c/ Tìm giá trị của m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất... Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC.[r]
Trang 1Đề và HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013
Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề.
Câu 1 (2,5đ)
Cho biểu thức Q =
2
a/ Với giá trị nào của x thì Q xác định
b/ Rút gọn Q
c/ Tìm giá trị của x để Q = 2012 x - 2012
a/ Để biểu thức Q xác định, x thỏa mãn điều kiện:
2
0
1
x
x
b/ Với x ≥ 0 và x 1, dùng phương pháp “hữu tỷ hóa” biểu thức Q bằng cách:
đặt x a 0 x a 2;x2 a4 ta có:
4
4
2
1
Q
c/ Q = 2012 x - 2012 x x 1
= 2012 x - 2012 x x 1 2012 x 1 0
4048144
2012 0
x x
Kết hợp với ĐKXĐ: x ≥ 0 và x 1 x = 4048144 là giá trị cần tìm
Trang 2Câu 2 (1,5đ)
Giải hệ phương trình:
2
1
Giải hệ phương trình:
2
* (1) 6x2 – 3xy + x + y – 1 = 0 6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0
3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0 (2x – y + 1)(3x – 1) = 0
1
3
x y
* Kết hợp với (2) ta có:
1 1
3 3
2 2 1
3
x x
và
1
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y)
0;1 ; 4; 3 ; 1 2 2; ; 1; 2 2
Câu 3 (2,0đ)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2
a/ Vẽ (d) với m = 3
b/ Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, tìm điểm cố định ấy c/ Tìm giá trị của m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất
Trang 3a/ Với m = 3 ta có y = - 4x + 2
Giao với trục tung Oy tại điểm (0 ; 2)
Giao với trục hoành Ox tại điểm (0,5 ; 0)
Ta có đồ thị hàm số như hình bên y = - 4x + 2
O
1 2
2 y
x
b/ Gọi điểm cố định mà mọi đường thẳng(d) đi qua là M(x0; y0) ta có:
2(m – 1)x0 + (m – 2)y0 = 2 với mọi m (2x0 + y0)m – 2(x0 + y0 + 1) = 0
m
vậy tọa độ điểm cố định là M(1; - 2)
Cách khác: Với m = 2 ta có đường thẳng x = 1, với m = 1 ta có đường thẳng y = -2; thay x= 1; y = - 2 vào phương trình ta có:
2(m – 1).1 + (m – 2).(- 2) = 2 2m – 2 – 2m + 4 – 2 = 0 điều này luôn đúng với mọi m Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (1; - 2) với mọi m
c/ 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2
m
Vì (d) không đi qua gốc O(0; 0) Gọi A, B lần lượt là giao của (d) với hai trục tọa độ Oy và Ox ta có tọa độ giao điểm là
A(0;
2
2
m ) và B(
1 1
m ; 0) Gọi H là hình chiếu của O trên AB, xét AOB vuông tại O
có:
2
OH
5 4
OH
m
; Dấu “=” xảy ra m =
6 5 Vậy độ dài OH lớn nhất m =
6
5 , khi đó ta có OH = 5 (đv dài)
Câu 4 (3,0đ)
Trang 4Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I Vẽ đường kính BB’, đường này cắt MC, B’C lần lượt tại K và E Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác MOIC nội tiếp được
b/ OI vuông góc với Mx
c/ ME = R
d/ Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đường nào ? Tại sao ?
a/ Vì MB, MC là 2 tiếp tuyến của (O) (gt)
OM là tia phân giác của BOC (t/c…)
2
(1)
Lại có
2
(hệ quả góc nội tiếp) (2)
Mà BAC MIC (đồng vị do MI // BA) (3)
x E
K
B' I
A
O
C
B
M
Từ (1), (2), (3) MOC MIC Tứ giác MOIC có 2 đỉnh kề nhau O và I cùng nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới cùng một góc nên nội tiếp được trong một đường tròn
(theo tính chất quỹ tích cung chứa góc)
b/ Vì tứ giác MOIC nội tiếp (theo trên) MIO MCO 900(hệ quả góc nội tiếp)
OI Mx
c/ Xét MBO vuông tại B và EOB’ vuông tại O có:
OB = OB’ (= R) và
2
MBO = EOB’ (g.n - c.g.v kề)
MB = OE
Mặt khác lại có MB // OE (cùng vuông góc với BB’)
Tứ giác MBOE là hình bình hành (dh 3) ME = BO = R
d/ Khi OM = 2R BMC 600 mà MB // OE OKC BMC 600
OKC vuông tại C có OK =
3
0
mãn OM = 2R thì K luôn cách O cố định một khoảng OK
3
R
không đổi nên K chạy
Trang 5trên đường tròn tâm O bán kính OK
3
R
Câu 5 (1,0đ)
Tìm giá trị của x, y để biểu thức:
M = x22y2 6x4y11 x23y22x6y4 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
3 x x 1 3 x x 1 3 x x 1 4
Dấu “=” xảy ra y = -1 và –1 ≤ x ≤ 3; Vậy minM = 4 y = -1 và – 1 ≤ x ≤ 3
- hết