Chứng minh rằng bất cứ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;b. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC, DM cắt AB tại F.[r]
Trang 1Trường THCS Thiệu Tâm ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LÓP 10
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2đ) Cho biểu thức: A =
:
với x 0, x 4, x 9
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị của biểu thức A với x = 7 - 4
Câu 2: (2đ) Cho hệ phương trình:
3x - y = 2m - 1
x + 2y = 3m + 2
a Giải hệ phương trình đã cho khi m = 1
b Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10
Câu 3: (2đ) Trong măt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (k - 1)x + 2 (k là tham
số) và parabol (P): y = x2
a Khi k = 2, hãy tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
b Chứng minh rằng bất cứ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;
c Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm k sao cho: y1 + y2 = y1 y2
Câu 4: (3đ) Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB, vẽ đường kính CD vuông góc với AB
tại K ( D thuộc cung nhỏ AB ) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC, DM cắt AB tại F
a Chứng minh: Tứ giác CKFM nội tiếp
b Chứng minh: DF.DM = DA2
c Tia CM cắt đường thẳng AB tại E Tiếp tuyến tại M của (O;R) cắt AF tại I Chứng minh: IE = IF
Câu 5: (1đ) Chứng minh rằng:
2
a 3a + b b 3b + a với a, b là các số dương
……… Hết……….
Trang 2Trường THCS Thiệu Tâm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Năm học 2011-2012 (Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1
a) A =
:
x 3 x 3
:
.
, với x 0, x 4, x 9 b) Với x = 7 - 4 ( thỏa mãn ĐKXĐ ) = 2 -
Ta có: A = 1
2 −√3 −2=−
√3 3
0,5đ
0,5đ
0,25đ 0,5đ 0,25đ Câu 2
2đ
a) Thay m = 1 vào hệ đã cho ta được:
3x - y = 1 6x - 2y = 2 7x = 7 x = 1
x + 2y = 5 x + 2y = 5 x + 2y = 5 y = 2
Vậy phương trình có nghiệm (1; 2)
b) Giải hệ đã cho theo m ta được:
3x - y = 2m - 1 6x - 2y = 4m - 2 7x = 7m x = m
x + 2y = 3m + 2 x + 2y = 3m + 2 x + 2y = 3m + 2 y = m + 1
Nghiệm của hệ đã cho thỏa mãn x2 + y2 = 10
m2 + (m + 1)2 = 10 2m2 + 2m – 9 = 0
Giải ra ta được: 1 2
0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
Câu 3
2đ
a) Khi k = 2 đường thẳng (d): y = x + 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x2 = x + 2
Giải pt ta được x1 = -1; x2 = 2
Ta tìm được y1 = 1; y2 = 4
KL: Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là: (-1;1); (2;4)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 = (k - 1)x + 2
= k2 - 2k + 17 > 0 với mọi k; KL
0,25đ 0.25đ
Câu 4
3đ
j
K
F D
C
O
B A
M
Trang 3a) Vì ABCD CDF 900
Mà CMF =900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )
Tứ giác CKFM nội tiếp
1đ
b) Chứng minh: DF.DM = DK.DC (Do DKF ∽ DMC (g-g))
Chứng minh: DK.DC = AD2 ( vuông ADC có AK đường cao)
Suy ra: DM.DF = AD2
1đ
c) MFI CDM DMI MIF cân tại I MI MF
Mà IME IMF EMF 90 + = = 0 ; MFI MEI + =900 ( Vì MEF vuông tại M)
Mặt khác theo c/m trên: IMF MFI = IME IEM MIE cân tại I
(2)
IE IM
Từ (1) và (2) suy ra: IF = IE
1đ
Câu 5
(1)
a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:
4a + (3a + b) 7a + b
4b + (3b + a) 7b + a
Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b 4
Từ (1) và (4) suy ra:
a + b 2(a + b) 1
4a + 4b 2
a 3a + b b 3b + a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
0,5đ
0,5đ