Phương pháp tọa độ hóa giải bài toán hình học không gian

Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đa diện đó và thông thường trên lý thuyết ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa diện; trục cao (trục Oz) là đường cao[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Lý thuyết cần nhớ

a) Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ

nhật

Ta chọn gốc tọa độ là một đỉnh của hình lập

phương hoặc hình hộp chữ nhật chọn các tia Ox,

Oy, Oz là ba cạnh của hình xuất phát từ đỉnh đó

b) Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp đều

c) Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông

d) Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình vuông, hình chữ nhật

z

y x

O

y

x z

O

x

y

B'

A'

D'

C'

C

D A=O

z

B

Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu tố vuông góc tại đỉnh mà cạnh bên đó vuông góc: Ví dụ như hình thang vuông, tam giác vuông, tứ giác

có hai cạnh vuông góc…

e) Đặt hệ trục với hình chóp tam giác đều

f) Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông

Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta có thể tọa độ hóa một cách đơn giản Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một khối đa diện bất kỳ Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đa diện đó và thông thường trên lý thuyết ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa diện; trục cao (trục Oz) là đường cao, sau

đó ta dựng hai tia còn lại Nhưng trong thực hành giải toán chúng ta căn cứ tùy bài toán để đặt hệ trục miễn sao chúng ta có thể tìm các tọa độ các đỉnh liên quan đến hình khối cần tính

y

x z

O

y

x z

y

x z

z

x

y

O

S

G

z

y

x O

có thể tìm được một cách dễ dàng hoặc không quá phức tạp

Ví dụ như bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 0 Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

Hướng dẫn giải:

Ta có định lý: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, trong mặt này dựng một đường thẳng vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia”

Áp dụng vào hình chóp này: ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến của hai mặt phẳng này là AB Ta cần tìm chiều cao cho nên, bạn chỉ cần từ S dựng SO vuông góc với AB, O thuộc AB, vì tam giác SAB cân tại S cho nên O là trung điểm AB Tức là các bạn

đã xác định được chiều cao và chân đường vuông góc

Vậy chúng ta có hệ trục như sau:

Tính toán tọa độ các điểm, ta có: O(0; 0; 0), A(0; a;0), B(0; ; 0),C(a;0;0),S(0;0;a 3a)

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: SA, BC ta có:

| SA, BC AB | d(SA, BC)

| SA, BC |

  

  , ta thu được kết quả cần tính

2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a Gọi N là trung điểm của B’C’

a Chứng minh rằng: AC’ vuông góc với (A’BD)

b Tính thể tích khối tứ diện ANBD’

c Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’

d Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D)

x

y

z

O A

B

C S

x

y

C

C'

A'=O

D'

B' B

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Khi đó ta có tọa độ các đỉnh của hình lập phương như sau:

A '(0;0;0), B'(a; 0;0), D '(0; a; 0),C '(a; a; 0), A(0;0;a), B(a; 0; a),

a C(a; a; a), D(0;a;a), N(a; ;0)

2

a Mục đích của ta là chứng minh một đường thẳng vuông

góc với một mặt phẳng

Ta sẽ chỉ ra rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng này

cùng phương với véc tơ pháp tuyến của mp (A’BD)

AC '(a; a; a), A 'B, A ' D   ( a ; a ; a )

là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (A’BD)

Ta thấy hai véc tơ này cùng phương

Vì thế ta có AC’ vuông góc với mp (A’BD)

b Tính thể tích tứ diện ANBD’ Ta có công thức tính thể tích tứ diện là:

ANBD '

1

V | AN, AB AD ' |

6

  

Ta có:

AB, AN 0; a ; , AD ' (0;a; a), AB, AN AD '

Do đó thể tích tìm được là:

3

a

V

12



c Để tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng ta sử dụng hai

công thức sau:

| a.b | | a b AB |

a b ;d(a, b)

| a || b | | a b |

[ , ]

Cos(a, b)=|cos( , )|=

[ , ]



 

Với a, b 

là các véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b Đường thẳng a,b lần lượt đi qua hai điểm A và B

Do đó ta có góc giữa hai đường thẳng AN và BD’ là: | AN.BD ' | 3

9

| AN || BD ' |

 

 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng này là: d(AN, BD ') | AN,BD ' AB | a 26

26

| AN,BD ' |

 



d Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AC’D)

Viết phương trình mp (AC’D), Mặt phẳng (AC’D) có véc tơ pháp tuyến cùng phương với

AC ' AD

[ , ]=(-a ;0;-a )

 

Ta chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AC’D) là n(1;0;1).Vì thế phương trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0 Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có khoảng cách là: d(C, (AC ' D)) a

2



Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D' có cạnh bằng a

a Chứng minh rằng đường chéo A'C vuông góc với mặt phẳng (AB'D')

b Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A'C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB' D '

c Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD)

d Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA 'C) và (ABB'A ')

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: OA(0;0;0) ; A '(0;0;a)

B(a;0;0) ; B'(a;0;a)

C(a;a;0) ; C'(a;a;a)

D(0;a;0) ; D'(0;a;a)

a) Ta có:

A 'C (a;a; a) AB' (a;0;a)

AD ' (0;a;a)











Vì

A 'C AD'



 

b) G là trọng tâm của tam giác AB' D '

Phương trình tham số của đường thẳng A'C

x t

A 'C : y t (t R)

z a t

 





  



AB ', AD ' ( a ; a ; a )

 

Suy ra: n1(1;1; 1) là một VTPT của (AB’D’)

Vậy: Phương trình tổng quát của mặt phẳng (AB'D') (AB'D') : x   y z 0

Gọi GA 'C(AB'D ')

Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A'C và mặt phẳng (AB'D') là nghiệm của hệ:

a x

y

2a

3

 



 

Suy ra: G a a 2a; ;

3 3 3

  (1)

Mặt khác:

A B ' D ' G

A B ' D ' G

A B ' D ' G

x

y

z













(2)

Vậy giao điểm G của đường chéo A'C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB' D '

C 'B, C ' D (a ;a ; a )

 

Suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (C'BD) : x    y z a 0

Ta có: (AB'D') : x   y z 0

(C'BD) : x    y z a 0

 (AB'D') // (C'BD) d (AB'D '), (C' BD)  d B, (AB'D ')  a

3

d) Tính cos (DA 'C),(ABB' A ') 

Oy(ABB'A ') Vec tơ pháp tuyến của (ABB'A') là j (0 ; 1 ; 0)

DA ', DC (0;a ; a ) a (0;1; 1)

 

Suy ra vectơ pháp tuyến của (DA 'C) : n3(0;1; 1)

Vectơ pháp tuyến của (ABB'A ') là j(0 ; 1 ; 0)

Vectơ pháp tuyến của (DA 'C) : n3(0;1; 1)

cos (DA 'C),(ABB'A ')

2

(DA 'C), (ABB'A ') 45

Bài 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi

AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S(0;0; 2 2) Gọi M là trung điểm của SC

1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N

Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ;

S(0;0; 2 2)

Ta có:

C( 2;0;0) ; D(0; 1;0) ; M( 1;0; 2)

SA 2;0; 2 2 ; BM   1; 1; 2

a) Gọi  là góc giữa SA và BM

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng

cos cos SA, BM

2

SA BM

 

 

30

  

Chứng minh SA và BM chéo nhau

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

[SA, BM]   ( 2 2;0; 2) ; AB ( 2;1;0) [SA, BM].AB  4 20

[SA, BM].AB 4 2 2 6 d(SA, BM)

3

8 4 [SA, AB]



  

 

b) Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dễ dàng nhận thấy: MN(ABM)(SCD)

S.ABMN S.ABM S.AMN

Trong đó:

S.ABM

1

6

   

S.AMN

1

6

   

MN / /AB / /CD N là trung điểm của SD

Toạ độ trung điểm N 0; 1; 2

2

 

SA(2;0; 2 2) ; SM( 1;0;   2) SB(0;1; 2 2) ; SM( 1;0;   2)

[SA,SM] (0;4 2;0)

S.ABM

     

     

Vậy VS.ABMNVS.ABMVS.AMN  2 (đvtt)

Bài 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C1 1 1 với

A(0; 3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B (4;0; 4)1 Tìm toạ độ các đỉnh A1;C1 Viết phương trình

mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC B )1 1 Gọi M là trung điểm của A B1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: O(0;0;0) ;

Với: A(0; 3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B (4;0; 4)1

1

1

A (0; 3; 4)

C (0;3; 4)



 

Toạ độ trung điểm M của A B1 1

M 2; 3; 4)

2

Toạ độ hai đỉnh A1;C1

Ta có: A (0; 3; 4)1  mp(Oyz)

C (0;3; 4)1 mp(Oyz)

+ Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC B )1 1

Viết phương trình mp (BCC B )1 1

Tìm bán kính của mặt cầu (S): Rd A,(BCC B ) 1 1 

Vectơ pháp tuyến của mp (BCC B )1 1 là n[BC, BB ] 1 (12; 16; 0)

Phương trình tổng quát của mp (BCC B )1 1 : (BCC B ) : 3x1 1 4y12 0

Bán kính của mặt cầu (S): R 24

5



Phương trình mặt cầu (S): (S) 2 2 2 576

: x (y 3) z

25

+ Phương trình mặt phẳng (P):

1

AM (P)

n [AM, BC ]

BC / / (P)





AM 2; ; 4

2



 



;

1

BC  ( 4;3; 4)



Vectơ pháp tuyến của (P): nP [AM, BC ] 1   ( 6; 24;12)

Phương trình mặt phẳng (P): (P) : x4y2z12 0

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí