De thi HSG lop 9 so 2

Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn.. Chứng minh ba điểm N,H,E thẳng hàng.[r]

Đề tham khảo tuyển sinh 10 số 2 (sưu tầm)

Bài 1 ( 2điểm)

Rút gọn các biểu thức sau:

a)

3 5 15

5 3



  b) 11  3 1 1     3

Bài 2 ( 1,5điểm)

Giải các phương trình sau:

a) x3 – 5x = 0 b) x  1 3

Bài 3 (2điểm)

Cho hệ phương trình :

x my

x y

 





 

a) Giải hệ phương trình khi m = 0

b) Tìm giá trị của m để hệ (I) có nghiệm ( x; y) thoả mãn hệ thức:

m+1

x - y + 4

m-2 

Bài 4 ( 4,5điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM=2R

Gọi H là trực tâm tam giác

a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành

b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn

c) Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC Chứng minh ba điểm N,H,E thẳng hàng d) Giả sử AB = R 3 Tính diện tích phần chung của đưòng tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

Hướng dẫn:

Bài 1: Rút gọn

a)

3 5 15

5 3



  =

15 15.

5 3 b) 11  3 1 1     3

= 11 1  2  3 2

=

15 15.

5  3 = 11  2

= 9 25 = 9

= 3 + 5 = 8 = 3

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) x3 – 5x = 0 b) x  1 3 (1)

 x(x2 – 5) = 0 ĐK : x –1  0  x 1

 x (x  5)(x  5) = 0 (1)  x – 1 = 9

 x1 = 0; x2 = 5; x3 =  5  x = 10 (TMĐK)

n m /

/ =

=

M

K O

N

C B

A

n m /

/ =

=

M

K O

N

C B

A

Vậy: S = 0; 5;  5

Vậy: S =  10

Bài 3.

a) Khi m = 0 ta có hệ phương trình:





b)

 

 

3 0 2

x my

x y

 





 

 Từ (2) suy ra: y = 3x thay vào (1) ta được: 2x + 3mx = 5

3m2x5

ĐK: m

3 x 3m 2

  

 Do đó: y =

15

3m 2

m+1

x - y + 4

m-2 

4

m



Với

2 3

m 

và m  2, (*)  10m 2  m1 3  m2 4m 2 3  m2 Khai triển, thu gọn phương trình trên ta được phương trình: 5m2 – 7m + 2 = 0

Do a + b + c = 5 + (– 7) + 2 =0 nên m1 = 1 (TMĐK), m2 = 0,4 (TMĐK)

Bài 4:

a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành

 90 0

ABM  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  BM AB

H là trực tâm tam giác ABC  CH AB

Do đó: BM // CH

Chứng minh tương tự ta được: BH // CM

Vậy tứ giác BHCM là hình bình hành

b) Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn

ANBAMB (do M và N đối xứng nhau qua AB)

AMBACB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O))

H là trực tâm tâm giác ABC nên AH  BC, BK  AC nên ACBAHK (K = BH  AC)

Do đó: ANBAHK

Vậy tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn

c) Chứng minh ba điểm N,H,E thẳng hàng

Tứ giác AHBN nội tiếp (câu b)  ABN AHN

Mà ABN 900 (do kề bù với ABM 900, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra: AHN 900

Chúng minh tương tự tứ giác AHCE nội tiếp  AHEACE 900

Từ đó: AHN AHE  1800  N, H, E thẳng hàng

d) Giả sử AB = R 3 Tính diện tích phần chung của đưòng tròn (O) và

đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

Do ABN 900 AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

n m /

/ =

=

M

K O

N

C B

A

AM = AN (tính chất đối xứng) nên đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

bằng nhau  Sviên phân AmB = Sviên phân AnB

AB = R 3  AmB 1200 Squạt AOB =

0

.120



 AmB 1200  BM  600  BM R

O là trung điểm AM nên SAOB =

2

3.

R

 Sviên phân AmB = Squạt AOB – SAOB

=

2

3

R

 –

4

R

= 24 3 3

12

R

 

 Diện tích phần chung cần tìm :

2 Sviên phân AmB = 2 24 3 3

12

R

 

= 2 4 3 3

6

R

 

(đvdt)