a. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải - Free Document

Xuất phát từ thực tiễn đổi mới phương pháp giáo dục, đó là phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức.Đối với giáo viên bằng cách nàocó thể trang[r]

1 Phần mở đầu

1.1Lí do chọn sáng kiến

Xuất phát từ thực tiễn đổi mới phương pháp giáo dục, đó là phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức.Đối với giáo viên bằng cách nàocó thể trang bị cho các em đầy đủ các kiến thức, các dạng bài tập đó là động lực thúc đẩy mỗi bản thân giáo viên tìm tòi và đặt ra các câu hỏi.Phương trình bậc nhất là một phần nội dung trọng tâm của chương trình Toán 8, qua thực tiễn dạy học cũng như kết quả đánh giá học tập của học sinh thông qua các bài kiểm tra tôi nhận thấy kĩ năng giải phương trình bậc nhất một ẩn cũng như một số dạng bài tập toán có liên quan của học sinh còn nhiều lúng túng, cách trình bày còn chưa logic, vẫn biết đây là một nội dung tương đối khó tiếp cận đối với trình độ học sinh lớp 8, nó liên quan tới nhiều nội dung như liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, về giá trị tuyệt đối, về tập hợp về biến đổi tương đương…

Với mong muốn giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp cận, nắm kiến thức và phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn và các dạng toán về phương trình bậc nhất Thông qua thực tế dạy học, tìm tòi và nghiên cứu tôi đã chọn lọc những kiến thức quan trọng nhất, sắp xếp, hệ thống, phân loại chúng theo những dạng toán cơ bản, ở mỗi nội dung đều có kiến thức lí thuyết, phương pháp giải, các ví dụ giải mẫu, chỉ ra các sai lầm thường gặp của các

em trong lúc giải toán, và các lưu ý khi giải với hi vọng giúp học sinh nắm được và “ Giúp học sinh giải phương trình bậc nhất một ẩn và các dạng toán liên quan”

Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm là đã đưa ra các phương trình bậc nhất một ẩn, các dạng phương trình liên quan thường gặp và các phương pháp giải chi tiết giúp học sinh trung bình yếu nắm được.Phát hiện những sai lầm thường gặp của học sinh trong lúc giải toán và khắc phục những điểm sai đó Hoàn thiện khả năng giải phương trình và nêu ra các bài toán nâng cao để học sinh khá giỏi có thể tham khảo và tìm tòi lời giải đặc sắc hơn

1.2 Phạm vi áp dụng của sáng kiến

Sáng kiến kinh nghiệm“ Giúp học sinh giải phương trình bậc nhất một

ẩn và các dạng toán liên quan” được áp dụng cho học sinh học chương trình phương trình bậc nhất Toán 8, giáo viên và các học sinh lớp trên có thể tham khảo để giải các bài tập vận dụng có liên quan

2 Phần nội dung

2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu

Qua thực tế giảng dạy còn tồn tại một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong việc tính toán, biến đổi phương trình và phương pháp giải toán, kĩ năng xâu chuỗi kiến thức Mà nguyên nhân phần lớn là do mất kiến thức tính toán suy luận từ lớp dưới, chưa thật sự nổ lực, tự học, tự nghiên cứu tìm tòi học tập.Học sinh còn thụ động trong việc nhận ra cách làm khi giải một bài toán vì lí do không áp dụng phương pháp giải theo thứ tự từng bước, do áp dụng theo sách tham khảo không có hệ thống, vắn tắt không biết sử dụng bước nào trước bước nào sau

Giáo viên chưa bám sát từng đối tượng học sinh, chưa định hướng các

em niềm say mê học tập, trong việc hướng dẫn học sinh giải toán chưa thật sự triệt để, dẫn đến học sinh không nắm được mấu chốt của bài toán, tiếp cận nội dung kiến thức còn thụ động, giáo viên sử dụng phương pháp chưa phù hợp,

sử dụng đồ dùng dạy học cũng như ứng dụng công nghệ thông tin chưa thật sự

có hiệu quả.Về phần gia đình chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con

em, chưa tạo điều kiện đúng mức, chưa kiểm tra theo dõi các em học tập thường xuyên Công tác phối kết hợp giáo dục giữa gia đình nhà trường chưa thực hiện đều đặn và thường xuyên

2.2 Các giải pháp

2.2.1Một số dạng toán cơ bản và phương pháp giải:

a Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải:

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0,

trong đó a, b là hai số tùy ý và a ≠ 0.

Phương pháp giải:

- Áp dụng hai quy tắc biến đổi phương trình:

+ Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử

từ vế này sang vế kia đồng thời đổi dấu hạng tử đó

+ Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 ( Vẫn đúng trong trường hợp chia cho một số khác 0)

- Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 với a ≠ 0 luôn có một nghiệm

duy nhất:

x = -

- Phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 được giải như sau:

ax + b = 0  ax = - b ( Chuyển b từ vế trái sang vế phải)

 x =

b a

 ( Chia cả hai vế cho a )

Tập nghiệm S =

b a



 

 

 

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

i) 2x + 6 = 0

+ Chuyển + 6 từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu, ta được 2x = -6

+ Nhân cả 2 vế với

1

2 , ta được 2x

1

2 = -6

1

2 x = - 3 ( Hoặc có thể chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta cũng được x = - 3 )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 3

*) Sai lầm thường gặp ở học sinh:

2x = 6  x = 3 ( chuyển vế mà không đổi dấu) hoặc giải xong không kết luận tập nghiệm

ii) - 3x + 7 = 0

 - 3x = -7

 x =

7 3





x =

7

3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

7 3

 

 

 

b Phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn ax + b = 0

Phương pháp chung:

- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc ( áp dụng quy tắc mở dấu ngoặc)

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

- Thu gọn và giải phương trình vừa nhận được.

- Nếu phương trình chứa mẫu là hằng số thì phải quy đồng và khử mẫu

(khử mẫu bằng cách nhân cả hai vế với mẫu chung)

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

(x - 2) – ( 2x - 1) = x + 3

 x -2 – 2x + 1 = x +3 ( Mở dấu ngoặc chú ý đến dấu)

 x – 2x – x = 3 – 1+ 2 ( Dùng quy tắc chuyển vế, khi chuyển vế đồng thời đổi dấu hạng tử chuyển)

 - 2x = 4  x = - 2 Tập nghiệm S =  2

Ví dụ 2: Giải phương trình sau (BT 17e tr14 SGK Toán 8 tập 2)

7 – ( 2x + 4 ) = - ( x + 4)

 7 – 2x – 4 = - x – 4

 -2x + x = - 4 – 7 + 4

 - x = -7  x = 7 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  7

*) Sai lầm thường gặp ở học sinh

- Thực hiện bỏ dấu ngoặc hoặc chuyển vế sai: Đằng trước dấu ngoặc có dấu trừ mà khi mở dấu ngoặc không đổi dấu các hạng tử ở trong ngoặc.Khi chuyển

vế hạng tử mà không đổi dấu hạng tử đó

- Tìm nghiệm sai hoặc chưa tìm đến nghiệm cuối cùng ví dụ - x = 3 kết luận 3

là nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Tìm chỗ sai khi giải phương trình và giải lại cho đúng

3x – 6 + x = 9 - x  3x + x – x = 9 – 6

3x = 3

 x= 1 Chỗ sai là chuyển vế không đổi dấu

Lời giải đúng: PT  3x + x + x = 9 + 6

5x = 15  x = 3 Vậy tập nghiệm là: S = {3}

*)Quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0 Khi đó phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x.

Dạng 1: 0x = 0

Phương trình thoả mãn với mọi x hay phương trìnhcó vô số nghiệm

Tập nghiệm S = R

Dạng 2: 0x = a ( a≠ 0 )

Không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình hay phương trình vô nghiệm Tập nghiệm S = 

Ví dụ: Giải phương trình:

a) 2( x + 2 ) = 2( x - 4 ) + 12

 2x + 4 = 2x - 8 + 12  2x - 2x = -8 + 12 - 4

 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm S = R

b) 2( x +1 ) + 2( - 2 - x) = 2 2x + 2 – 4 - 2x = 2

 2x - 2x = 2 – 2 + 4 0x = 4 Phương trình vô nghiệm S = 

*) Sai lầm thường gặp của học sinh

- Sau khi biến đổi phương trình được về dạng 0x = 0 kết luận 0 là nghiệm của phương trình

- Đưa phương trình về dạng 0x = 4 tiếp tục biến đổi x =

4 0

0 

c Phương trình tích:

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) E(x) = 0 Trong đó A(x), B(x), , E(x) là các đa thức biến x

Phương pháp giải:

Muốn giải Phương trình tích A(x).B(x) E(x) = 0, ta giải từng phương trình A(x) = 0; B(x) = 0; ; E(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm thu được

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) ( x - 2 )( 2x + 6 ) = 0

Ta giải hai phương trình x – 2 = 0 hoặc 2x + 6 = 0

x - 2 = 0  x = 2

2x + 6 = 0  x = - 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  3; 2

Ta có thể giải như sau, phương trình



    

Ta dùng kí hiệu  để thay cho từ hoặc để khi giải lời giải gọn gàng hơn và dễ nhận nghiệm hơn

b) ( 3x + 5)( 2x - 7) = 0

5

2

x

x









  



Vậy tập nghiệm củaphương trình là S =

5 7

;

3 2



 

 

 

*) Sai lầm thường gặp của học sinh là không nhận ra dạng phương trình tích

mà nhân đa thức với đa thức để được phương trình bậc cao rất khó giải Hoặc chỉ giải một phương trình thành phần mà không giải các phương trình khác dẫn đến không lấy hết nghiệm

*) Trong một số trường hợp phương trình đã cho chưa phải phương trình tích phải qua một số phép biến đổi như khai triển và chuyển tất cả các hạng tử về một vế trái khi đó vế phải bằng 0, sau đó thu gọn và phân tích thành nhân tử để trở thành phương trình tích

Ví dụ: Giải phương trình

2

2

Vậy S= {1; -2}

d.Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Định nghĩa:

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng: =

Trong đó A(x); B(x); C(x); D(x) là các đa thức biến x.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình ( ĐKXĐ là mẫu thức

khác 0)

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: ( Kết luận ) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá

trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình

Ví dụ: Giải phương trình

x



Điều kiện xác định là : x   1 0 và x   2 0

1 2

x x





 



 ( bước 1)

PT 

2( 2) 1( 1) 3 11

( 1)( 2) ( 2)( 1) ( 1)( 2)

2(x 2) ( 1) 3 11 x  x ( bước 3)

 -2x = -6  x = 3 thoả mãn ĐKXĐ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}

*) Sai lầm thường gặp ở học sinh

- Học sinh thường quên tìm điều kiện xác định của phương trình, dẫn đến kết luận nghiệm sai

- Dùng dấu tương đương tuỳ tiện () trong một số trường hợp chỉ đúng một chiều còn chiều ngược lại không đúng Vì phương trình vừa tìm được là phương trình hệ quả (sẽ học ở lớp trên) dẫn đến thừa nghiệm

- Học sinh thường không so sánh với điều kiện xác định của phương trình dẫn đến kết luận dư nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình sau

1 1 1

1 ( 1)

x

 

Học sinh thường mắc sai lầm:



1 1 1

1 ( 1)

x

 

( 1) 1( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)

 ( x – 1 )x – (x+1 ) = -1 ( ta không dùng dấu  mà dùng dấu =>)

 x2 – x – x – 1 +1 = 0

 x2 – 2x = 0  x(x - 2 ) = 0 

0

2 0

x x





0 2

x x







Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0 ; 2} không tìm ĐKX Đ nên dẫn

đến không so sánh được nghiệm dẫn đến kết luận nghiệm sai

Lời giải đúngĐiều kiện xác định của phương trình là x   1 0và x 0

1

0

x

x





 







1 1 1

1 ( 1)

x

 

( 1) 1( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)

=> ( x – 1 )x – (x+1 ) = -1

 x2 – x – x – 1 +1 = 0

 x2 – 2x = 0  x(x - 2 ) = 0 

0

x x





0 2

x x







So sánh với điều kiện xác định ta thấy x = 0 không thoả mãn Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

e Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a được định nghĩa:

a

a n u a<0











Õ Õ

Ví dụ 1:Giải phương trình: 2x = x + 3(1)

Ta có: 2x = 2x khi 2x 0 hayx 0

Vậy để giải phương trình trên ta giải hai phương trình:

*) Ta có: 2x = x + 3 với x 0

(1) 2x = x + 3  2x – x = 3  x = 3 thoả mãn điều kiện nên x = 3 là nghiệm

*) (1) – 2x = x + 3 với x < 0

Ta có: - 2x = x + 3  - 2x – x = 3 x = - 1 thoả mãn điều kiện, nên x = - 1 là

nghiệm của phương trình

Tổng các kết quả trên, ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-1; 3}

Ta có thể giải cách khác:

Giải: Điều kiện: x   3 0 x 3 (Do vế trái của phương trình luôn luôn  0)

 

x x

a mãn điều kiện )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {- 1; 3}

Ví dụ 2:Giải phương trình: x 3 = 6 –2x

Giải : Điều kiện: 6 2  x  0 6 2  x 3 x hay x 3 Ta có:

3 6 2

 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {3}

2.2.2Một số dạng toán khó có liên quan

a Nhận dạng, đánh giá, thêm bớt hạng tử để được phương trình đơn giản.

Ví dụ 1: Giải phương trình

x x x x

x x x x x x x x

Nếu giải theo phương pháp quy đồng sẽ rất khó khăn, ta thấy các số ở tử và mẫu ở mỗi phân thức cộng lại đều bằng 10, nên ta cộng thêm mỗi phân thức với 1

x

Dễ dàng nhận thấy phương trình x + 10 = 0  x = -10

Ví dụ2 : Giải phương trình

x x x x

Hướng dẫn: Các số ởtử và mẫu của mỗi phân thức cộng lại đều bằng 2015 nên

mỗi phân thức ta cộng thêm 1 Tức là thêm vào 2 vế của phương trình với 2

b Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình : (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)= 24

Nếu nhân vào ta được phương trình bậc cao rất khó giải, ta có thể phân tích

thành nhân tử, rồi đặt ẩn phụ

Giải:

Ta có: (x2 - 4x+3).(x2

- 6x + 8) = 24  (x2 –x - 3x + 3).(x2 – 2x – 4x + 8) = 24

⇔ (x-1).(x-3).(x-2).(x-4) – 24 =0

⇔ (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)- 24 =0

⇔ (x2-5x+4).(x2-5x+6) - 24 =0 Ta đặt x2 - 5x + 5 = t

⇔ (t-1).(t+1) - 24 =0

⇔ t2 – 25 =0 ( t - 5)( t + 5) = 0

⇔ t = 5 hoặc t = -5

*) Với t = 5 ta có x2 - 5x + 5 = 5 x2 - 5x = 0  x( x – 5) = 0

 x = 0 hoặc x = 5

*) Với t = -5 ta có x2 - 5x + 5 = -5 x2 – 5x + 10 = 0

 x

2 – 2

5

2 x +

25 15

4  4 

2

0

x

Phương trình này vô nghiệm vì vế trái luôn dương Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { 0; 5 }

Ví dụ 2: Giải phương trình

2

2

Nếu quy đồng ta sẽ được phương trình bậc cao rất khó giải, ta có thể đặt ẩn phụ

Giải: ĐKXĐ: x 0,

2

2

Ta đặt t =

1

x

x

 bình phương hai vế khi đó

2

1

2

x

PT t2 - 2 – 2t + 3= 0  t2 – 2t + 1 = 0 (t - 1)2 = 0

t – 1 = 0 => t = 1

với t = 1 =>

x

phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm

Tập nghiệm của phương trình là S = 

Ví dụ 3: Giải phương trình

x  x x  x x  x x  x

Hướng dẫn:

Đặt t = x2 – 10x , khi đó phương trình trở thành

29 27 1971 1973

1971 1973 29 27

Đây là phương trình đã biết phương pháp giải ở trên.

3 Phần kết luận

3.1 Ý nghĩa của sáng kiến

Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, bản thân tôi là người trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu nhận thấy rằng phần phương trình là nội dung rất quan trọng đối với chương trình Toán 8 cũng như các lớp trên Việc giúp học sinh có được kiến thức cơ bản, kinh nghiệm giải toán thông qua luyện tập, củng cố, vận dụng kiến thức là rất ý nghĩa Rèn luyện kỹ năng tính toán đã góp phần phát triển năng lực tư duy, óc suy luận hợp lý, khả năng quan sát, tìm tòi, phát hiện và giải quyết các vấn đề gần gũi trong cuộc sống, giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng, chăm học, hứng thú học toán Giáo dục các em có phương pháp tự học, làm việc chủ động, linh hoạt, sáng tạo, khắc phục ở học sinh cách suy nghĩ máy móc, dập khuôn Một trong những nguyên nhân quan trọng dẫn đến

sự tiếp thu chậm của học sinh là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán, để từ đó có nhu cầu về nhận thức sai lầm Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu ra phương pháp giải tổng quát, chỉ ra nguyên nhân và những hạn chế, sửa chữa kịp thời các sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả học tập môn toán Giúp học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng, nhanh chóng và chủ động hơn

3.2 Kiến nghị đề xuất

Để học sinh nắm chắc được kiến thức phải cần sự nỗ lực của thầy và trò Giáo viên cần có phương pháp dạy phù hợp, cần chuẩn bị bài chu đáo Nhà trường thường xuyên thanh kiểm tra công tác chuẩn bị, cũng như giảng dạy của giáo viên