DS va GT CHUONG 1

Phương pháp:Dùng các phép biến đổi lượng giác đưa phương trình cần giải về một trong bốn dạng cơ bản sau:.. BÀI TẬP.[r]

CHUYấN ĐỀ I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐẾ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I.TểM TẮT LÍ THUYẾT

1 Haứm soỏ sin:

- Taọp xaực ủũnh D = R

- Taọp giaự trũ:  1 ; 1

- Laứ haứm soỏ leỷ

- Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ 2

- Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2

    

  và nghịch biến trên mỗi khoảng

3

    

 , k  Z

- Có đồ thị là một đ-ờng hình sin

2 Haứm soỏ côsin:

- Taọp xaực ủũnh D = R

- Taọp giaự trũ:  1 ; 1

- Laứ haứm soỏ chẵn

- Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ 2

- Đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; k2   và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ;    k2  ,kZ

- Có đồ thị là một đ-ờng hình sin

3 Haứm soỏ tang:

- Taọp xaực ủũnh \

2

D R  k k

- Taọp giaự trũ R

- Laứ haứm soỏ leỷ

- Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ 

- Đồng biến trên mỗi khoảng k ; k

    

 , k  Z

- Có đồ thị nhận mỗi đ-ờng thẳng x = k

2

  , k  Z làm một đ-ờng tiệm cận

4 Haứm soỏ côtang:

- Taọp xaực ủũnh DR\k kZ

- Taọp giaự trũ R

- Laứ haứm soỏ leỷ

- Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng k ;     k , k  Z

- Có đồ thị nhận mỗi đ-ờng thẳng x = k , k  Z làm một đ-ờng tiệm cận

II.CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

DẠNG 1:TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

Để tìm TXĐ của các hàm số lượng giác cần lưu ý đến các điều kiện sau:

 Để tanu có nghĩa thì ,

2

u  k k

; Đề cotu có nghĩa thì uk,k

 sinu  0 u k,k sin 1 2 ,

2

2

2

2

 cosu    1 u  k2 , k cosu   1 u k,k

1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a ysin 5x e y sin

x



3

x

y

b ycos 4x f cos 2

1

x y

x





c ytan 3x g ysin x m cot 2

4

d ycot 2x h ycos 1x n ytanxcotx

2 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a 1

sin 2

y

x

1 sin 2

x y

x





1

1 cos 2

6

y



b cos

sin 3 1

x y

x



sin cos sin 2

x y

cos 1

x y

x





sin 2

3

x y





2 cos

2

y



cos 3 cos

y





3 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a y 2 sin 2 x d sin 4 sin 2

1 cos

x y

x





b 2 sin

1 cos

x y

x





3 sin cos

y



DẠNG 2:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số sin và cosin ta áp dụng tính chất: 1 sin  u  1; 1 cosu1

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a y3cosx1 d y 1 2cos 32 x f 1 2 sin 2

3

y  x  

b y 2 5sinx e 1 3cos 2

7

3 sin 2

x



2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

5 2 cos sin

b y 3 4sin2x.cos2x f ysin 2xcos 2x

c y2sin2xcos 2x g ysin 24 xcos 24 x

d ycos2xcos 2x h ysin6xcos6x

DẠNG 3: XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

Phương pháp giải:

 Tìm TXĐ D của hàm số và kiểm tra tính đối xứng (nếu không thỏa thì hàm số không chẵn,lẻ)

  x D,nếu f   x f x  thì f x là hàm số chẵn  

  x D,nếu f    x f x  thì f x là hàm số lẻ  

1 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a ysin 4x d y x sin 5x g 1 cos

1 cos

x y

x







b yxcos 2x e cos 3

2

x y

x

 h.ysin cosx 2 xtanx

c ytan 3x f y5sinx3sin 3x

2 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a

3

sin 2 cos 2

y

x



2

b y 1 cos x e tan

3

3

1 cos sin 2

2

c ysinxcosx f 5 cos 2

3 cos 3

x y

x





2

cos cot sin

y

x





DẠNG 4:VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn 2 ; 2 :

a ysin 2x ,suy ra đồ thị hàm số: y sin 2 ;x ysin 2 x

b ycos 2x, suy ra đồ thị hàm số: y cos 2 ;x ycos 2 x

c cos

2

x

y , suy ra đồ thị hàm số: cos

2

x

y

2 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:y2sin2 x trên đoạn  ; 

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Phương pháp:Dùng các phép biến đổi lượng giác đưa phương trình cần giải về một trong bốn dạng cơ bản sau:

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

1 √

2 4sinx 1 0 3 ( )

4

5 √

6   2 cos 2 5 x  7 ( )

8 1 2 cos x 2sinx 20 9 √ ( )

10 ( )

11 ( )

12 sin 2 cotx x0 13  0  0 tan x30 cos x150 0 14 3 tanx 3 2sinx 1 0 15 cot 1 cot 1 0 2 3 x x            16

17

18 ( )

19 ( )

20 ( )

21 sin3 0

cos 3 1

x



22 sin 2x2cosx0

𝑢 𝜋 𝑣 𝑘 𝜋 𝑘 ∈ ℤ

𝑢 𝑣 𝑘 𝜋 𝑘 ∈ ℤ

3 𝑡𝑎𝑛𝑢 𝑡𝑎𝑛𝑣 ⟺ 𝑢 𝑣 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ

4 𝑐𝑜𝑡𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑣 ⟺ 𝑢 𝑣 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ

(𝜋 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝜋 𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝜋 𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑥 (𝜋 𝑥) 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝝅 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝝅 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

1 Hai cung phụ nhau:

2 Hai cung bù nhau nhau 𝝅

3 Hai cung hơn kém nhau 𝝅

4 Hai cung đối nhau

𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

Công thức hạ bậc:

23 2cos2xcos 2x2

24 2

25 2 2 2 2

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2

2

2

a u b u c  Đặt t tanu

, 2

u  k k

2

Giải các phương trình sau:

1 2 6 2 (√ ) √

2 2 7 2 (√ ) √

3 2 8 4sin2x4cosx 1 0

4 2 ( √ ) √ 9 2

5 2sin2x5cosx 1 0 10 tanx2cotx 1 0

III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX DẠNG: Cách giải 1:

+ Kiểm tra điều kiện có nghiệm của ph.trình: 2 2 2

+ Chia hai vế phương trình (1) cho a và đặt

Cách giải 2:

+ Kiểm tra điều kiện có nghiệm của ph.trình: 2 2 2

+ Chia hai vế phương trình (1) cho √ 2 2 và đặt

{√

√ hoặc{

√

√ + Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản:

√ hoặc √

Chú ý:

BÀI TẬP:

Giải các phương trình sau:

1 √ 6 √

2 √ √ 7

3 √ √ 8

4 √ √ 9 2sin2x 3 sin 2x3

5 √ √ 10 sin 8xcos 6x 3( in 6s xcos8 )x

𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 √ (𝑢 𝜋) √ 𝑢 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 √ 𝑢 𝜋 = √ 𝑢 𝜋

IV.PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d

Cách giải:

(sin cos )

- Biến đổi phương trình về dạng:   2 2

sin sin cos ( ) cos 0

a d x b x x c d x

- Chia hai vế pt cho cos2

x biến đổi về phương trình bậc hai theo tanx

Chú ý: Kiểm tra cosx0 có thỏa mãn phương trình không?

2

2

Giải các phương trình sau:

1 2 2 5 2 2

3sin x4sin cosx x5cos x2

2 4sin2x3 3 sin cosx x2cos2x4 6 5sin2x2 3 sin cosx x3cosx x2 2

3 sin2 sin 2 2 cos2 1

2

3sin x4sin 2x4cos x0

3sin 2xsin 2 cos 2x x4cos 2x2 8.  2 2

3 1 sin x2 3 sin cosx x( 3 1) cos x0

V.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Cách giải:

- Nếu gặp dạng tổng thì biến đổi về phương trình tích

- Nếu gặp dạng tích thì biến đổi về phương trình tổng

- Nếu gặp dạng lũy thừa thì dùng công thức hạ bậc

1

2

3

4

5 sin2xs n 3i 2 x 6 cos2xcos 22 xcos 32 x1 7

8

9

10 1 2sin cos x xsinx2cosx 11 sin4xcos4xsin cosx x0 12 sin6 cos6 1 4 x x BÀI TẬP TỔNG HỢP – NÂNG CAO Giải các phương trình lượng giác sau: 1 2cosx1 2sin xcosxsin 2xsinx 2 sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 3 2 2 2 2 sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x 4 6 6  8 8  sin xcos x2 sin xcos x 5 2sinx + cosx = sin2x + 1 6 sinxcosx 1 sin 2xcos 2x0 7 2sin 2xcos 2x7sinx2cosx4 8 sin 2xcos 2x3sinxcosx2 9 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x8 10 3 2cos xcos 2xsinx0 1 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

3 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦2 𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑦2

4 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑦

2 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑦

2

5 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑦

2 𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑦

2

6 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦2 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑦2

7 𝑥 ± 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦

8 𝑥 ± 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ∓ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦

11 3 3 1

1 sin 2 cos 2 sin 4

2

4cos xcos 2x4cosx 1 0

4

sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin x.cosx

4 sin xcos x  3 sin 4x2 16 4 4

sin xcos xsin cosx x0

cos sin

4 4

x x 

  18 cos 2x 5 2 2 cos  xsinxcosx

4sin 3 cos 2 1 2 cos

x

sin cos 2x xcos x tan x 1 2sin x0

21 2sinx1 cos 2 xsin 2x 1 2cosx 22 1 1 4sin 7

3

sin

2

x x

x



23 cos 7x 3 sin 7x  2 24 sin 3x 3 cos 3x2sin 2x

cos sin cos( ) sin(3 ) 0

x x x x  

(sin cos ) 3 cos 2

x

27 2sin 22 xsin 7x 1 sinx 28 sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

29 cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

5sinx 2 3(1 sin ) tan x x

31 cot sin (1 tan tan ) 4

2

x

x x  x  32 tanxcotxsinxcosx

cos 4x12sin x 1 0 34 cos 2x (1 2cos x)(sin x cos x)   0

35 (1 sin 2x) cosx (1 cos2x)sinx 1 sin 2x 36 sin 2 sin 2

37 sin2 tan2 cos2 0

x



sin cos 4 sin 2 4sin

x

39 (2sin2x -1)tan22x + 3(2cos2x – 1 ) = 0 40 1  

sin tan cos

cos

41 cos2 sin 2 3

2 cos sin 1





2

cot 1 sin sin 2

x

x



43 sin 2 cos 2 tan cot

cos sin

cos cos 1

2 1 sin sin cos

x





45

1 sin cos 2 sin

1 4

cos

x x



1 sin 2 cos 2

2.sin sin 2

1 cot

x





47

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x

4

x + 1

2

4

(2 sin 2 ) sin 3 cos

x





49 sin 2 2 cos sin 1 0

tan 3

x

2

1 2sin 3 2 sin sin 2

1 2sin cos 1

