BT Tinh don dieu cua ham so

BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên 1 khoảng cho trước.. Bài 1..[r]

BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên 1 khoảng cho trước

Bài 1 Tìm m để hàm số y x 3 3mx26mx1 đồng biến trên 

Bài 2 Tìm m để hàm số

3

3

x

y m   m x  x

nghịch biến trên 

Bài 3 Tìm m để hàm số

3 2

3

x

y m mx  m x

đồng biến trên 

Bài 4 Tìm m để hàm số y mx 3 (2m1)x2(m 2)x 2 luôn luôn đồng biến

Bài 5 Tìm m để hàm số y(m 3)x (2m1) cosx luôn nghịch biến trên 

Bài 6 Tìm m để hàm số 2 1

m

y x

x

  

 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Bài 7 CMR   m ,hàm số

1

x m x m y

x



 luôn tăng trên từng khoảng xác định của nó

Bài 8 Xác định m để hàm số

y

x m



 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Bài 9 Xác định m để hàm số

1

y

x



 giảm trên từng khoảng xác định của nó

Bài 10 Xác định m để hàm số

1

y

x



 nghịch biến trên từng khoảng xác định

Bài 11 Xác định m để hàm số

2

1

y

x m



   nghịch biến trên từng khoảng xác định

Bài 12 Xác định m để hàm số

1

3

y x  x mx

đồng biến trên

Bài 13 Xác định m để hàm số

a) y = x2 +mx + 1 tăng trên (1;)

b) y = mx2 – (m+6)x + 3 giảm trên (-1;)

Bài 14 Xác định m để hàm số

1

mx y

x m







a) tăng trên khoảng (1;)

b) giảm trên khoảng ( ;0)

Bài 15 Tìm m để hàm số

3

2

3

x

y  m x  m x

tăng trên khoảng (0; 3) Bài 16 Tìm m để hàm số y2x33x26(m1)x m 2giảm trên khoảng (-2; 0)

Bài 17 Tìm m để hàm số y2x3 3(m3)x26( 2 m23m2)x1 tăng trên khoảng (-2; 2) Bài 18 Tìm m để hàm số y2x3 (9m3)x212 (m m1)x m 3 tăng trên khoảng (-1; 3)

Bài 19 Tìm m để hàm số

1

3

y m x  m x  m x

giảm trên khoảng (-1; 1)

Bài 20 Tìm m để hàm số

2 2(1 ) 2

1

y

x



 đồng biến trên khoảng (0;)

Bài 21 Tìm m để hàm số

2

2x (1 m x m)

y

x m



  nghịch biến trên khoảng (2;)

Bài 22 Tìm m để hàm số

2 2 2

y

x



 nghịch biến trên đoạn [-1;0]

Bài 23 Tìm m để hàm số

2

1

mx x m y

mx

 



 đồng biến trên khoảng (0;)

Bài 24 Tìm m để hàm số

y

x m



 đồng biến trên khoảng (0;1) (THTT 11/2008) Bài 25 Tìm m để hàm số y x 3 3(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên mỗi khoảng (  ; 1) và

(2;) (THTT 2/2009)

Bài 26 Tìm m để hàm số

y mx  m x   m x

giảm trên (  ; 2] (THTT 2/2009)

Bài 27 Cho hàm số

y x  m x  m x m

a) Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (0;1)

b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1

Bài 28 Xác định m để hàm số y x 3 3(m1)x23 (m m 2)x1 đồng biến trên tập các giá trị của x sao cho 1x 2

Bài 29 Tìm m để hàm số

1

3

y x  m x m m x

đồng biến trên đoạn [4;9]

Bài 30 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y x 33x2 mx m giảm trên đoạn có độ dài bằng 1

Bài 31 Tìm m để hàm số

2

2

x

y x m

đồng biến trên khoảng (0; )2



Bài 32 Tìm m để hàm số y = sin2x + mx + m – 2 đồng biến trên (0; )2



Bài 33 Tìm m để hàm số y = (m - 3)x – (2m+1)cosx luôn nghịch biến trên 

Bài 34 Tìm m để hàm số y = x + m.sinx luôn luôn đồng biến trên 

Dạng 2: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để CM bất đẳng thức

Bài 1 CMR  x 0 và tanx có nghĩa ta luôn có x< tanx

Bài 2 CMR  x 0 ta có

3

sin

6

x

x x 

Bài 3 CMR x [0; ]2



 

ta có

2

2

x

x  

Bài 4 CMR x (0; )2



 

ta có a) sinx + tanx > 2x b) 2sinx + tanx > 3x

Bài 5 CMR x (0; ),2 n



ta có

2 2

n



Bài 6 CMR cos(sinx) > sin(cosx) với mọi x  

Bài 7 CMR

sin

,0

a b

Bài 8 Cho tam giác nhọn ABC

a) CMR: sinAsinBsinCtanAtanBtanC2

b) CMR:

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT – BPT và HPT

Bài toán 1: Giả sử hàm số f(x) đơn điệu trên K( khoảng, đoạn, hoặc nữa khoảng) và với mọi x, y K, khi đó ta có f(x) = f(y)  x = y (CM phản chứng)

Bài toán 2: Giả sử hàm số f(x) đơn điệu và liên tục trên K Khi đó phương trình f(x) = c (c = const) có nhiều nhất một nghiệm trên K

Bài toán 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên K thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên K

Ba bài toán trên cùng với khái niệm hàm số đơn điệu là cơ sở lí thuyết để ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình, bất phương tình và hệ phương trình

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 3x 1 x 7x2 5 b) 5x3132x1 x 4

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) 3 x 2 3 x 1 3 2x2 3 2x21

b) (2x1)(2 4x2 4x4) 3 (2 x  9x23) 0 (THTT 5/2007)

c) 2x1x2 3x 1 0 (THTT 8/2011)

d) x2 2x 2 4x2  1 1 x

e) 3 (2x  9x23) (4 x2)( x2  x 1 1) 0

Bài 3 Giải các bất phương trình sau:

a)

5

x

6

3 x  2 x 

e) x2 2x 3 x2 6x11 3 x x1 f) x 5 2x 3 9

Với các hệ phương trình có dạng

( , ) 0

f x f y

g x y









 trong đó f là hàm số đơn điệu là dấu hiệu để giải hệ bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Sau đây là một số bài tập

Bài 4 Giải các hệ phương trình:

a)







b)

2

2 2





c)

2

2







d)

8 4

1

x y







e)







f)

5

x y

x y















g)

x y

x y











h)

2

2

2

2

y x

x y



 







Bài toán 4: Cho hàm số f đơn điệu trên K và f x( )K, x K, (K là 1 khoảng, đoạn, nữa khoảng)

CMR: f[f(x)] = x  f x( )x

Vận dụng bài toán 4 sẽ giải quyết được các hệ lặp 3 ẩn dễ dàng

Bài 5 Giải các hệ phương trình sau

a)







sin sin sin











 









d)

z z x z







2

2

2

y y x z z y x x z

























Ghi chú: Tài liệu tham khảo THTT 5/2007, 7/2007, 10/2008,11/2008, 2/2009, 5/2010