Các bài toán liên quan tới định lí Vi-et rất thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THCS và thi vào lớp 10. ở bài viết này chúng ta cùng ôn tập những bài toán cơ bản nhất.. Chứng tỏ phư[r]
Trang 1ĐỊNH LÍ VI-ET THUẬN
Các bài toán liên quan tới định lí Vi-et rất thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THCS
và thi vào lớp 10
ở bài viết này chúng ta cùng ôn tập những bài toán cơ bản nhất Trước hết ta nhớ lại định
li Vi-et thuận :
“Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2 thì x1 + x2 = - b/a và x1x2 = c/a ”
Chú ý : Nhiều bạn khi sử dụng định lí này đã quên mất giả thiết a ≠ 0 và Δ ≥ 0 nên dẫn
tới những sai lầm đáng tiếc
Thí dụ 1 : Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x 2 - x - 1 = 0
1) Tính x1 + x2
2) Chứng minh Q = x1 + x2 + x1 + x2 chia hết cho 5
Giải : Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 vì Δ = 5 > 0 (hoặc a.c = -1 < 0)
Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = 1 và x1x2 = -1
1) x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 12 - 2(-1) = 3
2) Q = (x1 + x2 ) + (x1 + x2)2 - 2x1 x2 = 3 + 32 - 2(-1)2 = 10 => Q chia hết cho 5
Chú ý : Các bạn giỏi có thể chứng minh Q = x12001 + x22001 + x12003 + x22003 cũng chia hết cho 5 (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định)
Thí dụ 2 : Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 - (m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0 Tìm m để F = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải : Trước hết, phương trình có nghiệm tương đương với Δ ≥ 0 tương đương với (m +
1)2 - 4(m2 - 2m + 2) ≥ 0 hay 3m2 + 10 - 7 ≥ 0 hay 1 ≤ m ≤ 7/3
Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = m + 1 và x1x2 = m2 - 2m + 2 Do đó F = x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (m + 1)2 - 2(m2 - 2m + 2) = -m2 + 6m - 3 = -(m - 3)2 + 6
Với 1≤ m ≤ thì - 2 ≤ m - 3 ≤ - 2/3
=> (m - 3)2 ≤ 4 => -(m - 3)2 ≥ -4
=> F = -(m - 3)2 + 6 ≥ 2
Vì F = 2 tương đương với m = 1, nên F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi m = 1
Chú ý : Nếu các bạn “quên” điều kiện Δ ≥ 0 thì sẽ dẫn đến F không có giá trị nhỏ nhất !
Thí dụ 3 : Tìm số nguyên m sao cho phương trình mx2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 có nghiệm x1, x2 thỏa mãn : F = 1/ x1 + 1/ x2 là số nguyên
Giải : Phương trình có nghiệm x1, x2
Theo định lí Vi-et thì x1 + x2 = 2(m + 3)/m và x1.x2 = (m + 2)/m
Do đó : F = 1/x1 + 1/x2 = 2(m + 3)/(m + 2) = 2 + 2/(m + 2)
Ta thấy F là số nguyên hay m + 2 là ước của 2
Vì m ≥ - 9/4 nên m = 0 ; m = 1 ; m = -1 thỏa mãn bài toán
Trang 2Thí dụ 4 : Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình : x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc m
Giải : Ta có Δ = (m + 3)2 - 4(2m - 5) = m2 - 2m + 14 = (m - 1)2 + 13 > 0 với mọi m Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm x1 và x2 Theo định lí Vi-et thì :
Khử m ta có : 2(x1+x2) - x1x2 = 11
Thí dụ 5 : Tìm m để phương trình : x2 - mx + m2 - 7 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Giải : Phương trình có nghiệm x1, x2
Tương đương với Δ ≥ 0 hay m2 - 4(m2 - 7) ≥ 0 hay 28 ≥ 3m2
Theo định lí Vi-et ta có :
Giả sử x1 = 2x2 thì :
Khử x2 bằng phép thế ta có :
2.(m/2)2 = m2 - 7 tương đương với 2m2 = 9m2 - 63
hay m>sup>2 - 9 hay là m = - 3 hoặc m = 3 (thoả mãn)
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là m = 3 và m = -3
Thí dụ 6 : Cho phương trình : x2 - mx + m2 - 3 = 0
1) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
2) Tim m để phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương
Giải :
1) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
2) Phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương trong các khả năng sau đây :
Khả năng 1 : 0 = x1 < x2
Khả năng 2 : x1 < 0 < x2
Khả năng 3 : 0 < x1 = x2
Các bạn hãy làm thêm một số bài tập :
1 Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 12
Trang 3b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m.
2 Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0
Gọi các nghiệm của phương trình là x1, x2
a) Tìm m sao cho x1 + 5x2 = 4
b) Tìm số nguyên m sao cho : F = 1/x1 + 1/x2 cũng là số nguyên
3 Tìm m để phương trình : x2 + 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0 có nghiệm x1, x2 và biểu thức A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất