Dinh ly Vi et

Trong quá trình thực hiện đề tài nay, tôi đã hướng dẫn cho học sinh phân loại các dạng bài tập, cách phân tích tìm lời giải đối với từng dạng bài, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố cần t[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN – TIN

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẬC HAI

Người hướng dẫn: PGS, TS Nguyễn Doãn Tuấn

Cán bộ Khoa Toán – Tin – ĐHSP Hà Nội

Người thực hiện: Phạm Thị Diệu Linh

Ngày sinh: 20 – 08 – 1986

PHÚ THỌ - 2010

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

- Phương trình bậc hai và Định lí Vi–ét học sinh được học trong chương

trình Đại số 9 bậc THCS đặc biệt Định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bài toán bậc hai như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai…

Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số ứng dụng cơ bản với thời lượng chưa nhiều

- Với các bài tập có liên quan đến Định lí Vi-ét và phương trình bậc hai phần lớn học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để xuấthiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố đã biết để giải bài tập

- Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập về Phương trình bậc hai trong SGK thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của mình

- Hiện nay, trong kì thi vào lớp 10 THPT các bài toán có ứng dụng Định

lí Vi-ét khá phổ biến

Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 9 tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện

đề tài nghiên cứu:

“ Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai ”

2 Mục đích nghiên cứu

- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Trung học cơ sở

- Giúp học sinh nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai và định lí Vi-et, làm tốt các dạng bài tập liên quan đến hệ thức Vi–ét

- Giúp học sinh biết phân tích các điều kiện đề bài cho, xác định rõ yêu cầu để có hướng giải đúng

- Trên cơ sở nắm vững kiến thức học sinh có thế tự tin giải bài tập nhanhhơn, có hiệu quả cao.

- Phát huy tư duy lô gic, tính tích cực, độc lập, sáng tạo và biết tự bổ xung cho mình những kiến thức mà trước đó các em chưa nắm chắc

- Đáp ứng nguyện vọng của học sinh trong việc nâng cao kiến thức, làm các dạng bài tập khác liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu nội dung dạy học các ứng dụng của định lí Vi–ét trong các bài toán bậc hai

- Tìm hiểu mạch kiến thức về định lí Vi–ét và ứng dụng

- Điều tra về thực trạng:

+ Thường xuyên nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến định lí Vi–et trong SGK, SBT và các sách nâng cao

+ Thường xuyên kiểm tra , đánh giá để nhận sự phản hồi của học sinh

từ đó nhận ra ưu điểm, những khuyết điểm, tồn tại mà học sinh hay mắc phải để

có hướng khắc phục, tìm ra phương pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

Tôi thực hiện đề tài nghiên cứu này tại trường Trung học cơ sở thị trấn Thanh Ba 1- huyện Thanh Ba - tỉnh Phú Thọ

Đối tượng nghiên cứu: học sinh khá giỏi lớp 9A1, 9A2

Phạm vi: 8 học sinh

Mức độ: các bài tập cơ bản và nâng cao

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

- Kiến thức cơ bản của chương IV: “ Hàm số y=ax (2 a 0) - Phương trìnhbậc hai một ẩn ” ở sách giáo khoa Toán 9

- Kiến thức nâng cao ở một số sách tham khảo Toán 9

- Phương pháp giải các dạng toán cơ bản và nâng cao

- Phân tích các dạng toán, tìm phương pháp giải và lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ học sinh

- Giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, khám phá tri thức mới

- Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, năng lực học Toán

THỰC TRANG VIỆC DẠY VÀ HỌC Ở ĐỊA PHƯƠNG:

- Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nông nên nhận thức về việc học tập còn hạn chế Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em chưa nhiều

- Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm

- Nội dung Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai rất đa dạng

và tương đối khó với học sinh Mặt khác, nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan như: phương trình, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, biến đổi biểu thức đại số…Trong khi đó, rất nhiều học sinh không nắm vững kiến thức đã học nên việc vận dụng vào các dạng bài tập là rất khó khăn

CHƯƠNG II: CÁC BIỆN PHÁP ( GIẢI PHÁP ) SƯ PHẠM CẦN THỰC HIỆN ĐỂ GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG

DẠY HỌC NỘI DUNG

I Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

- Tìm hiểu sự ham mê học Toán của học sinh khối 9

- Kiểm tra kiến thức và đánh giá kĩ năng vận dụng Định lí Vi-et vào các bài toán bậc hai của các học sinh đã chọn

II Biện pháp 2: Dạy học theo các dạng bài tập

- Tái hiện các kiến thức cơ bản trong SGK về Định lí Vi-et và ứng dụng của Định lí Vi-et:

cña ph¬ng tr×nh: x2  Sx P   0

Điều kiện để có hai số đó là S2− 4 P ≥ 0

- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài toán có chứa tham số và phân loại các dạng bài tập nhất là các bài toán có thể đưa về bài toán bậc hai quen thuộc đối với học sinh

- Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm

- Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hướng dẫn và phân loại

cho các em một số dạng bài tập có ứng dụng Định lí Vi-et như:

1 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1

b) Ta có: a −b +c=2 −5+3=0 nên phương trình có một nghiệm là

x1=−1 , nghiệm còn lại là x2=c

a=

3 2

b)Phương trình x2+5 x +q=0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

b) Phương trình x2−7 x +q=0 biết hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của phương trình

c) Phương trình x2− qx+50=0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó

Phân tích:

- Câu a và b ta làm như sau:

+ Thay giá trị nghiệm vào phương trình để tìm hệ số p hoặc q

+ Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc tíchhai nghiệm) để tính nghiệm còn lại

- Câu c và d: vì vai trò của hai nghiệm là như nhau nên ta làm như sau:

+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó

2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm

Ví dụ 3: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1=x2+ 1

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1; y2 (dạng 2.1)

S= y1+y2=3+3

2=

9 2

P= y1y2= 3.3

2=

9 2

Phương trình cần lập có dạng: y2− Sy+P=0 hay y2−9

Phương trình cần lập có dạng: y2− Sy+P=0 hay y2−9

Có những bài toán với nội dung như trên nhưng phương trình ban đầu không nhẩm được nghiệm dễ dàng hoặc có nghiệm vô tỉ thì việc tính các nghiệm

- Nếu làm theo Cách 1: Phương trình 3 x2+5 x − 6=0 có

Δ=52−4 3 (− 6)=97 nên có hai nghiệm vô tỉ là:

x1=− 5+√97

6 ; x=

−5 −√97 6

Việc tính y1; y2 , S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian

y1=x1+ 1

x2=

6 5+√97; y2=x2+

- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu

tỉ do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Phương trình cần lập: y2− Sy+P=0 hay y2+ 5

Bài 4 :

Cho phương trình x2−5 x − 1=0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1=x14; y2=x24

Bài 5 : Cho phương trình x2−2 x − 8=0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập

phương trình bậc hai có các nghiệm y1=x1− 3; y2=x2−3

Bài 6 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x2+mx− 2

Bài 7 : Cho phương trình x2−2 x − m2 =0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1=2 x1−1 ; y2=2 x2−1

Bài 8 : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 tìm được

3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Ví dụ 6: Tìm hai số a và b biết S = a + b = - 3, P = ab = - 4

Giải:

Hai số a và b là nghiệm của phương trình x2 +3 x −4=0

Giải phương trình trên ta được x=1 ;x2=− 4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4; nếu a = - 4 thì b = 1

* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 7: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6

Giải:

Hai số a và b là nghiệm của phương trình x2−3 x +6=0

Δ=32−4 1 6=9 − 24=−15<0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

S2− 4 P=32− 4 6=9 −24=− 15<0 nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn yêucầu đề bài mà chưa cần lập phương trình

Bài tập áp dụng:

Bài 9 : Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20

Bài 10: Tìm hai số x, y biết:

a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66

Bài 11: Tìm hai số x, y biết: x2y2 25;xy12

4 Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

* Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:

Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theoS x1 x P x x2 ;  1 2

4.1 Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm

Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et

Ta lần lượt làm theo các bước sau:

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x x1 ; 2 (a   0; 0)+ Viết hệ thức Sx1 x P x x2 ;  1 2

Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm

Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Ví dụ 9: Cho Phương trình mx2 (2m3)x m  4 0 ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 không phụ thuộc vào m

Ví dụ 10: Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình (m1)x2 2mx m  4 0

Chứng minh biểu thức A 3(x1 x2 ) 2  x x1 2  8 không phụ thuộc giá trị của m

Nhận xét:

Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9 Khi làm bài cần lưu ý:

+ Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện

m

x x

m m

x x m

m 

hay biểu thức A không phụ thuộc vào m

Bài tập áp dụng:

Bài 12 : Cho phương trình x2 (m2)x2m1 0 có hai nghiệm x x1 ; 2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m

Bài 13: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2

+ Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m

+ Đối chiếu với điều kiện để xác định m

Ví dụ 11: Cho phương trình mx2 6(m1)x9(m 3) 0 Tìm giá trị của tham số

m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1 x2 x x1 2

Ví dụ 12: Cho phương trình mx2 2(m 4)x m  7 0 Tìm giá trị của tham số m

để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1  2x2  0

Nhận xét:

Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1 x2 và x x1 2 nên

ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1 x2 và

m m

Hai vế của đẳng thức đều chứa x1 x2 nên rút gọn đi để được 2 x x 1 2

Điều này sai vì có thể có trường hợp x1 x2 = 0

Do đó ta phải chuyển vế để đưa về dạng tích:

- Ta thấy m = - 1 không thỏa mãn (*) nên loại

Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm

Bài tập áp dụng:

Bài 14: Cho phương trình x2(m1)x5m 6 0 Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn 4x1  3x2  1

Bài 15: Cho phương trình mx2−2(m −1)x +3(m−2)=0 Tìm giá trị của tham số

m để hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1 +2 x2=1

Bài 16: Cho phương trình x2(2m1)x m 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mội m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1  x2  1

Bài 17: Cho phương trình x2 (2m1)x m 2 2 0 Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn 3x x1 2  5(x1 x2 ) 7 0  

4.4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Cách làm: Cũng tương tự như những dạng bài trên ta áp dụng hệ thức Vi – et để

biến đổi biểu thức đã cho rồi tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất)

Ví dụ 14: Cho ph¬ng tr×nh : x2  (m 1)x m 2m 2 0

Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất.Giải:

b) Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trỡnh (1).Tỡm giỏ trị lớn nhất của x1 x2

Bài 21: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

Cho phương trỡnh x2 (3m1)x2(m21) 0 (1) ,(m là tham số)

a) Giải phương trỡnh (1) khi m = 2

b) Chứng minh (1) luụn cú nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của (1), tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

A x x

Bài 22:

Cho phương trình x2 2(m1)x 3 m0 Tìm m để hai nghiệm x x1 ; 2

thỏa mãn x12x22 10

5 Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Khi xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai có thể xảy ra cáctrường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm) Dấucủa các nghiệm liên quan với ; S; P như thế nào?

0 > 0 > 0Cùng âm

Bài 23: Cho phương trình x2 2(m1)x2m 3 0 (1)

a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 24: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2007 – 2008 )

Cho phương trình x2 5x m  0

a) Giải phương trình với m = 6

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

Bài 25: Cho phương trình x2 2(m3)x4m 1 0

a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

b) (m 1)x2  2x m 0 có ít nhất một nghiệm không âm

* Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có:

+ hai nghiệm trái dấu

+ hai nghiệm cùng dương

CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm

- Kiểm tra, đánh giá hiệu quả đạt được của đề tài nghiên cứu

- Thấy được những hạn chế, tồn tại để có những bổ xung, biện pháp khắc phục để đề tài được hoàn thiện và có chất lượng

2 Nội dung thực nghiệm

KẾ HOẠCH DẠY HỌC

Giáo án: HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG ( TIẾT 1)

I MỤC TIÊU

- Tái hiện, giúp học sinh nắm vững Định lí Vi –ét và các ứng dụng đã biết

- Thực hiện thành thạo các dạng toán ứng dụng của Định lí Vi-ét như:Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai, tìmhai số biết tổng và tích của chúng

- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt để giải bài tập

II CHUẨN BỊ

Giáo viên: SGK, hệ thống bài tập

Học sinh: SGK, ôn tập kiến thức về phương trình bậc hai

III CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC

1.Tổ chức:

2 Kiểm tra: Kết hợp trong giờ

3 Bài mới:

Đặt vấn đề: Định lí Vi-ét thể hiện mối liên hệ giữa các nghiệm của với các hệ số của phương trình bậc hai Bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về các dạng toán cơ bản ứng dụng định lí Vi-ét đã đưa ra trong sách giáo khoa

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH

- Yêu cầu HS nêu định lí Vi-ét - Nêu định lí: Nếu x x1 ; 2 là nghiệm của

- Yêu cầu HS nhắc lại cách nhẩm

nghiệm của phương trình bậc hai

trong trường hợp này

b) Ta có: a −b +c=2 −5+3=0

- Nhận xét

* Cho phương trình bậc hai, có một

hệ số chưa biết, cho trước một

nghiệm, tìm nghiệm còn lại và hệ số

chưa biết của phương trình như thế

(?) Cách làm bài như thế nào? + Thay x = 2 vào phương trình để tìm p

+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

hai có nghiệm ta có thể tính được tổng

và tích của chúng Ngược lại biết hai

số có tìm được phương trình bậc hai

nào nhận chúng làm nghiệm hay

- Nghe giảng, suy nghĩ vấn đề đặt ra