SKKN Áp dụng định lý vi Ét giải các bài toán liên quan đến việc so sánh nghiệm của phương trình bậc hai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRUNG TÂM GDTX DN NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Người thực hiện Trần Ánh Dương Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn) Toán THANH HOÁ NĂM 2016 SangKienKinhNghiem net MỤC LỤC TT Nội dung Trang 1 I Mở đầu 1 2 1 Lý do chọn đề tài 1 3 2 Mục đích nghiên cứu 1 4 3[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRUNG TÂM GDTX-DN NH Ư THANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ÁP D ỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Người thực hiện: Trần Ánh Dương Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
Trang 2MỤC LỤC
7 1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2
8 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3
9 3 Các sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết vấn đề 3
Trang 3I Mở đầu:
1 Lý do chọn đề tài:
Định lí Vi-ét là một phần hết sức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông đã được nêu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 Khai thác định lý
Vi-ét và ứng dụng của nó chúng ta có thể giải các bài toán liên quan đến việc phải so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực; tìm điều kiện để một hàm
số đơn điệu trên khoảng (đoạn); tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng (đoạn), đặc biệt khi trong chương trình đã bỏ “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai”
Khi học xong định lý Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán dạng tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu Nhưng khi chuyển sang bài toán có dạng tìm điều kiện của tham số để so sánh 2 nghiệm của phương trình bậc hai với số thực thì học sinh lúng túng không tìm
được phương pháp giải Giải quyết được vấn đề tôi vừa đặt ra, sau này học sinh sẽ giải quyết được một số dạng toán như sau:
- Tìm điều kiện để phương trình tham số có thể đưa về phương trình bậc hai
có nghiệm (Dạng: f x( ) g x( ); f x( ) g x( ); phương trình tham số bậc 4 đối xứng…)
- Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên một khoảng, đoạn, …
- Tìm điều kiện để cực đại và cực tiểu của hàm số nằm trên khoảng, đoạn…
- Bài toán phải so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực nào đó
Chính vì vậy, tôi chọn đề tài ‘‘Áp dụng định lý Vi-ét giải các bài toán
ích trong quá trình tôi dạy ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh hệ GDTX và ôn thi THPT Quốc gia Tạo được sự hứng thú cho học sinh đối với bộ môn toán Tôi xin đưa ra để các bạn đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy dạng toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 1 số thực ở lớp 10 và dạng toán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn), tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu của hàm số trong khoảng (đoạn) ở lớp 12 đa số các em học sinh còn lúng túng và chưa có phương pháp giải Vì thế tôi chọn đề tài này để đưa ra một
Trang 4phương pháp giúp các em tháo gỡ khó khăn vừa nêu Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán Từ đó đem đến cho học sinh sự say mê và yêu thích hơn trong học toán, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn trong học tập
3 Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu về định lí Vi-ét, nghiệm của tam thức bậc hai so với một số α, tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng, bài toán về cực trị của hàm số phải sử dụng định lí Vi-ét
Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm
II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
a Định lí Vi-ét:
Nếu phương trình bậc hai: 2 có 2 nghiệm thì:
0, 0
ax bx c a x x1, 2
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a
Ngược lại, nếu hai số và có tổng u v u v S và tích uvP thì và là các u v
nghiệm của phương trình x2 SxP 0
b Các ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc so sánh nghiệm:
* Cho phương trình bậc hai: 2 có các nghiệm và giả sử
0
ax bx c x x1; 2 x1x2
Đặt: S x1 x2 b và
a
P x x1. 2 c
a
+ Nếu P 0 thì hai nghiệm Hai nghiệm trái dấu (x1 0 x2)
+ Nếu 0 thì Hai nghiệm dương ( )
0
P S
0 x1 x2
+ Nếu 0 thì Hai nghiệm âm ( )
0
P S
x1x20
* Định lí về tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm bậc nhất:
Hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng K :
a Nếu f x 0, x K thì hàm số y f x đồng biến trên K (bằng không tại một
số hữu hạn điểm);
Trang 5b Nếu f x 0, x K thì hàm số y f x nghịch biến trên K (bằng không tại một số hữu hạn điểm)
* Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Nếu hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại thì x0
0 0
f x
* Cách giải bất phương trình bậc hai
Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 10, khi dạy về phần tam
thức bậc hai, mà cụ thể là bài toán “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc giải bài toán này
bằng cách giải trực tiếp bất phương trình, vì bất phương trình này thường là bất phương trình vô tỷ và học sinh thường rất dễ mắc sai lầm, nhiều khi cách giải này còn dài dòng và phức tạp Để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này và tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải bài toán loại này tôi đã chọn đề tài ‘‘Áp dụng định
bậc hai’’
a Bài toán mở đầu:
* So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai: 2 (1) với số thực
0
Giải:
Cách 1:
Đặt: x y , khi đó ta được phương trình: 2
( ) ( ) 0
a y b y c
ay a b y a b c
Ta có:
Nếu x thì y y 0
Nếu x thì y y 0
Khi đó bài toán trở thành so sánh nghiệm của phương trình bậc hai
với 0
ay a b ya b c
Nếu phương trình 2 2 có hai nghiệm và
ay a b ya b c y y1; 2 y1 y2
và:
+ y1 0 y2, thì phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 và x1 x2
+ y1 y2 0, thì phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 và x1x2 0
+ 0 y1 y2, thì phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 và 0 x1 x2
Cách 2:
Trang 6Trường hợp 1: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm lớn hơn
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 ; 2 và x1 x2 Khi đó:
và
1 2
b
x x
a
x x1 2 c
a
Để phương trình (1) có 2 nghiệm lớn hơn thì:
2
2
0
2
a
b
a a
Trường hợp 2: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm nhỏ hơn
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 ; 2 và x1 x2 Khi đó:
và
1 2
b
x x
a
x x1 2 c
a
Để phương trình (1) có 2 nghiệm nhỏ hơn thì:
2
2
0
2
a
b
a a
Trường hợp 3: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn một nghiệm nhỏ hơn
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 ; 2 và x1 x2 Khi đó:
và
1 2
b
x x
a
x x1 2 c
a
Để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn một nghiệm nhỏ hơn thì:
2
2
a a
b Các dạng bài tập:
Dạng 1: Dạng bài tập so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
Trang 7Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình: 2 (1) có một nghiệm lớn hơn 1 và
1 0
x mx
nghiệm kia nhỏ hơn 1
Giải:
Đặt: x = y+1, khi đó ta được phương trình:
2
1 1 1 0
y m y
(2)
2
2 2 0
y m y m
Để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 1 và nghiệm kia nhỏ hơn 1, tức là phương trình (1) có hai nghiệm thoã mãn: x1 1 x2 (Giả sử x1x2)
Vì x1 1 x2 y1 1 1 y2 1 y1 0 y2 nên bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu y y1. 2 0 m 2 0 m 2
Kết luận: m 2 phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt, 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1
Ví dụ 2:
Cho phương trình:
2 (1)
2 4 3 0
x mx m
a Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2
b Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2)
Giải:
4 3
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x x1 , 2 x1 x2, theo Vi-ét ta có:
(2)
1 2
1 2
2
4 3
x x m
Phương trình (1) có hai nghiệm lớn hơn 2
2
1 2
1 2 1 2
1 3
2 4 0 4 3 2 2 4 0 2
m m
Trang 8Vậy, với m > 3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2)
2
1 2 1
1 2 2
1 3
4 3 0 0
m m
x
x
1 2 1 2
1 2
3
1
4
2
2 4 0 4 3 2 2 4 0
m
m
Vậy với 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2)
1
4 m
Dạng 2: Dạng bài tập tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, đoạn và hàm số đạt cực đại, cực tiểu trên khoảng, đoạn
Ví dụ 3:
Tìm điều kiện của m để hàm số 3 2 nghịch biến trong
y x x m x
khoảng (-1; 1)
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: 2
y x x m
Giả sử y’ có hai nghiệm là x x1, 2 x1 x2, theo Vi-ét ta có: 1 2
1 2
2 1 3
x x m
x x
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) y 0 trên khoảng (-1; 1)
Trang 9
2
1 2 1 2
3 6 1 0, 1;1
2
1 1 0
1 0
2
2 1
3
10 1
2 1 0 3
m
x x x x
m
m m
m m
Vậy giá trị m cần tìm là: m 10
Ví dụ 4:
Cho hàm số 1 3 2 2 Tìm m để hàm số có cực
3
y x m x m xm
đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn:
Giải:
Có TXĐ: D = R;
Có 2 Để hàm số có cực trị thì phương trình
y x m x m
có hai nghiệm phân biệt
2
y x m x m
9
m
m
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm là x x1, 2 x1 x2
a) Hàm số có CĐ, CT tại x x1, 2 thỏa mãn x1 1 x2
1
2
1 0
8
3
x
x
Từ (*) và (**) suy ra giá trị của m cần tìm là: 8
3
m
b)Hàm số có CĐ, CT tại x x1, 2 thỏa mãn 2 x1 x2
Trang 10
2 2 0
5 4 4 2 4 0 0
Vậy không có giá trị nào của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu
Dạng 3: Một số bài toán khác
Ví dụ 5:
Tìm m để phương trình: 4 3 2 (1) có nghiệm
x mx mx mx
Giải:
Ta thấy, phương trình (1) không nhận x = 0 làm nghiệm
Chia hai vế của phương trình (1) cho 2 ta được phương trình:
x
2
2
1
x x
2
2 2 0
Đặt: 1, điều kiện
y x
x
2
y y
Ta được phương trình: 2 (2)
2 2 0
y my m
Để phương trình (1) có nghiệm, thì phương trình (2) phải có nghiệm thoả
2
y
y
Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: 2, ta đi
2
y y
tìm điều kiện cho phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm thỏa mãn:
2 y 2
+ Để phương trình (2) vô nghiệm: 0
2
8 8 0 4 2 2; 4 2 2
m m m
+ Để phương trình (2) có hai nghiệm y y1 ; 2 (y1y2)và thỏa mãn:
1 2
2 y y 2
Đặt: u y 2 và v y 2, ta được các phương trình:
2
( 4) 4 2 0
u m u m 2
( 4) 2 0
v m v
Để phương trình (2) có hai nghiệm y y1; 2 (y1 y2) và thoã mãn
,
1 2
2 y y 2
thì phương trình (3) phải có hai nghiệm u u1; 2 (u1u2)thoã mãn: u1u2 0 và phương trình (4) có hai nghiệm v v1; 2 (v1v2)thoã mãn: 0 v1 v2
Để phương trình (3) có hai nghiệm u u; (u u )thoã mãn: u u 0
Trang 110
0
P
S
2
8 8 0
4 2 0
4 0
m m
(5)
; 4 2 2 4 2 2;
4;
m
m
Để phương trình (4) có hai nghiệm v v1; 2 (v1v2)thoã mãn: 0 v1 v2
2
; 4 2 2 4 2 2;
0 2 0
; 4
0 4 0
m P
m
(6)
; 4 2 2
Từ (5) và (6), ta có 1; 4 2 2
2
m
Vậy, để phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm thỏa mãn:
2 y 2
1; 4 2 2
2
m
Vậy, để phương trình (1) có nghiệm thì: 1
; 4 2 2;
2
m
Ví dụ 6:
Tìm m để phương trình: 2 (1) có nghiệm
2x mx 1 x 2
Giải:
(1) 2 2
2( 2) 3 0
x
Để phương trình (1) có nghiệm, thì phương trình: 2 (2)
2( 2) 3 0
x m x
phải có nghiệm x 2
Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm x 2, ta đi tìm điều kiện cho phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm: x x1; 2 (x1x2) mà x1 2 2
+ Để (2) vô nghiệm ' 0 2 vô nghiệm
4 7 0
m m
+ Để (2) có hai nghiệmx x1; 2 (x1x2) mà x1x2 2
Đặt: x y 2, ta được phương trình: 2 (3)
2( 4) 4 9 0
y m y m
Trang 12Để (2) có hai nghiệmx x1 ; 2 (x1x2) mà x1x2 2, thì phương trình (3) phải
có hai nghiệm: y y1; 2 y1 y2 và y1 y2 0
' 0 0 0
P S
2
4 7 0
9 4 0 2( 4) 0
m m
9
4 4
4
m
m m
Vậy, để phương trình (1) có nghiệm thì m 4
Ví dụ 7:
Tìm m để hệ: 2 2 8 (I) có nghiệm
( 1)( 1)
Giải:
(I) ( 1) ( 1) 8
( 1) ( 1)
x x y y
Đặt: ( 1) , điều kiện: , khi đó ta có hệ: (II)
( 1)
1 4 1 4
u v
8
u v
u v m
Ta có, u; v nếu có là nghiệm của phương trình: 2 (1)
X X m
Để hệ (I) có nghiệm thì hệ (II) phải có nghiệm
1 4 1 4
u v
Để hệ (II) có nghiệm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm
1 4 1 4
u v
1 ; 2
X X
và
1 2
(X X ) 1 1 2
4 X X
Đặt: 1 , khi đó ta được phương trình: (2)
4
0
2 16
t t m
Để phương trình (1) có hai nghiệm X X1; 2(X1 X2) và 1 1 2, thì
4 X X
phương trình (2) phải có hai nghiệm t t1; 2 (t1t2) và 0 t1 t2
Trang 13
0
0
0
P
S
64 4 0 33 0 16 17 0 2
m m
16 33 16
m m
33
;16 16
Vậy, với 33 thì hệ (I) có nghiệm
;16 16
m
Bài tập áp dụng:
1.Cho phương trình: 2 Tìm m để phương trình:
(m 1)x 2(m 1)x 4m 5 0
a) Có hai nghiệm lớn hơn 2
b) Có hai nghiêm phân biệt lớn hơn 1
2 Cho phương trình: 2 Tìm m để phương trình:
(m 1)x (8m 1)x 6m 0
a) Có đúng một nghiệm thuộc khoảng 0;1
b) Có hai nghiêm phân biệt, mà nghiệm lớn của phương trình thuộc khoảng 0;1
3 Tìm điều kiện của m để các hàm số:
y mx m x m x
b) 3 2 nghịch biến trong khoảng (-1; 1)
y x x m x
y x m x m m x m m
d) 1 3 2 đồng biến trong khoảng (0;3)
3
y x m x m x
4 Cho hàm số 1 3 2 2 Tìm m để hàm số có cực
3 4 3 3
y x m x m xm m
đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn: 1 x1 x2
5 Cho hàm số 1 3 2 2 Tìm m để hàm số có cực đại,
3
y x m x m xm
cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn:
a) x1 x2 3;
b) x1 1 x2;
c) 2 x1 x2;
6 Tìm m để phương trình: 2 có hai nghiệm phân biệt
2x mx 1 x 3
7 Cho phương trình: 4 3 2 Tìm m để phương trình:
4 ( 1) 4 1 0
x mx m x mx
Trang 14a) Có nghiệm.
b) Có 4 nghiệm phân biệt
4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục của bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
- Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2014-2015 trực tiếp trên lớp 12B1, thực hiện trong năm học 2015-2016 trên lớp 10B3 Kết quả đa số các em đã biết
so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bằng Vi-ét, giải quyết được những băn khoăn, e ngại cho học sinh khi giải dạng toán này Đề tài đã góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học tập của các em trong nhà trường nói chung
- Kết quả khảo sát của lớp 12B1, lớp 10B3 đa số các em đều làm được dạng toán về tam thức bậc hai hoặc liên quan đến tam thức bậc hai Cụ thể như sau:
không đạt Số học sinh đạt Số học sinh không đạt Số học sinh đạt
- Những kết quả khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận rằng mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành và đề tài có tính khả thi cao
- Tôi hy vọng rằng, đây là cuấn tài liệu mà các thầy cô giáo dạy Toán yêu thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai, hàm số đơn điệu, cực trị của hàm số Qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em
III Kết luận, kiến nghị:
1 Kết luận:
Trong chương trình Đại số lớp 10 cũ có trình bày định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, nên khi giải các bài toán có liên quan đến việc phải so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực nào đó, học sinh không gặp
quá nhiều khó khăn vì đã có cơ sở lí thuyết để áp dụng Bây giờ, do trong chương trình đã lược bỏ định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, nên bài viết này của tôi có thể giúp các em học sinh giải được một lượng lớn các bài toán so sánh nghiệm mà trong chương trình toán phổ thông