Giải tổng quát phương trình bậc 3

Vài nét về lịch sử nghiên cứu của các Nhà Toán học Phương trình bậc 3 được đề cập đầu tiên bởi Nhà Toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN.. Vào thế kỉ 16, nhà toán họ

GIẢI TỔNG QUÁT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3

Hà Nội, ngày 28 tháng 5 năm 2016

Lâm Minh – VNCTeam

1 Phương pháp giải tổng quát

Xét PT bậc 3: 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0

Đầu tiên, đặt:

𝑥 = 𝑦 − 𝑏

3𝑎 Phương trình trở thành:

𝑦3+ 𝑚𝑦 + 𝑛 = 0 Trong đó:

𝑚 =3𝑎𝑐 − 𝑏

2

3𝑎2 ; 𝑛 =27𝑎

2𝑑 + 2𝑏3− 9𝑎𝑏𝑐 27𝑎3

Đặt tiếp:

𝑦 = 𝑚 3𝑡− 𝑡 =

3𝑎𝑐 − 𝑏2 9𝑎2𝑡 − 𝑡

Ta được PT bậc 2 theo 𝑡3:

27𝑡6− 27𝑛𝑡3− 𝑚3 = 0

Dễ dàng giải được nghiệm của PT trên là:

𝑡 =1

3√27𝑛 ± √729𝑛

2+ 108𝑚3

2

3

Từ đó, nghiệm của PT bậc 3 cần giải là:

𝑥 =3𝑎𝑐 − 𝑏

2

9𝑎2𝑡 − 𝑡 −

𝑏 3𝑎=

1

3(

3𝑎𝑐 − 𝑏2

𝑎2 √ 2

27𝑛 ± √729𝑛2 + 108𝑚3

3

− √27𝑛 ± √729𝑛

2+ 108𝑚3

2

3

−𝑏

𝑎)

2 Vài nét về lịch sử nghiên cứu của các Nhà Toán học

Phương trình bậc 3 được đề cập đầu tiên bởi Nhà Toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm

400 TCN và 200 CN

Vào thế kỉ 16, nhà toán học người Ý Scipione Del Ferro tìm ra cách giải một lớp các phương

trình bậc ba dạng 𝑥3+ 𝑚𝑥 = 𝑛 với 𝑚 và 𝑛 đều lớn hơn 0

Vào năm 1530, Niccolo Tartaglia tiếp nhận hai bài toán về phương trình bậc ba từ Zuanne Da Coi và công bố ông đã giải được chúng Ông nhận lời thách thức của Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã giữa hai người

Các môn sinh của S Del Ferro cũng tuyên bố giải được phương trình bậc 3 Không ai chịu ai, nên cuối cùng các nhà toán học Italia quyết định mở một cuộc thách đố giữa hai bên, mỗi bên đưa ra 30 đề toán làm trong hai giờ

Trước khi thi 8 ngày, Tartaglia tìm được phương pháp mới để giải phương trình bậc 3 Ông học thuộc cách giải mới và nghĩ ra 30 đề toán mà chỉ cách giải mới này mới thực hiện được

Vào ngày 22/2/1535, ông đã giải xong 30 đề toán đối phương đưa ra trước giờ quy định Ngược lại, nhóm môn sinh của S Del Ferro đã không giải được bài nào trong 30 đề toán mà ông đưa ra Tin tức truyền đi làm chấn động giới toán học Ở thành phố Milan, có người đứng ngồi không yên, đó là Girolamo Cardano Ông đã có nhiều công trình nghiên cứu phương trình bậc 3,

nhưng chưa có kết quả Cho nên khi nghe tin N Tartaglia đã giải được phương trình bậc 3, ông

hi vọng rằng sẽ được hưởng một phần thành tựu của N Tartaglia Nhưng Tartaglia lại không muốn công bố rộng rãi công trình của mình, ông chỉ viết lại trong tác phẩm “Nguyên tắc hình học”

Sau nhiều lần G Cardano đề nghị, năm 1539, N Tartaglia đã đồng ý truyền lại những bí quyết cho G Cardano

Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố phương pháp Tartaglia trong cuốn sách của ông là Ars Magna với lời ca ngợi dành cho Tartaglia

Cuộc tranh cãi về bản quyền cách giải này đã nổ ra gay gắt Nhưng cuối cùng lẽ phải đã chiến thắng và người ta công nhận lời giải đó là của N Tartaglia Tuy vậy, G Cardano vẫn nổi tiếng nhờ công bố cách giải này

Sau hai năm G Cardano công bố cách giải phương trình bậc 3, trong bài “những câu hỏi và phát minh”, N Tartaglia đã phê phán thái độ thiếu trung thực của G Cardano và yêu cầu thành phố Milan tổ chức tranh luận công khai với G Cardano

Đến ngày gặp nhau để tranh luận thì không phải là G Cardano mà lại là một học trò tài ba của

G Cardano, được ông ưu ái, đó là Lodovico Ferrari L Ferrari không những nắm được cách giải phương trình bậc 3, mà còn giải được phương trình bậc 4, nên N Tartaglia đã chịu thất bại Từ

đó N Tartaglia như bị vết thương lòng và ôm hận đến chết