CHUYEN DE DAI SO TO HOP

(Khi ñoåi choã 2 hoïc sinh baát kì cho nhau ta ñöôïc moät caùch xeáp môùi)... Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau, trong ñoù coù maët chöõ soá 0 nhöng khoâ[r]

Trang 1

Phần 1 BÀI TOÁN ĐẾM

1 (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)

Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 vàkhông chứa 2

2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhaulấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123

2 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)

Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốnsách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh Hỏi có bao nhiêucách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốnsách cùng môn được xếp kề nhau?

3 (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)

Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế Người

ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường

B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợpsau:

1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì kháctrường với nhau

2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trongmỗi trường hợp sau:

1 n là số chẵn

2 Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1

5 (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người tachọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số

bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnhnhau

1 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻriêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Trang 2

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếpthứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.

1 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ sốcòn là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:

1 Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

2 Các chữ số được xếp tuỳ ý

9 (ĐH Hàng hải 1999)

Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào mộtchiếc ghế dài sao cho:

1 Bạn C ngồi chính giữa

2 Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế

6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn

1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốnsách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong

ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cáchchọn?

Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh đượcchọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhaunếu:

1) phải có ít nhất là 2 nữ

2) chọn tuỳ ý

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta có thể lậpđược:

Trang 3

1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhautừng đôi một.

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khácnhau từng đôi một

3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khácnhau từng đôi một

15 (ĐH Y HN 2000)

Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Lậpmột đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toánhọc và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách?

16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000)

Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ sốtrong đó các chữ số khác nhau từng đôi một Hỏi

1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2

2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6

17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi cóbao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:

1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi sốlà một số lẻ

20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi mộtkhác nhau

1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên biđỏ

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số

bi đỏ

21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4,

5 Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng saocho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Trang 4

Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4,

5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số kháccó mặt 1 lần

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ sốcủa mỗi số là một số chẵn

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đóchữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước

25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000)

Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày, cần cử 3 ngườilàm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 ngườithường trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công?

26 (ĐH GTVT 2000)

Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có baonhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường saocho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp

27 (HV Quân y 2000)

Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhauvào một dãy 7 ô trống Hỏi:

1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnhnhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?

30 (CĐSP Nha Trang 2000)

Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 emnữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự tròchơi gồm 3 em nam và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Trang 5

Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có baonhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7học sinh nam phải đứng liền nhau.

34 (HV Chính trị quốc gia 2001)

Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam

1 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số ngườibằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1nam

35 (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu sốgồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4

36 (ĐH Huế khối ABV 2001)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ sốnào lặp lại đúng 3 lần?

37 (ĐH Huế khối DHT 2001)

Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5

em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ Hỏi cóbao nhiêu cách chọn?

Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có baonhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho

ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá

39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số5

40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?

2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu sốchẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc Hỏi cóbao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 họcsinh nữ (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cáchxếp mới)

Trang 6

43 (HV Quan hệ quốc tế 2001)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có

9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?

45 (ĐHSP HN II 2001)

Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi mộtđược lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8

46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)

Cho A là một hợp có 20 phần tử

1 Có bao nhiêu tập hợp con của A?

2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là sốchẵn?

1 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từcác chữ số 1, 2, 3, 4, 5

2 Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ cácchữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345

48 (ĐH Văn Lang 2001)

Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 họcsinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọnnếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:

1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam

2 Một học sinh nữ và một học sinh nam

ít nhất một em được chọn

51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2)

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiênmà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

Trang 7

52 (ĐH khối B 2003 dự bị 1)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiênmà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗisố là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơntổng của 3 chữ số cuối một đơn vị

53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2)

Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 emtrong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọnnhư vậy?

54 (ĐH khối D 2003 dự bị 1)

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?

55 (CĐ Sư phạm khối A 2002)

1 Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt

b) 6 đường tròn phân biệt

2 Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợpcác đường nói trên

58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)

Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm

4 chữ số khác nhau

59 (ĐH khối B 2004)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câuhỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó cóthể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhauvà nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câuhỏi dễ không ít hơn 2

60 (ĐH khối B 2005)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó vềgiúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ

61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1)

Trang 8

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàngchục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1)

Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêucách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đóphải có ít nhất 3 nữ

63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữsố 1, 5

64 (ĐH khối D 2006)

Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cầnchọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộckhông quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

65 (CĐ GTVT III khối A 2006)

Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinhkhối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A vàđúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn

66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặtđúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phânbiệt?

67 (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổngcủa tất cả các số đó

68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau Trên đường thẳng d1

cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt.Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giáclấy từ 18 điểm đã cho

BÀI GIẢI

1 (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)

Trang 9

Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.

2 Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khácnhau lấy từ A

* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123

* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài

Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n

 Tính m: Lập một số chẵn a a a a a5 4 3 2 1 gồm 5 chữ số khác nhau a

1,

a2, a3, a4, a5  A, có nghĩa là:

Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8}  có 4 cách

Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A  có A47 = 7.6.5.4 = 840 cách

Do đó: m = 4.840 = 3360

 Tính n: Lập một số chẵn 123a a2 1 bắt đầu bởi 123; a

1,a2 A; a1 ≠ a2

Lấy a1 từ {4,6,8}  có 3 cách

Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1}  có 4 cách

Do đó: n = 3.4 = 12

Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348

Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách

Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:

Nhóm sách Toán: 2! cách

Nhóm sách Văn: 4! cách

Nhóm sách Anh: 6! cách

Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách

Trang 10

Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách

2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế đểngồi

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhấttrường A: có 6 cách chọn học sinh trường B

Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinhtrường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn,v.v…

Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách

1 Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e

 {0,2,4,6}, vì là số chẵn

Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A47 = 840

Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức

Ta loại những số có dạng 0bcde Có 3 cách chọn e, và A36 cách

chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có 3.A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde.

Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài

Như thế: có 3.A74 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.

* Xem các số hình thức 0bcde Có 2 cách chọn vị trí cho 1 Chọn chữsố khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A36.

Như thế: có 2.A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde.

Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: C154 = 1365.

Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:

* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C C C2 1 14 5 6 = 180

Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720

Trang 11

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =645.

6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

1 * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách

* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách

Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài

2 * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho

2 số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách

Vậy có 2.6 = 12 cách

* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ

ở bên trái

Vậy: có 12 + 12 = 24 cách

7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0

1 Vì số tạo thành là số lẻ nên f  {1, 3, 5}

Do đó: f có 3 cách chọn

a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)

b có 4 cách chọn (trừ a và f)

c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)

d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)

e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số

2 Vì số tạo thành là số chẵn nên f  {0, 2, 4}

* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số

* Khi f  {2, 4} thì:

f có 2 cách chọn

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

d có 2 cách chọn

e có 1 cách chọn

Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số

Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn

8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

1 Gọi 11111 là số a Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5 Do đó số có

9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số

2 Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếpcác số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đươngnhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần)

Trang 12

Vậy: có tất cả 

4

9 9!

A5! = 6.7.8.9 = 3024 số.

9 (ĐH Hàng hải 1999)

1 Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách

Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách

Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu

2 Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách

Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách

Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu

* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:

Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)Có A34 khả năng chọn 3 chữ số cuối.

 Có 4.A34 = 4.4! = 96 số.

* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:

Nếu chữ số tận cùng là 0: có A34 = 24 số

Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn,có A23 = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số

Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hếtcho 5

12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000)

1 Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.Vậy số cách tặng là A69 = 60480

2 Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách

Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: A126 = 665280

Trang 13

Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: A 756 = 5040

Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: A A46 82 = 20160

Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: A A36 39 = 60480

Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600

1 Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:

* 2 nữ, 4 nam  có C C152 430 cách

hoặc * 3 nữ, 3 nam  có C C315 330 cách

hoặc * 6 nữ  có C615 cách

Vậy: có C C152 430 + C C153 330 + C C154 230 + C C515 130 + C156 cách

2 Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: C645.

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

1 Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:

abc0 hoặc abc2 hoặc abc4

* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c

 Có 5.4.3 = 60 số

* Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3cách chọn c

 Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4

Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn

2 Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5

* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b

 Có 5.4 = 20 số

* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b

 Có 4.4 = 16 số

Vậy có: 20 + 16 số cần tìm

3 Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau Khi đó{a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}

* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540

 có 4 số

Trang 14

* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phầntử  có 3! = 6 số.

Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm

15 (ĐH Y HN 2000)

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật línam là: C C C15 13 14 = 5.3.4 = 60

Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: C C13 24 = 18

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: C C32 14 = 12

Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn

16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000)

Xét số năm chữ số a a a a a1 2 3 4 5

1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp

Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có A45 = 120 cách.

Vậy có 5.120 = 600 số

2 Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có A25 cách.

Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có A34 = 24 cách.

Vậy có A25.A34 = 480 số.

17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

1 Chọn 2 nam và 3 nữ: có C C102 103 = 5400 cách.

2 Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:

* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách

* 3 nam và 2 nữ: có C C310 102 = 5400 cách

* 4 nam và 1 nữ: có C C104 110 = 2100 cách

Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách

Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số Trong cácsố có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4 Loạinày có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn

7 cách chọn chữ số hàng nghìn

7 cách chọn chữ số hàng trăm

7 cách chọn chữ số hàng chục

7 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số

Trang 15

Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó cómặt đủ các chữ số 2, 3, 4.

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho a a a a1 2 3 4 Có hai khả năng:

1 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5  {1, 3, 5, 7, 9} vàlập được 5 số có 5 chữ số a a a a a1 2 3 4 5 với tổng các chữ số là một số

20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

1 Có: C25 cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

4 13

C cách chọn ra 4 viên bi còn lại.

Vậy có: C25. 4

13

C = 7150 cách chọn

2 Có các trường hợp xảy ra:

* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng  có C C39 35 cách

* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng  có C C C29 25 42 cách

* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng  có C C C19 15 44 cách

Vậy có tất cả: C C39 35 + C C C29 25 24 + C C C19 15 44 = 3045 cách.

21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có 2 khả năng:

1 Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn  có 5!5! cách

2 Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ  có 5!5! cáchVậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ôđiền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5 Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn

2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6

Vậy có tất cả có: 8.7.6.5.C24.1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Trang 16

Số các số có 6 chữ số a a a a a a1 2 3 4 5 6 là 9.105 số

Với mỗi số có 6 chữ số a a a a a a1 2 3 4 5 6 ta lập được 5 số có 7 chữ số

1 2 3 4 5 6 7

a a a a a a a mà tổng các chữ số là một số chẵn.

Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nàonên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …,

8, 9} = T Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.Vậy số các số cần tìm là: 

5

9 9!

C5!4! = 126.

Có tất cả: C C39 26C C94 25 C C29 47 = 1260 cách

26 (ĐH GTVT 2000)

Có 2 khả năng:

* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có C C12 182

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có C C2 12 18

Vậy số chọn là: C C12 182 + 2 1

Vậy số cách xếp khác nhau là: A37.C34 = 840 cách.

2 Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanhđứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp

Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏvới nhau Số các hoán vị là 3!

Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau vàcác viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:

100008, 100017, 100035, …, 999999

Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:

Trang 17

u1 = 100017, 100035, …, un = 999999

với công sai d = 18 Do đó:

un = u1 + (n – 1)d  999999 = 100017 + (n – 1).18  n = 50000Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:

x = a a a a a a1 2 3 4 5 6

Từ giả thiết  a1  {5,6,7,8,9}, a6  {1,3,5,7,9}

Có 2 khả năng:

1 a1 lẻ:

* a1 có 6 cách chọn

* sau khi chọn a1, a6, cần chọn a a a a2 3 4 5, mỗi cách chọn ứng với

một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử

Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4.A84 = 40320 số

2 a1 chẵn:

* a a a a2 3 4 5 có A48 cách chọn

Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.A48 = 16800 số

Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm

A = 120Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chọn 3 em nam: có C39 cách

Chọn 2 em nữ: có C62 cách

Vậy có: C39.C26 = 1260 cách.

32 (ĐH An ninh khối D 2001)

Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:

Trang 18

Thế thì:

* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)

* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn C36 = 20 cách chọn vị trí

34 (HV Chính trị quốc gia 2001)

1 Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗinhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trongđó có 3 nữ và 2 nam  số cách chia là: C C36 24 = 120

2 * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: C56 = 6

* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:

4 1

6 4

C C = 60Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:

6 + 60 = 66

35 (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Giả sử số cần tìm có dạng: A = a a a a a a1 2 3 4 5 6.

+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1,

2, 3, 5, 6, 7 Vậy có A57 = 2520 số.

+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1 Vì số 4 phải cóđúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6 Khi đó các vị trí khác(không có chữ số 4) sẽ chỉ còn A46 số khác nhau Vậy trường hợp

này có 6.5.A46 = 10800 số.

Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số

36 (ĐH Huế khối ABV 2001)

 Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số

 Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:

+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a {1,2,3, ,9}  có 9 số

Trang 19

+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:

* a111 với a  {2,3,4, …,9}  có 8 số

* 1b11 với b  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* 11c1 với c  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* 111d với d  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* Số cách chọn 5 em từ 13 em là: C135 = 1287

* Số cách chọn 5 em toàn nam là: C57 = 21

* Số cách chọn 5 em toàn nữ là: C56 = 6

Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260

Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổnên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinhtrong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá Các họcsinh còn lại tạo thành tổ thứ hai

 Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:

* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

* Có C52 = 10 cách chọn 2 học sinh khá.

* Có C58 = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.

 Có: 3.10.56 = 1680 cách

 Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:

* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

* Có C35 = 10 cách chọn 3 học sinh khá.

* Có C84 = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.

 Có: 3.10.70 = 2100 cách

Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách

39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)

Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:

Trang 21

 Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:

Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 Sau đó còn 4 cách chọn vị trí chochữ số 5 Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: A35

 Số các số thu được là: 4.4.A35 = 960 số

 Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:

Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5

Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: A45

 Số các số thu được là: 5.A45 = 600 số.

Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số

40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục,

8 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số

2  Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0 Bốn chữ số đứng đầuđược chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là:

4

7

A = 840

 Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0

* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)

* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn

* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại

 Số các số tạo thành: 3.6.A36 = 2160

Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số

41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720

Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120

số các số có chứa 61 là 5! = 120Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số

42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9

Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗihọc sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vịtrí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9)

Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ

Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3! Cách xếp 6 bạn namvào 6 vị trí còn lại là 6!

Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách

43 (HV Quan hệ quốc tế 2001)

Trang 22

Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9.

Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!

Vậy tất cả có: 8! = 40320 số

44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1 Số được xét có dạng: a a a a a a1 2 3 4 5 6 Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ

a2 đến a6: có 5 cách xếp Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số đểxếp vào 5 vị trí này: có A58 cách.

Vậy tất cả có: 5.A58 = 33600 cách.

2 Số được xét có dạng: a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 .

Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có C72 cách.

Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C35 cách.

Còn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2!C28

cách

Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:

2 7

C .C35.2!C28 = 11760 số.

Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0

Đối với các số 0a a a a a a2 3 4 5 6 7 :

* Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có C26 cách.

* Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C34 cách.

* Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách

Như vậy loại này có: C26.C34.7 = 420 số.

Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số

45 (ĐHSP HN II 2001)

Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhauđôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8

Xét x = a a a a a1 2 3 4 5  X.

Nếu chọn a5 = 1 thì a a a a1 2 3 4 ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5

phần tử 3, 4, 5, 7, 8  có A54 số có chứ hàng đơn vị là 1.

Tương tự có A45 số có chứ hàng đơn vị là 3; …

 Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x  X là:

(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).A54 = 3360.

Trang 23

Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x 

1 Số tập con của A là: C020C120C220 C 2020 = 220

2 Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:

2 = 219 – 1

1 Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c {1;2;3;4;5} = E

Vì x chẵn nên c  {2;4}  có 2 cách chọn c

Với mỗi cách chọn c, có A24 cách chọn bc.

Vậy tất cả có: 2.A24 = 24 số chẵn.

2 Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}

Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số

Trang 24

* 3 nam và 2 nữ: có C C103 102 cách.

Vậy tất cả có: 2.C C10 102 3 = 10800 cách.

2 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinhnam thì có 4 trường hợp:

Vậy tất cả có: 2.C C110 104 + 2.C C102 103 = 15000 cách.

49 (ĐH Y HN 2001)

Ta xét các trường hợp sau:

1 Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6  có 3 cách chọn chữ số hàng đơnvị

a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, tacòn 5 cách chọn chữ số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàngđơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục

 Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số

b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, tacòn 6 cách chọn chữ số hàng chục

 Số các số thu được là: 3.6 = 18 số

2 Chữ số hàng đơn vị là 8:

a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm.Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàngchục

 Số các số thu được là: 6.7 = 42 số

b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục

 Số các số thu được là: 6 số

Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số

50 (ĐH khối D dự bị 1 2002)

Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là: C188 =

43758

Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:

Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khốiđều có em được chọn (số cách phải tìm)

Trang 25

Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối(lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên không có cách chọnnào mà cả 8 em thuộc cùng một khối).

Bộ phận II có thể chia thành ba loại:

 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: có C138 cách.

Vậy số cách phải tìm là: C188 – (C813 + C128 + C118 ) = 41811 cách.

51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2)

Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0,

1, (2; 3), 4, 5 Số hoán vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ sốtrường hợp phần tử 0 ở vị trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý rằng đốivới phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ đượcnhân đôi Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) =

108 số

53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2)

Có 3 khả năng:

 5 nam và 1 nữ: có C C5 15 7 cách

 4 nam và 2 nữ: có C C45 72 cách

Trang 26

 3 nam và 3 nữ: có C C35 37 cách

Vậy tất cả có: C C5 15 7 + C C45 27 + C C35 37 = 7 + 5.21 + 10.35 = 462cách

 Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì

6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số cóchữ số 0 đứng đầu) Vậy số các số loại này là: 4. 6 5

8 7

A A .Vậy tất cả có: A68 + 4. 6 5

Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là:

57 (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)

Gọi số cần tìm là: x = a a a1 2 3

Trang 27

a2 có 2 khả năng:

* a2 < 4  a2  {1, 3}  a2 có 2 cách chọn, a3 có 3 cách chọn trong 3số còn lại  Có 2.3 = 6 số

* a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4  a3 có 2 cách chọn  Có 2 số

 Có 6 + 2 = 8 số x = 2a a2 3

Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài

58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)

Số cần tìm có dạng: a a a a1 2 3 4.

Chọn a4 từ {1, 5, 9}  có 3 cách chọn

Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4}  có 3 cách chọn

Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4}  có 3 cách chọn

Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4}  có 2 cách chọn

Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài

59 (ĐH khối B 2004)

Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợpsau:

* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó  có C C C152 102 15 đề.

Vậy tất cả có:

Có C C1 43 12 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ

nhất Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứnhất, thì có C C1 42 8 cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh

thứ hai Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnhthứ nhất và tỉnh thứ hai, thì có C C1 41 4 cách phân công các thanh niên

tình nguyện về tỉnh thứ ba

Trang 28

Vậy tất cả có: C C1 43 12. 1 4

 Có 6 cách chọn a1

 Có 3! cách chọn a3, a4, a5

 Có: 6.5.6.4 = 720 số x

b) Khi a3, a4, a5  {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x

Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x

62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1)

Ta có các trường hợp:

 3 nữ và 5 nam: có C C3 55 10 = 2520 cách.

Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách

63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2)

 Cách 1: Gọi x = a a a a a1 2 3 4 5 là số cần lập.

Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: có A25 = 20 cách.

Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên

4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai

3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba

Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số

 Cách 2:

* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: có A25 = 20 cách.

* Bước 2: có A35 = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn

lại

Vậy có 20.60 = 1200 số

64 (ĐH khối D 2006)

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C124 = 495

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính nhưsau:

Trang 29

 Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh

 Số cách chọn là: C C C2 1 15 4 3 = 120

 Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:

 Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:

120 + 90 + 60 = 270

Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách

65 (CĐ GTVT III khối A 2006)

 Số cách chọn 2 học sinh khối C là: C25 = 10

 Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B Số cách chọnbất kì là: C1325 = 5200300

Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: C C15 104 9

Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là:

66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)

Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có C24 cách.

Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách

Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại: có cách

Vậy tất cả có: C24.3.A28 = 1008 số thoả yêu cầu đề bài.

67 (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)

 Gọi ab là số tự nhiên phải tìm  a ≠ 0

Do ab chẵn nên b  {0, 2, 4, 6, 8}

Có 2 trường hợp:

* Nếu b = 0 thì a  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  có 9 cách chọn a

Tiêu đề	Chuyên Đề Đại Số Tổ Hợp
Trường học	Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài Tập
Năm xuất bản	1999
Thành phố	Thành Phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	3,16 MB