de cuong toan 9

Neáu moät ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm cuûa ñöôøng troøn vaø vuoâng goùc vôùi BK ñi qua ñieåm ñoù thì ñöôøng thaúng aáy laø moät tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn. a: tieáp tuyeán cuûa ([r]

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 HỌC KÌ I

A.ĐẠI SỐ

Chương I: Căn bậc hai, căn bậc ba

Định lý : Với 2 số a, b không âm ta có a< b ⇔√a<√b

Vd : So sánh √11 và 3

Giải:Ta có 3 = √9

Vì 11 > 9 => √11 > √9

hay √11 > 3

Định lý : Với mọi số a, ta có √a2

=|a|

Vd:Với giá trị nào của a thì biểu thức có nghĩa:

a) √a

3 b) √−5 a

Giải :a) √a

3 có nghĩa khi √a

3  0  a  0 ( vì a > 0)

Vậy √a

3 có nghĩa khi a  0 b) √−5 a có nghĩa khi - 5a  0

 a ≤ 0

−5

 a  0

Vậy √−5 a có nghĩa

Định lý : Với hai số a và b không âm, ta có

√a b=√a √b

Khai phương một tích: √a b=√a √b

Nhân các căn bậc hai: √a √b=√a b (a  0 và b  0)

Vd: Tính a) a) √49 1 , 44 25 b) √3.√75=√3 75

Giải: a) √49 1 , 44 25 = √49 √1 , 44 √25

= 7.1,2.5=42

b) √3.√75=√3 75

¿√225=15

Định lí : Với số a không âm và số b dương, ta có

√a

b=

√a

√b

Khai phương một thương: a  0 và b >0 √a

b=

√a

√b

Chia hai căn thức bậc hai : a  0 và b >0 √a

√b=¿

√a

b

Vd : Tínha) √25

121 b) 36

25 : 16

9

c) √ √805 d) √49

8 :√31 8

Giải:

a) √25

121 = 11

5 121

25



b) √ 9

16 :

25

36 = √ 9

16 :√25

36=

3

4:

5

6=

9 10

c) √80

√5 = √80

5 =√16=4

d) √49

8 :√31

8 = √49

8 :

25

8 =√49

25=

7 5

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có √A2B=|A|√B , tức là

Nếu A 0 và B 0 thì √A2B= A√B

Nếu A<0và B 0 thì √A2B=− A√B

VD :Rút gọn biểu thức

3√5+√20+√5

Giải

3√5+√20+√5 = 3 √5+√22 5+√5

= 3 √5+2√5+√5

= (3+2+1) √5 = 6 √5

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

A√B=√A2B (A  0; B  0)

A√B=√A2B (A < 0; B  0)

VD :Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) 3 √7 b) -2 √3 c)5a2

√2 a với a 0 d) -3a2

√2ab với

ab 0

Giải

a)3 √7 = √327=√63

b)-2 √3 = - √223=−√12

c) 5a2

√2 a = √ (5 a2)22a=√25 a4 2 a=√50 a5

d)-3a2

√2ab = - √ (3 a2)2.2 ab=−√9 a4 2 ab=−√18 a5b

Khử mẫu: Với các biểu thức A, B ;AB 0 và B 0 ta

có

√A

B=

√AB

|B|

Vdụ: Khử mẫu của biểu thức

a)

2

3 b)

5 7

a

b với a.b> 0 Giải:

a)

3  3.3  3 b)

b  b b  b

Trục căn thức ở mẫu :

a) Với các biểu thức A,B màB >0 ta có : A

√B=

A√B B

b) Với các biểu thức A, B,C mà A 0 và A B 2 ta có C

√A ± B=

C (√A ∓ B)

A − B2

c) Với các biểu thức A,B,C mà A 0, B 0 và A B, ta có

C

√A ±√B=

C(√A ∓√B)

A − B

VD : Trục căn thức ở mẫu

a) 25

√3 b) 10

√3+1

Giải:

a) 25

√3 = 25√3

√3 √3=

5√3

2 3=

5

6√3

b) 10

√3+1 = 10(√3 −1)

(√3+1)(√3 −1)=

10(√3 −1)

3 −1 =5 (√3 − 1)

VD : Cho biểu thức

2

P

với a>0và a 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị của a để P <0

Giải

a)

1 .( 1) ( 1)

P

 

= (a −12√a)2.a −2√a+1 −a − 2√a − 1

2√a¿2

¿ (a −1)(− 4√a)

¿

= (1− a) 44 a √a=1− a

√a

Vậy P = 1 − a

√a với a > 0 và a 1

b) Do a > 0 và a 1 nên P < 0 khi và chỉ khi 1 − a

√a < 0 ⇔ 1-a < 0 ⇔ a >1

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a

Tính chất: a) a < b => 3

√a<3

√b

b) 3

√ab=√3a √3 b

c) b 0 :√3 a

b=

3

√a

3

√b

ChươngII:Hàm số bậc nhất

* Tổng quát :

Cho hàm số y = f(x) xác điïnh với mọi giá trị của x thuộc R

a) Nếu giá trị củ abiến xtăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R( gọi tắt là hàm số đồng biến)

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại gảim đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến)

Nói cách khác , với x1, x2 bất kì thuộc R

Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R

Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

Dạng bài tập:-Tính giá trị của hàm số y=f(x) tương ứng với x x 0 ( bài tập 1 trang

44 SGK)

-Lập bảng giá trị của hàm số y=f(x) ( bài tập 2,6trang 45-46

SGK)

-Chứng minh hàm số y=f(x) đồng biến hay nghịch biến ( bài tập 2,3,7trang

45-46 SGK)

-Vẽ đồ thị hàm số y=f(x) (đã học ở lớp 7)

ĐN:Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

y = ax +b trong đó a, b là các số cho trước và a 0

Tính chất: hàm số bậc nhất y = ax +b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau

:

a) Đồng biến trên R khi a >0

b) Nghịch biến trên R, khi a <0

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0)

Cách 1: Xác định hai điểm bất kì của đồ thị

Cho x = 1, tính được y = a + b, ta có điểm A (1; a + b)

Cho x = - 1, tính được y = - a + b, ta có điểm B (-1; b –a)

Cách 2: Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ

Cho x = 0, tính được y = b, ta có điểm P(0;b)

Cho y = 0, tính được x=− b

a , ta có điểm Q (−b

a ;0)

Vẽ đường thẳng qua A, B hoặc qua P, Q ta được đồ thị của hàm số y = ax + b

Dạng bài tập:

-Xác định điểm thuộc đồ thị

-Xác định hệ số a và b

-Vẽ đồ thị hàm số y=ax+b

-Tìm tọa độ giao điểm

-Viết phương trình đường thẳng y=ax+b

Đường thẳng song song:

Hai đường thẳng y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a  0) là song song với nhau khi và chỉ khi a

= a’ , b  b’và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b = b ‘

Đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a’  0) cắt nhau khi và chỉ khi aa’

Vi dụ: Cho hai hàm số bậc nhất y = 2mx +3 và y = (m+1)x+2.Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là :

a) Hai đường thẳng cắt nhau

b) Hai đường thẳng song song với nhau

Giải

Hàm số : y = 2mx +3, đk :2m 0=> m 0

Hàm số: y = (m+1)x +2, m+1 0=> m -1

a) Hai đường thẳng cắt nhau ⇔ a a'

⇔ 2m m+1 ⇔ m 1

Vậy 2 đường thẳng cắt nhau khi : m ± 1; m 0

b) Hai đường thẳng song song

a = a'

⇔ b b'

2m =m +1

⇔ 3 2

⇔ 2m = m+1 ⇔ m =1

Vậy m =1, hai đường thẳng song song

Hệ số góc : Các đt có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau

_ Khi hệ số a > 0 thì góc tạo bởi đt y = ax + b với trục Ox là góc nhọn, hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 900

_ Khi hệ số a < 0 thì góc tạo bởi đt y = ax + b với trục Ox là góc tù, hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 1800

* a gọi là hệ số góc của đt y = ax + b

Chú ý : Khi b = 0 , y = ax , a cũng là hệ số góc của đt y = ax

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = 3x + 2

a) Vẽ đồ thị của hàm số

b)Tính góc tạo bởi đt y = 3x + 2 và trục Ox

Giải : a) ta có :A(0;2) , B( −2

3 ,0) b) Ta có ABO = α

xét tam giác vuông OAB, ta có tg α = 3 _3 chính là hệ số góc của đt y = 3x + 2 vậy α = 71034'

BÀI TẬP:

1.Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau đây có nghĩa?

a) 5x b) 5x c)

1 3

x

 

d) x 2 9 e)

1 2

x 

2.So sánh:

a) 2 √3 và √10 b) 1 32

4 và1 75

5 c)2 2 và 2+ 2 d) 2- 3 và

3-2 2

3.Tính:

a) √2,5.√30.√48 b) √22 34 c) √1,4 1 , 21− 1, 44 0,4 d)

4.Rút gọn

a) 2 √300−√75+

1

2√12 −√147 b) 4

2 16

5xy x

y với x<0,y0

c)4 a3 16b a3  4 9a ab2  4a với a>0,b>0

5 Chứng minh đẳng thức sau

a)

1 :



 

 với x,y dương vàx y

b) (1− a 1−√ √a a+√a) (1 − 1 −a√a)2

c) ab : a b 1

a b

a b b a   

6.Khử mẩu

a)

3

50 b) ab

a

b c)3xy

2

xy d)

x y

x y





7.Trục căn thức ở mẩu:

a)

3

7 b)

9

16a c)

4

2 1 d)

11

2 a 1 8.Cho biểu thức A=

5

x



  với x>0

a)Rút gọn A

b)Tính giá trị của A tại x=18

9 a)Cho hàm số y=f(x)=

3

4x Tính: f(-3); f(-2); f(0); f(1); f(8)

b) Cho hàm số y=f(x)=

3

4x+2 Tính: f(-3); f(-2); f(0); f(1); f(8)

c)Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số trên khi biến lấy cùng một giá trị ? 10.Cho hai hàm số y=3x và y=3x-1

a)Trong hai hàm số đã cho hàm số nào đồng biến ,hàm số nào nghịch biến?Vì sao? b)Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ

c) Tính góc tạo bởi đt y = 3x -1 và trục Ox

11.Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện sau:

a)Đi qua A(

1 7;

2 4) và song song với đường thẳng y=

3

2x

b)Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm B(2;1)

12 Cho đường thẳng y = 2x – 2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Gọi giao điểm của đường thẳng y = 2x – 2 và y = x + 2 với trục hòanh lần lượt tại

A, B, giao điểm của hai đường thẳng là C Tìm toạ độ các điểm A, B , C

c) Tính chu vi của ABC

13.Tìm m để hàm số y = (m – 2)x + 5

a) Đồng biến b) Nghịch biến

14.Tìm hàm số bậc nhất y = ax + b (a # 0) biết đồ thị của nĩ thỏa mãn một trong các điều kiên sau:

a)Đi qua A(-1; 2) và song song với đường thẳng y =

1

2x+2

b)Cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng -3 và đi qua điểm B(-2; 1)

15.Cho hàm số y = (m – 1)x + 2m + 5

a) Tìm m để đồ thị hàm số trên đi qua điểm B(1; 1)

b) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị của m vừa tìm được

c) Tính gĩc tạo bởi đường thẳng vẽ được và trục hồnh (kết quả làm trịn đến phút)

16 a) Vẽ đồ thị các hàm số y= 3x – 2 và y = -2x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b)Hai đường thẳng y= 3x – 2 và y = -2x + 3 cắt nhau tại A, cắt trục tung Oy theo thứ tự tại B và C Tìm độ dài các đoạn thẳng BC và AC

17.Cho biểu thức :

A = 36x 36 2 25 x 25 3 4 x 4 với x  1

1/ Rút gọn biểu thức A

2/ Tìm x sao cho biểu A có giá trị là 20

3/ Với x bằng 10 thì biểu thứcA có giá trị là bao nhiêu ?

B.HÌNH HỌC

Hệ thức liên hệ giữa Cạnh gócvuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền: b 2 = ab’ ; c 2 = ac’

Một số hệ thức liên quan tới đường cao:

1/ h 2 = b’c’

2/ ha = bc

3/ h12= 1

b2− 1

c2

VD1:Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và độ dài các đọan thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền

Giải:

Aùp dụng định lý Pytago : BC2 = AB2 +

 Aùp dụng hệ thức lượng:

BC AH = AB AC

Độ dài AH

 AH=AB AC

BC

 AH=3 4

5 =2 4

Độ dài BH

BH = AB2

BC =

32

5=1,8

Độ dài CH

CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2

VD1:Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đọan thẳng có độ dài là

1 và 2 Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này

Giải

FG = FH + HG = 1+2=3

EF2 = FH.FG = 1.3 = 3  EF=√3

EG2 = HG FG = 2.3 = 6  EF=√6

Tỉ số lượng giác của góc nhọn :

sin α=doi

huyen ;cos α=

ke huyen ; tg α=doi

ke ;cot gα=

ke doi

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau :

sin = cos ; cos = sin;

tg = cotg ; cotg = tg

Các hệ thức:

a) Tổng quát:

b = a.sinB = a.cos C

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tgB = c.cotgC

c= b.tgC = b.cotgB

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề

 Định nghĩa : Đường tròn tâm O bán kính R (với R>0) là hình gồm các điểm cách điểm O

một khỏang bằng R

Ký hiệu : (0, R) hoặc (0)

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Chú ý: không vẽ được đường tròn nào qua 3 điểm thẳng hàng

 Tâm đối xứng:

* Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó

 Trục đối xứng:

Đường tròn là hình có trục đối xứng.Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

So sánh độ dài dây và đường kính :

Định lý : Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

Quan hệä vuông góc giữa đường kính và dây

Định lý :Trong1đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây

ấy

Định lý : Trong 1 đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì

vuông góc với dây ấy

Định lý 1 :Trong một đường tròn :

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Định lý 2 : Trong hai dây của một đuờng tròn :

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

VTTĐ của đthẳng và đtròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R

_Đthẳng và đtròn cắt nhau

-Đthẳng và đtròn tiếp xúc nhau

-Đthẳng và đtròn không giao nhau

2 1 0

d < R

d = R

d > R

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với BK đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

a: tiếp tuyến của (O)

C : tiếp điểm

 a  OC

Vd:Cho đường tròn (O) dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường ở điểm C

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn

b) Cho bán kính của đuờng tròn bằng 15cm, AB = 24cm Tính độ dài OC

Giải

a) CB là tiếp tuyến

OAB cân tại O vì

OA = OB = R

 đ.cao OH (gt) đồng thời là đg phân giác của AOB

Do đó O^1=^O2

Xét  OAC và OBC

OC cạnh chung

OA = OB (=R)

^

O1=^O2(cmt)

 OAC = OBC

 OAC=OBC

Mà OAC = 900 (AC là tiếp tuyến)

Nên OBC = 900

 CB  OB

Vậy CB là tiếp tuyến tại B của (O)

b) Độ dài OC

Ta có :

AH=HB=AB

2 =

24

2 =12cm

(đ.lý đ.kính vuông góc dây cung) Trong  OAH ( ^H=900

¿

OH=√OA2− AH2 (pitago)

¿√152−122

= 9 cm Trong  OAC ( ^A=900 )

OA2 = OH OC

 152 = 9 OC

⇒OC=225

9 =25cm

B

C

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì :

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

+ Tia kẻ từ tâm đi qua hai điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai BK đi qua các tiếp điểm

Lưu ý:

BAC : góc tạo bởi 2 tiếp tuyến AB, AC

BOC : góc tạo bởi 2 bán kính OB, OC

Đường tròn tiếp xúc với một

cạnh của tam giác và tiếp xúc với

các

phần kéo dài của hai cạnh kia

gọi là đường tròn bàng tiếp tam

giác

- Với một tam giác có 3 đường

tròn bàng tiếp

* Tâm: giao điểm của 2 đpg giác

ngòai của tam giác

* Bán kính: khỏang cách từ tâm

đến cạnh hoặc phần kéo dài

của cạnh của tam giác

a) Hai đường tròn cắt nhau

 (O’;R) và (O’;r) cắt nhau

 R – r < OO’ < R + r

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau :

* Tiếp xúc ngòai:

* Tiếp xúc trong:

 (O; R) và (O’,r) tx ngòai  OO’

= R + r

 (O; R) và (O’;r) tx trong OO’

= R- r

c) Hai đ.tròn không giao nhau:

 (O; R), (O’;r) ở ngòai

nhau

 OO’ > R + r

 (O;R) đựng (O’;r)

 OO’ < R – r

Định lí :

a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm là

đường trung trực của dây chung

b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn : Là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đtr đó

* TTC ngòai d1 và d2

* TTC trong m1 và m2 cắt đọan OO’

1/ a)Tính MK

b) Tính x :

c) Tính DI:

d) Tính FE:

e)Tính AC:

2.Tìm x và y trong mỗi hình sau (lấy 3 chữ số thập phân)

3 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc B Từ đó suy ra vác hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc C

4 a)Dựng góc nhọn , biết rằng tg α=4

5

2 3

tg 

5 Cho tam giác DEF có EF = 7cm ^D = 400, ^F=580 Kẻ đường cao EI của tam giác đó Hãy tính (lấy 3 chữ số thập phân) :

a) Đường cao EI

b) Cạnh EF

6 Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác

sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: sin240, sin 540, cos 700, sin 780

7. Giải tam giác vuông ABC vuông tại B biết rằng ,AC 7,Â=540

8.Cho ABC có A  = 900, vẽ AH  BC, HE  AB, HF  AC

1) Nếu biết: AB = 5 cm và BC = 13 cm

a) Hãy giải ABC b) Tính EF

2) Chứng minh:

3 3

AC CF 9.a)Cho đường tròn(O;5), dây AB=4 Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Cho đường tròn(O;5), điểm A cách O một khoảng là 10.Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với (O)

Tính góc BAC

10.Cho đường tròn (O;15cm),dây BC=24 cm Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở A Gọi H là giao điểm của OA và BC

a)Chứng minh HB=HC

b)tính OH

c)Tính OA

Bài 11: Tìm x, y có trên hình vẽ sau :

A

B

C

H 52