ÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Giải : Gọi tứ diện đều ABCD, G là tâm của tam giác BCD thì a Tính thể tích khối chóp SABCD.. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP Bài toán xác định tâm mặt cầu ngoạ

CHƯƠNG I : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Nhắc lại các công thức trong tam giác :

• Định lý hàm cosin : 2 2 2

a =b +c −2bc.cos A

• Định lý hàm sin : a b c 2R

sin A =sin B=sin C=

_ Thể tích hình chóp bằng một phần ba tích số của diện tích đáy với

chiều cao của nó V = S.h 1

3 (S : diện tích đáy, h : chiều cao)

Một số lưu ý về cách dựng chiều cao của hình chóp :

• Hình chóp đa giác đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau Hình chiếu của đỉnh xuống đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

• Hình chóp S.ABC… có SA = SB = SC thì hình chiếu của S xuống đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

• Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao của mặt bên đó (kẻ từ đỉnh hình chóp) là đường cao của hình chóp

Nhận xét : Ta có thể dùng thể tích tứ diện để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :

Cho tứ diện SABC, chiều cao h kẻ từ S chính là khoảng cách từ S đến mp(ABC)

II Thể tích của khối lăng trụ :

_ Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với

chiều cao của nó

V = S.h (S : diện tích đáy, h : chiều cao)

_ Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích số của 3 kích thước của nó

S

h

h

S

Ví dụ 1 : Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Giải : Gọi tứ diện đều ABCD, G là tâm của tam giác BCD thì

a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách giữa CD và SA

Giải : a) Gọi E trung điểm AB, F là giao điểm của AC và DE

Ta có : F là tâm đường tròn (ABD) (Vì ABDđều)

* Vì SE⊥AB, FE⊥AB nên góc giữa mặt bên (SAB) và

a 3

a 324

Gọi h là chiều cao kẻ từ A của tứ diện AA1B1D1

Ví dụ 4 : Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tam giác ABC vuông tại A, AC = b, C = 60 o

Đường chéo BC1 tạo với mp(ACC1A1) góc 30o Tính thể tích của khối lăng trụ

Giải : Ta có : BA⊥(ACC A1 1) nên góc giữa BC1 và (ACC A là 1 1)

o 1

1) Tỷ số diện tích : Kiến thức bổ sung

• Định lý Menelaus : Cho tam giác ABC và ba điểm D, E, F nằm trên phần kéo dài của ba cạnh

(hay một điểm nằm trên phần kéo dài, hai điểm còn lại thuộc 2 đoạn) như hình vẽ

Ta có : D, E, F thẳng hàng  DB EC FA = 1

DC EA FB

1.1) Cách tính 1 :

• Cho tam giác 1 có diện tích S1, chiều cao h1, cạnh đáy a1 Tam giác 2 có diện tích S2, chiều

cao h2, cạnh đáy a2 Khi đó, ta có : 1 1 1

• Cho tam giác ABC, chiều cao kẻ từ A là d A, BC (Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC) ( )

• Cho đường thẳng d cắt AB tại điểm M thì ta có : ( )

Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC có D là điểm trên đoạn BC sao cho BD 2DC= và điểm E trên đoạn

AB sao cho BE=3EB

a) Tính tỷ số các diện tích sau : ADC

ABC

S

S ,

ABD ABC

Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC có D là trung điểm AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AE 3EC=

Kéo dài DE cắt BC tại F Tính các tỷ số thể tích sau : ADE CEF CEF ADE

* Ta tính qua trung gian SABC như sau : CEF CEF ABC

Ví dụ 7 : Cho hình bình hành ABCD có E, F là trung điểm AB và AD Kéo dài EF cắt CB, CD tại

G và I Tính các tỷ số diện tích : DIF CIG CEF

ABCD ABCD ABCD

S SS

Ví dụ 8 : Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB 2CD= Lấy điểm E đối xứng với C qua B và

điểm F thỏa AB=2BF Tính các tỷ số diện tích : ECD BEF

ABCD ABCD

S S,

S S

2.1) Cách tính 1 : So sánh chiều cao và diện tích đáy :

• Cho hình chóp 1 có thể tích V1, chiều cao h1, diện tích đáy S1 Hình chóp 2 có thể tích V2,

chiều cao h2, diện tích đáy S2 Ta có : 1 1 1

Ví dụ 9 : Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi E, F, G là trung điểm BC, CD, BD Lấy điểm H

trên cạnh AD sao cho AH 1

AD =3 Tính theo V thể tích các tứ diện AEFG, HEFG và AHEF

Giải : * Thể tích AEFG : Hai tứ diện ABCD và AEFG có cùng chiều cao nên AEFG EFG

Ví dụ 10 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, G là trọng tâm tam giác SCD

Gọi V là thể tích khối chóp SABCD Tính theo V thể tích tứ diện SGAB

Nhận xét : Ta tính qua trung gian thể tích của tứ diện SABE với E là trung điểm CD

Giải : Gọi E là giao điểm của SG và CD

* Hai tứ diện SGAB và SEAB có chung đáy SAB

SGAB SEAB

Ví dụ 11 : Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M là trung điểm BC, điểm I thỏa IB 3ID= , MI

cắt CD tại N Tính theo V thể tích các hình chóp sau : ABMI , AIND, ABDNM

Giải : * Thể tích ABMI : Hai tứ diện ABMI và ABCD có

cùng chiều cao nên : ABMI MBI

Ví dụ 12 : Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình bình hành Gọi E, F là trung điểm AB, AD

Lấy điểm H trên cạnh SC sao cho SC 3SH= Mặt phẳng HEF chia hình chóp thành hai phần Phần chứa điểm S có thể tích V1, phần còn lại có thể tích V2 Tính 1

* Ta tính : V2 =VHCIG−VKBEI−VJDFG =VHCIG −2VKBEI

Ta có : Các tam giác BEI, AEF, DFG bằng nhau

Ví dụ 13 : Cho tứ diện SABC có thể tích V Gọi G, H, I là trọng tâm các tam giác SAB, SBC,

SCA Tính theo V thể tích tứ diện SGHI

Giải : Gọi D, E, F là trung điểm AB, BC, CA

Ví dụ 14 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SA, mặt

phẳng (BCM) chia hình chóp thành hai phần Gọi V1 là thể tích của phần chứa điểm S,

Giải : * Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N là trung điểm của SD

* Ta có : VSABC VSADC 1VSABCD

2

V =V +V

V 3

V =5

Ví dụ 15 : Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của SC Mặt

phẳng (P) qua AM và song song với BD chia hình chóp thành hai phần Gọi V1 là thể

tích của phần chứa điểm S, V2 là thể tích phần còn lại Tính tỷ số 1

2

V

V

Giải : * Gọi O là giao điểm của AC và BD, SO cắt AM tại E

Đường thẳng qua E và song song BD cắt SB, SD tại H, K

Ta được thiết diện là tứ giác AHMK

Ta có E là trọng tâm tam giác SAC nên SH SK SE 2

Ví dụ 16 : Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB, điểm N trên đoạn CD sao cho

DN=2NC, điểm H trên đoạn BD sao cho DH 3HB= Mặt phẳng (MNH) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần Gọi V1 là thể tích phần chứa đỉnh A, V2 là thể tích phần còn lại Tính tỉ số 1

2

V

V

Giải : MH cắt AD tại E, EN cắt AC tại K Ta được thiết diện là tứ giác MHNK

* Xét tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng E, H, M

Ta có :

3 1 2

V 13

V = 7

Ví dụ 17 : Cho lăng trụ ABCA B C1 1 1 có thể tích V Gọi D, E là trung điểm AC, AB, điểm F trên

cạnh BC sao cho BF 2FC= Tính theo V thể tích khối đa diện A B C DEF1 1 1

Ví dụ 19 : Cho lăng trụ ABCA B C1 1 1 Lấy hai điểm M, N trên hai cạnh AB, AC sao cho

AM=3MB, AN 3NC= Lấy điểm M1 trên cạnh A B1 1 sao cho B M1 1 =2M A1 1 Mặt phẳng (MNM1) chia lăng trụ thành hai phần Một phần chứa điểm A có thể tích V1,

phần còn lại có thể tích V2 Tính tỷ số 1

2

V

V

Giải : * Gọi h là chiều cao lăng trụ

* Mặt phẳng (MNM1) cắt A C1 1 tại điểm N1 với M N1 1// MN

* Ba đường MM1, NN1, AA1 đồng quy tại D

V 133

V = 299

Ví dụ 20 : Cho lăng trụ ABCA B C1 1 1 có thể tích V Gọi M là trung điểm của AA1; điểm N thuộc

cạnh BB1 sao cho BN=4NB1 và E thuộc cạnh CC1 sao cho CE=3EC1.Tính theo V thể tích của khối đa diện ABCMNE

Giải : * Gọi D, F là trung điểm của BB1 và CC1

II Các thuật ngữ : Cho mặt cầu S(O, R) và một điểm A

a) Nếu OA = R khi đó điểm A thuộc mặt cầu Đoạn thẳng OA gọi là

bán kính của mặt cầu Nếu OA, OB là hai bán kính sao cho A, O,

B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu

Như vậy một mặt cầu được xác định nếu biết đường kính của nó

b) Nếu OA < R ta nói điểm A nằm trong mặt cầu Nếu OA > R ta nói

điểm A nằm ngoài mặt cầu

d) Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O, R) cùng với các điểm nằm bên trong của nó gọi là khối

cầu S(O, R) Như vậy : Khối cầu S(O, R) là tập hợp các điểm M thỏa OM  R

Trục của đường tròn : Cho đường tròn tâm O nằm trong

mp(P) Đường thẳng d qua O và vuông góc với mp(P) gọi là

trục của đường tròn (O) Nếu có một đa giác nội tiếp đường

tròn (O) thì d còn gọi là trục của đa giác đó

Lưu ý : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của đa diện (H) gọi là mặt

cầu ngoại tiếp đa diện (H) hay đa diện (H) nội tiếp trong

XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI

TIẾP HÌNH CHÓP Bài toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta

thường gặp một trong ba dạng sau

Dạng 1 : Nếu có nhiều điểm nhìn đoạn AB dưới một góc vuông thì tất cả những điểm ấy nằm trên

mặt cầu đường kính AB

Ví dụ 1 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và SC tạo với đáy (ABCD) một góc o

60 Giải : Vì SA⊥(ABCD) nên góc giữa SC và đáy là SCA=60o

Ví dụ 2 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD có đáy ABCD là

hình thang cân, AB // CD, AB=2a , AD=DC=CB=a, SA⊥(ABCD) và SA=2a Giải : * Gọi E là trung điểm AB thì các tứ giác AECD, BEDC là hình

thoi nên EA=EB=EC=EDnên E là tâm đường tròn ngoại tiếp

Suy ra : SAB=SDB=SCB=90o nên mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp là mặt cầu đường kính SB, tâm I là trung điểm SB

Bán kính : R 1SB 1 SA2 AB2 a 2

2 2

Ví dụ 3 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Biết AB, AC, AD đôi

một vuông góc với nhau và AB 1, AC= =2, AD=3

Ví dụ 4 : Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại B, AB=a, AC=2a Gọi M, N là hình

chiếu của A lên SB và SC Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCNM

Do đó : ANC=AMC=ABC

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hính chóp ABCNM có đường kính AC

Bán kính R 1SC a 5

= =

Dạng 2 :

• Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và dựng trục của đáy

• Tìm một cạnh bên đồng phẳng với trục thì trong mặt phẳng đó, dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên cắt trục của đáy tại O là tâm mặt cầu

Lưu ý : Cạnh bên đồng phẳng với trục có 2 loại :

* Loại 1 : Cạnh bên song song với trục (Cạnh bên vuông góc với đáy)

* Loại 2 : Cạnh bên cắt trục

Ví dụ 5 : Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥(ABC , SA) =2a Tìm tâm

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Giải :

* Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC đều nên G cũng là

trọng tâm của tam giác AG 2 a 3 a 3

3 2 3

 

 =  =

 

* Vẽ Gx⊥(ABC)thì Gx là trục của tam giác ABC Vì SA⊥(ABC)nên SA / /Gx

Trong mặt phẳng (SA, Gx), gọi M là trung điểm của SA Đường trung trực của SA cắt Gx tại O là tâm mặt cầu

Nhận xét : Vì SA SC SD= = nên hình chiếu của S lên mp(ACD) là tâm đương tròn ngoại tiếp tam

giác ACD Ta chứng minh được B là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ACD nên

* Ta có : DA=DB=DC= nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a

Vẽ Dx⊥(ABC)thì Dx là trục của tam giác ABC Vì SB⊥(ABC)nên SB / /Dx

* Trong mặt phẳng (SB, Dx , gọi E là trung điểm của SB Đường trung trực của SB cắt Dx )

tại O là tâm mặt cầu

A=120 Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Nhận xét : Ta chỉ cần gọi tên điểm D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (không cần chỉ ra

cách dựng điểm D) Vì góc A tù nên D nằm ngoài tam giác

* Độ dài BD là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng công thức trong

tam giác : BC 2R

sin A = (với R = BD) Giải :

* Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vẽ Dx⊥(ABC)thì Dx là trục của tam giác ABC Vì SB⊥(ABC)nên SB / /Dx

* Trong mặt phẳng (SB, Dx , gọi E là trung điểm của SB Đường trung trực của SB cắt Dx )

tại O là tâm mặt cầu

* Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABC ta được : BC 2BD BD 2a

Giải :

Gọi G là tâm tam giác đều ABC thì SG⊥(ABC) nên SG là trục của tam giác ABC

Trong mp(SAG), gọi M là trung điểm SA, đường trung trực SA cắt SG tại O là tâm mặt cầu

Ví dụ 9 : Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có SA SB SC 5a= = = và tam

giác ABC có AB=5a , AC=6a , BC=7a

Nhận xét : Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì GA là bán kính đường tròn

* GA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta dùng công thức S AB.BC.CA

Dạng 3 : Nếu trục của đáy và trục của một mặt bên cắt nhau thì giao điểm ấy là tâm mặt cầu

Ví dụ 10 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD có ABCD là hình

vuông cạnh a và tam giác SAB đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Giải :

* Gọi F là trung điểm AB thì SF⊥(ABCD) (Vì (SAB) (⊥ ABCD))

* Gọi E là giao điểm của AC và BD, vẽ Ex⊥(ABCD) thì Ex là trục hình vuông ABCD

* Gọi G là tâm tam giác đều SAB, vẽ Gy⊥(SAB)thì Gy là trục của tam giác SAB

* Ta có : Ex // SF và Gy // EF nên Ex cắt Gy tại O là tâm mặt cầu

Ví dụ 11 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B AB=BC=2a , AD=a

Tam giác SAB vuông tại S và (SAB) (⊥ ABCD) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD

Giải :

* Gọi O, E là trung điểm BD và AB Tam giác SAB vuông tại S nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB, tương tự O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

* Ta có OE⊥AB, SAB( ) (⊥ ABCD)OE⊥(SAB) nên OE là trục đường tròn (SAB)

Mà trục của đường tròn (ABD) qua O nên O là giao điểm của hai trục Do đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD

Ví dụ 12 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có tam giác ABC đều

cạnh 2a , tam giác SBC vuông cân tại S và SA=a 3

* M là tâm đường tròn (SBC) Dựng trục My⊥(SBC) thì My SAM ( )

* Trong mp(SAM) : Gx cắt My tại O là tâm mặt cầu

* Vẽ ra mặt phẳng ta có tam giác AMS cân tại A (AM=AS=a 3) và MS 1BC a

III Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O, R) và mp(P) Gọi d = d(O, (P)) và H là hình chiếu của O lên (P) Ta có :

• Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn trong (P) có tâm là H, bán kính 2 2

r= R −d

• Nếu d = R thì (P) và (S) có một điểm chung duy nhất là H Khi đó ta nói (P) tiếp xúc với (S) (hay (P) là tiếp diện của (S)), H gọi là tiếp điểm

• Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung

IV Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu :

Cho mặt cầu S(O, R) và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  và d = OH là khoảng cách từ O tới  Ta có :

• Nếu d < R thì  cắt (S) tại hai điểm phân biệt

• Nếu d = R thì  và (S) có một điểm chung duy nhất là H Khi đó ta nói  là tiếp tuyến của (S),

Định lý : Cho điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O, R) Khi đó : qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu

và độ dài các đoạn thẳng nối từ A đến các tiếp điểm bằng nhau

Ví dụ 13 : Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 Một mặt cầu tâm O qua 3 điểm A, B, C và có

khoảng cách từ O đến mp(ABC) bằng 4 Tính thể tích khối cầu

Giải : Bán kính đường tròn (ABC) là r 2 3 3 3

Ví dụ 14 : Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 3 và khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường

thẳng d bằng 2 Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A, B Tính độ dài đoạn AB Giải : Gọi M là trung điểm thì OM d⊥ Do đó : AB=2AM=2 9 4− =2 5

Ví dụ 15 : Cho mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD Chứng minh rằng tổng

các cặp cạnh đối của tứ diện bằng nhau

Giải : Gọi các tiếp điểm là E, F, G, H, I, J

Vì AE, AF, AG là các tiếp tuyến kẻ từ A nên ta đặt :

• Đường thẳng  gọi là trục của mặt trụ, R gọi là bán kính mặt trụ Như vậy một

mặt trụ được xác định nếu biết trục  và bán kính R của nó

• Nếu đường thẳng d song song với  và cách  một khoảng R thì d nằm trên

mặt trụ Các đường thẳng d như thế gọi là đường sinh của mặt trụ

• Vậy mặt trụ có thể xem là hình tạo bởi các đường thẳng song song và cách

đường thẳng  một khoảng R

• Ta có thể xem mặt trụ là hình tròn xoay sinh ra khi cho đường thẳng d quay

quanh đường thẳng  song song với d

II Hình trụ và khối trụ :

_ Phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau cùng với hai hình tròn (C) và (C/) giao của (P) và (Q) với mặt trụ gọi là hình trụ