1 − x2 )2 (0x1 ; 0y 1)

(x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2)

DÊu ''='' x¶y ra khi : a = b = c = 1

(b + c)2

+ 4a  4 (b + c)a

Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh

(theo cô - si)1

cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh

Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì khi đó

a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nên a + b + c = 0 (trái với giả thiết a, b, c > 0)

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của

tam giác trong tam giác ABC

- HS2:

Với x, y > 0 CMR:

x  y  x  y Dấu “=” xảy ra  x = y

III Bài mới

5 Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác

a , b, c là độ dài ba cạnh của tam giác  a < b + c (1)

=> điều phải chứng minh

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

A

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

MD = MA Dễ dàng chứng minh đợc

Kéo dài BI cắt AC tại K

Xét AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)

Gọi A là giao điểm của MK với Oz

Vẽ AB Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với M

Xét Δ KOA vuông tại K và Δ BOA vuông tại B có:

OA là cạnh chung

BOA KOA (Oz là tia phân giác)

Do đó Δ KOA = Δ BOA( cạnh huyền – góc nhọn )

 AK = AB ( hai cạnh tơng ứng )

Xét Δ AMB có BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác)

Do đó BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK

Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)

Suy ra MH < MK (Điều phải chứng minh)

*) Bài tập 7:

Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của BAC ( D BC).M là điểmnằm trên đoạn thẳng AD Chứng minh: MB – MC < AB – AC

Giải:

Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC

=> abc + 1 < ab + ac + bc (điều phải chứng minh)

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của

tam giác trong tam giác ABC

- HS2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, thoả mãn:

- Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái ngợc nhau , từ đósuy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng + Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

*) Bài tập 1:

Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai :

2a(1 - b) > 1 3b(1 - c) > 2

√a(1 −a)≤ a+1− a

2 =

1

2 => a(1 - a)

1 4

- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng

đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải

3 2

Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau:

Nếu a > b > 0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k  n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n  n0

*) Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 thì

2n > 2n + 1 (*)

Giải :

+ Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 Vậy đẳng thức (*) đúngvới n = 3

Vậy (**) đúng với mọi k 3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n 3

1

√3 k +1 .

2 k +1 2(k +1)

Do đó chỉ cần chứng minh : 1

√3 k +1

2 k +1 2(k +1)

- Xem lại các bài đã chữa

- GV giới thiệu thêm một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khác nh phơng pháp làm trội, tam thức bậc hai,… và những ứng dụng của bất đẳng thức để giải các dạng toán khác Đề nghị học sinh có thể tìm hiểu thêm ở sách tham khảo hoặc sau này sẽ bồi dỡng tiếp khi có điều kiện về thời gian.

*******************************