biểu thức phức tạp kết quả, chúng tôi cũng đã lựa chọn trong số ba nguồn gốc khối lập phương trong từng phần của mỗi giải pháp, cho chín kết hợp có thể của một trong ba nguồn gốc khối l[r]
Trang 1Trước tiên, chia phương trình cho α3 để đưa về dạng
Đặt x = t - a/3 và biến đổi ta có phương trình
Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.
Ta sẽ tìm các số u và v sao cho
và một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt
có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức
Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có
Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có
Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u3 Khi giải, ta tìm được
Vì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm được
Chú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai
dấu ( ), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với ) Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi
tính x, không gặp trường hợp chia cho không Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có x = −a/3.
Trang 2Mỗi phương trình bậc ba (1) với thực tế hệ số có ít nhất một trong những giải pháp xgiữa các số thực, điều này là một
hệ quả của định lý giá trị trung gian Chúng ta có thể phân biệt một số trường hợp có thể sử dụng cácbiệt ,
Các trường hợp sau đây cần phải được xem xét: [ 17 ]
Nếu Δ> 0, sau đó phương trình có ba nguồn gốc khác biệt thực sự
Nếu Δ = 0, sau đó phương trình có một gốc rễ nhiều và tất cả các rễ của nó là thực
Nếu Δ <0, sau đó phương trình có một gốc rễ thực sự và hai nhân liên hợp nonreal phức tạp
Xem thêm: đa dạng của một thư mục gốc của một đa thức
[ sửa ]Tổng công thức của rễ
Đối với các phương trình bậc ba chung (1) với hệ số thực tế, công thức chung của rễ, về các hệ số, là như sau Lưu ý rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong những gì
Tuy nhiên, công thức này được áp dụng mà không cần giải thích thêm khi các toán hạng của các căn bậc hai
là không âm a, b, c, d là hệ số thực Khi toán hạng này là có thực và không âm, căn bậc hai là vào thư mục gốc chủ yếu vuông (tích cực) và rễ khối lập phương trong công thức để được hiểu là những người thực
sự Nếu không, không có căn bậc hai và một trong những tùy tiện có thể chọn một trong những gốc rễ tưởng
Trang 3tượng vuông (tương tự trong cả hai phần của giải pháp cho mỗi x i ) Để giải nén các căn bậc phức tạp của biểu thức phức tạp kết quả, chúng tôi cũng đã lựa chọn trong số ba nguồn gốc khối lập phương trong từng phần của mỗi giải pháp, cho chín kết hợp có thể của một trong ba nguồn gốc khối lập phương cho phần đầu tiên của biểu thức và một trong ba thứ hai Sự kết hợp đúng là như vậy mà hai căn bậc hai điều khoản trong một biểu thức giải pháp cho lựa chọn tiếp hợp phức tạp của nhau (mà trong đó hai điều khoản trong mỗi giải pháp tưởng tượng hủy bỏ ra)
Một cách khác để viết các giải pháp có thể thu được bằng cách lưu ý rằng các bằng chứng của công thức trên cho thấy rằng sản phẩm của các căn bậc hai là hợp lý Điều này cho phép các công thức sau đây trong
đó hoặc là viết tắt cho bất kỳ sự lựa chọn của các gốc hình vuông hoặc hình khối, nếu
Nếu và , biểu thức trên cho rễ là chính xác nhưng sai lệch, che giấu thực
tế rằng không có căn bản là cần thiết để đại diện cho rễ Trong thực tế, trong trường hợp này, có một gốc đôi,
và một gốc đơn giản
Trang 4Xét phương trình bậc bốn:
(*)
Ta đưa vào phương trình ẩn phụ y như sau:
Cộng hai vế của phương trình (*) cho Ta có:
(**)
Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là biểu thức chính phương (trường hợp vế phải của (*) đã là biểu thức
chính phương thì việc đưa vào biến phụ y là không cần thiết) Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép
theo biến x.
Hay:
Nghĩa là, ta tìm y là nghiệm của phương trình:
(***)
Với giá trị vừa tìm được thì vế phải của (**) có dạng
Do đó, thế vào phương trình (**) ta có:
(****)
Từ (****) ta có được 2 phương trình bậc hai:
(a)
(b)Từ đây, giải 2 phương trình (a), (b) ta sẽ có 4 nghiệm của phương trình bậc 4 tổng quát ban đầu.P/s: từ phương trình (***) ta sẽ có 3 giá trị y, và với mỗi giá trị y có được ta sẽ có 4 giá trị x Như vậy, tổng cộng ta có 12 giá trị x là nghiệm của phương trình (1) Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ có đúng 4
Trang 5nghiệm (thực hoặc phức) Do đó, các giá trị x tương ứng với y0 sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y1 và y2 Vì vậy, từ (***) ta chỉ cần tìm 1 giá trị yo là đủ.
Trong bài này chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình bậc ba tổng quát
trước
Vì nên ta có thể chia hai vế của phương trình (1) cho a Do vậy ta chỉ cần đi giải phương
Đặt Để xét số nghiệm của (3), ta khảo sát sự tương giao của hàm
Chú ý hàm bậc ba cắt Ox tại
· Một điểm hàm luôn đơn điệu hoặc
· Hai điểm
· Ba điểm
.
Từ đây ta có các kết quả sau:
* Nếu có nghiệm duy nhất Để tìm nghiệm này ta làm như sau:
Đặt , khi đó (3) trở thành:
( 4 ) có hai nghiệm:
(*)
Công thức (*) gọi là công thức Cardano.
* Nếu , khi đó (3) có hai nghiệm, một nghiệm kép ( hoặc ) và một
Trang 6nghiệm đơn Tức là:
* Nếu , khi đó (3) có ba nghiệm phân biệt và ba nghiệm này nằm trong
Giải (5) ta được ba nghiệm , từ đây suy ra ba nghiệm của phương trình (3) là : (***).
phép chia đa thức và chuyển phương trình đã cho về phương trình tích của một nhị thức bậc nhất
và một tam thức bậc hai.
trình có duy nhất nghiệm:
.
Giải:
(2) trở thành:
Trang 7
Vậy phương trình có ba nghiệm:
(1).
Vậy là giá trị cần tìm.
* Nếu có hai nghiệm phân biệt , tức là: thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
* Nếu có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng , tức là: thì phương
* Nếu có nghiệm kép khác , tức là: thì phương trình có hai nghiệm
* Nếu có nghiệm kép , tức là: thì phương trình có một nghiệm
* Nếu vô nghiệm thì phương trình có đúng một nghiệm
Giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
(2)
Trang 8Yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt.
bằng 1 Điều này có
Khả năng 1:
(1).
* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì đúng.
* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc ba nghiệm đó là phân biệt Khi
.
đpcm.
Từ cách chứng minh trên ta suy ra được nếu có (1) thì phương trình có ba nghiệm ( có hai nghiệm phân biệt khác 1)