Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh SC và SB.Tính thể tích k/c S.ABC theo a, biết BM vuông góc với CN.. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một k[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ÔN CẤP TỐC 2012 SỐ 02
Môn: Toán- 0985.873.128
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= x − 1
x +1 (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: cos x +cos3 x=1+√2 sin(2 x+ π
4)
2 Giải bất phương trình sau: (2+ √x2− 2 x +5)( x +1)+4 x√x2+1 ≤2 x√x2− 2 x +5
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I=
∫
0
π
4 cos(x+ π
4)
sin 2 x+2(sin x +cos x )+2 dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của cạnh SC và SB.Tính thể tích k/c S.ABC theo a, biết BM vuông góc với CN
Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm
x3− y3+3 y2−3 x − 2=0
x2+√1 − x2− 3√2 y − y2+m=0
¿{
¿
¿
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Cho điểm M(1;1) và hai đường thẳng d1: 3x - y - 5 = 0, d2: x + y - 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt d1, d2 tương ứng tại A, B sao cho 2MA - 3MB = 0.
2 Cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng (): x + 2y + 2 = 0 Tìm tọa độ của điểm M, biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ()
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z +1 −5 i|=|z +3 −i| Tìm số phức z
có môđun nhỏ nhất.
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
25+
y2
thuộc (E) sao cho MF1 = 4MF2 (F1 và F2 là tiêu điểm bên trái và bên phải của (E))
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất .
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z −2 −4 i|=|z −2 i| Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
- Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
Trang 2Câu Đáp án Điểm
Trang 3(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
2.(1,0 điểm)
Tọa độ A và B là nghiệm của hệ phương trình
y=1
6x
y= x − 1
x +1
¿{
¿
¿
⇒ A(2;1
3), B(3 ;1
Dễ thấy A và B nằm về cùng phía đối với đường phân giác d: x - y = 0 Gọi A’(a;b) là điểm
đối xứng của A qua d
Ta có:
(a − 2).1+(b −1
3) 1=0
a+2
2 −
b+1
3
2 =0
⇔
¿a=1
3
b=2
¿{
¿
¿
⇒ A '
(13;2)⇒⃗ A ' B=1
6(16 ;−9)
0,25
Phương trình tham số của A’B là :
x=3+16 t
y =1
2−9 t (t ∈ R)
¿{
¿
¿
tđ M
x − y =0 x=3+16 t y=1
2−9 t
⇒ M(75;
7
5)
¿{ {
¿
¿
0,5
II.
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có: cos x +cos3 x=1+√2 sin(2 x+ π
4)⇔2 cos x cos2 x =1+sin 2 x +cos2 x
⇔2 cos2
x +2 sin x cos x − 2 cos x cos2 x=0
0,25
⇔2 cos x(cos x +sin x −(cos2x −sin2x))=0⇔cos x (cos x+sin x )(1+sin x−cos x)=0 0,25
⇔
¿
¿
¿
⇔
¿
¿
¿
0,5
2 (1,0 điểm)
Ta có: (2+ √x2− 2 x +5)( x +1)+4 x √x2+1 ≤2 x√x2− 2 x +5
⇔¿
0,25
⇔(x +1)[2+√x2− 2 x +5+ 2 x (3 x −1)
2√x2
+1+√x2−2 x+5]≤ 0
⇔(x +1)(4√x2+1+2√x2−2 x+ 5+ 2√ (x2+1) (x2−2 x+5)+7 x2− 4 x +5)≤ 0
0,25
⇔ x +1 ≤0 ⇔ x ≤ −1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T = ¿ 0,25
III.
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Ta có:
I=∫
0
π
4 cos(x+ π
4)
sin 2 x+2(sin x +cos x )+2 dx=
√2
2 ∫
0
π
4
cos x −sin x
0,25
Trang 4.¿√2
2 ∫
0
π
4
d (cos x +sin x+1 )
(cos x +sin x +1)2 ¿−
√2
2 .
1
cos x+sin x +1∨0
π
4
¿ ¿−√2
2 ( √2+11 −
1
2)=3√2− 4
IV.
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm SBC
Vì tam giác SBC cân tại S nên tam giác BGC vuông cân tại G
0,25
Từ đó GB=¿GC = √2
2 BC=
a√2
2 và GI =
1
2a⇒SI=3 GI=3
2a
0,25 Xét tam giác vuông SHI (H là chân đường cao của hình chóp hạ từ A) ta có:
SH=√SI2−HI2 mà SI = 3 a
2 và HI =
a√3
6 ⇒SH= a√78
6
0,25
Vậy VS.ABC = 1
3SH SABC=a3√26
V.
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Ta có:
x3− y3+3 y2−3 x − 2=0❑(1)
x2
+√1 − x2− 3√2 y − y2
+m=0❑(2)
¿{
¿
¿
ĐK:
−1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤2
¿{
¿
¿
Ta có (1) ⇔ x3
−3 x=¿
0,25
Hàm số f(t) = t3 - 3t có f’(t) = 3t2 - 3 < 0 với mọi t (-1;1) Nên f(t) là hàm số nghịch biến trên
đoạn [-1;1] Từ (3) ta có f(x) = f(y-1) với −1 ≤ x ≤ 1 và − 1≤ y − 1≤ 1
Do đó x = y - 1 y = x + 1
0,25
Thay y = x + 1 vào (2) ta được x2
− 2√1 − x2+m=0 ⇔m=− x2
+2√1− x2
Dễ thấy hàm số g(t )=−t +2√1 −t liên tục và nghịch biến khi t 1 0,25
nên với 0 x2 1 ta có 2 ≥− x2
+2√1− x2≥− 1
VIa.
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có A d1 nên A(x1;3x1-5), B d2 nên B(x2;4-x2) 0,25
Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA = 3MB nên ¿¿
0,25
(1)
⇔ 2(x1−1)=3(x2− 1) 2(3 x1− 6)=3(3 − x2)
⇔
¿x1=5 2
x2=2
⇒ A(52;
5
2), B (2;2)
¿{ Suy ra d: x - y = 0
0,25
Trang 5(1,0 điểm)
(2)⇔ 2(x1−1)=−3 (x2−1)
2(3 x1− 6)=−3 (3− x2)
⇔
¿x1=1
x2=1
⇒ A (1;− 2), B(1 ;3)
¿{ Suy ra d: x - 1 = 0
Vậy có d: x - y = 0 hoặc d: x - 1 = 0
0,25
2 (1,0 điểm)
Goi tọa độ điểm M(a;b;c) Ta có: MA2 = MB2 ¿
a = b (1)
0,25
MB2 = MC2 a2
+¿
b = 3 - c (2)
0,25
d2(M, ()) = MA2⇔ (a+ 2b+ 2)
2
5 =¿ (3) Thay (1) và (2) vào (3) ta được
0,25
6a2 - 52a + 46 = 0
⇔
¿
¿
¿
Vậy M(1;1;2) hoặc M(233 ;
23
3 ;−
14
3 )
0,25
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) Ta có
|x +1+( y −5)i|=|x +3 −( y +1)i| (1)
⇔√¿ ¿
⇔ x +3 y=4 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường
thẳng x + 3y = 4 Mặt khác |z|=√x2+y2=√¿ ¿
Hay |z|=√2( √5 y − 6
√5)2+8
5≥
2√2
√5
Do đó |z|min⇔ y=6
5⇒ x =2
5 Vậy z=
2
5+
6
5i
0,25 0,25 0,25
0,25
VIb.
(2,0 điểm)
VIIb.
(1,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có a2 = 25 a = 5, b2 = 16 b = 4 c2 = a2 - b2 = 25 - 16 = 9 c = 3 0,25 Gọi tọa độ điểm M là (x;y) và M (E) nên ta có MF1 + MF2 = 10 0,25
hay 5 − 3 x
5 =2 x = 5 thay vào phương trình của (E) y = 0 Vậy M(5;0)
0,25
2 (1,0 điểm)
nên (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA Ta có ⃗OA=(2;−1 ;1) 0,25 Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x - 2) - (y + 1) + (z - 1) = 0 hay 2x - y + z - 6 = 0 0,25
(1,0 điểm)
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) Ta có
|x −2+( y − 4)i|=|x +( y − 2)i| (1) ⇔√¿ ¿ 0,25
⇔ y=− x+4 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường
thẳng x + y = 4 Mặt khác |z|=√x2
+y2
=√x2
+x2−8 x +16=√2 x2− 8 x +16
0,25
Hết