2) Gọi M và I lần lượt là trung điểm của BH và CH, chứng minh MK KI 3) Chứng minh đường thẳng IK tiếp xúc với đường tròn đường kính AH.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2012-2013 Môn: TOÁN ( chung )
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 : ( 1,25 điểm )
1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 1 x
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = 2mx + 1 đi qua điểm M (1 ;2)
3) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3
4) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Biết HB = 1cm, HC = 4cm Tính
độ dài đoạn AH
5) Cho một hình tròn có chu vi bằng 20 cm Tính độ dài đường kính
Bài 2 : ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức
A =
1
với điều kiện x > 0 1) Rút gọn biểu thức A
2) Chứng minh A < 4
Bài 3 : ( 2,0 điểm ) Cho phương trình : x2 – 2 (m – 2 )x – 3m + 3 = 0 (1) ( m là tham số) 1) Giải phương trình (1) với m = 5
2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 ; x2 Tìm các giá trị của m sao cho :
6x1x2 – ( x12 + x22 ) + 4m2 = 0
Bài 4 : ( 3,0 điểm ) Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C là điểm thuộc nửa đường
tròn ( C khác A và C khác B) Kẻ đường cao CH của tam giác ABC và đường cao HK của tam giác HBC
1) Chứng minh CH BC = HK AB
2) Gọi M và I lần lượt là trung điểm của BH và CH, chứng minh MK KI
3) Chứng minh đường thẳng IK tiếp xúc với đường tròn đường kính AH
Bài 5 : (1,25 điểm) Giải hệ phương trình
1 2 1 2 3
1 2 1 2 3 4 5
Bài 6 : ( 1,0 điểm ) Cho a, b, c, d là các số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện
a + b + c + d = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a b c d
Trang 2ÁP ÁN M T S CÂU
5
Giải hệ phơng trình
y 1 2x 1 x 2y 3
x 1 2y 1 2x 3 4y 5
<=>
2xy 2x y 1 2xy 3x 2xy x 2y 1 8xy 10x 12y 15
<=>
y x 1 (1) 6xy 9x 14y 16 0 (2)
Thay (1) vào (2) ta đợc phơng trình
6x(x – 1) + 9x – 14(x – 1) – 16 = 0
<=> 6x2 – 11x – 2 = 0, Phơng trình có hai nghiệm
1
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm
1
;
1 6
x x
x
y
3 a/ Với m = 5, ta có phơng trình
x2 – 6x – 12 = 0
Phơng trình có hai nghiệm
1 2
3 21
3 21
x x
b/ x2 2 m 2 x 3m 3 0 1 ( m là tham số )
Ta có : ’ = (m – 2)2 + 3m – 3 = m2 – m + 1 =
2
1 3
0
2 4
m
Với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo viét ta có
1 2
2( 2)
3 3
6x x x x 4m 0
<=>
6x x x x 2x x 4m 0
=> 18m 18 4 m 2 26m 6 4m2 0
Trang 3=> 18m 18 4m 210m 10 4m 2 0
=> 8m 8 0 m 1
4
Hình
N
I
M
K C
H
B A
a/ Chứng minh : CH.BC = HK.AB
Dễ thấy KHC CBA(g.g)
=> KH HC HC CB KH BA .
CB BA Hay CH.BC = KH.AB
b/ Chứng minh MK KI
KHC vuông tại K mà IC = IH => IK = IH = IC (1)
KHB vuông tại K mà MH = MB => MK = MH = MB (2)
IM là cạnh chung (3)
Từ (1) , (2) và (3) => KIM = HIM(c.c.c)
90 0
IKM IHM MK KI
c/ Chứng minh đờng thẳng IK tiếp xúc với đờng tròn đờng kính AH
Từ H kẻ HN AC
=> AKHN là hình chữ nhật
Và NK đi qua trung điểm I của HC
và N thuộc đờng tròn (O’) đờng kính AH
C/m tơng tự nh câu b => KN NO’
KN là tiếp tuyến của (O’)
KI tiếp xúc với đờng tròn đờng kính AH
6 4(a2 + b2 + c2 + d2) a2 + b2 + c2 + d2+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc
+ 2bd + 2cd
=> 4(a2 + b2 + c2 + d2) (a + b + c + d)2
=> 4(a2 + b2 + c2 + d2) 9
=> (a2 + b2 + c2 + d2)
9
4 (1)
Tơng tự 4(a4 + b4 + c4 + d4) (a2 + b2 + c2 + d2)2
9
4 (a2 + b2
+ c2 + d2)
=> a4 + b4 + c4 + d4
9
16 ( a2 + b2 + c2 + d2)(2)
Ta cú theo BUNHIA
(a3 + b3 + c3 + d3)2 ( a2 + b2 + c2 + d2) (a4 + b4 + c4 + d4) (3)
Từ (2) v à (3) Suy ra :
Trang 4(a3 + b3 + c3 + d3)2
16
9 (a4 + b4 + c4 + d4)2
(a4 + b4 + c4 + d4)
3
4(a3 + b3 + c3 + d3)
=>
a b c d 3
P
a b c d 4
=> P(min) =
3
4 khi: a = b = c = d =
3 4