Sau đó ban tổ chức chuyển một em từ nhóm thứ hai sang nhóm thứ ba để số lượng của hai nhóm này bằng nhau... Trái với đề bài.[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN KHÓ LỚP 5
PHẦN 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ
Bài 1:
Trong một hộp rỗng, ta bỏ vào 5 hộp rỗng khác nhỏ hơn Sau đó trong 5 hộp rỗng nãy, có 1 hộp ta bỏ vào 5 hộp rỗng khác nhỏ hơn nữa, và trong 4 hộp còn lại ta không
bỏ một hộp nào vào cả Cứ như vậy nhiều lần, ta gọi các hộp có chứa 5 hộp nhỏ khác
là các hộp đầy Cuối cùng đếm lại thấy có 100 hộp đầy Hỏi khi đó có bao nhiêu hộp rỗng?
Bài giải:
Lúc đầu có một hộp rỗng Sau khi bỏ thêm lần thứ nhất:
5 hộp nhỏ vào 1 hộp rỗng thì có : 1 + ( 5 - 1 ) hộp rỗng
Sau khi bỏ lần thứ hai : 5 hộp nhỏ vào một hộp rỗng thì có :1 + 2 x ( 5 - 1 ) hộp rỗng
Bỏ lần thứ 3 thì có :1 + 3 x ( 5 - 1 ) hộp rỗng
Đến lần thứ 100 thì có: 1 + 100 x ( 5 - 1 ) = 401 ( hộp rỗng )
Bài 2 Trong một buổi giao lưu Toán , một trường cử 18 em tham gia Lúc đầu ban tổ
chức chia số học sinh này thành ba nhóm trong đó nhóm thứ nhất hơn nhóm thứ hai 5
em Sau đó ban tổ chức chuyển một em từ nhóm thứ hai sang nhóm thứ ba để số lượng của hai nhóm này bằng nhau Hỏi sau khi điều chỉnh, mỗi nhóm có bao nhiêu em?
Bài giải:
Khi điều chỉnh một em từ nhóm hai sang nhóm thứ ba thì số học sinh hai nhóm bằng nhau nên khi chưa điều chỉnh thì số học sinh ở nhóm hai nhiều hơn ở nhóm ba là 2 em
Nhóm thứ nhất hơn nhóm thứ hai là 5 em nên nhóm thứ nhất hơn nhóm thứ ba là 7 em
Nếu số học sinh của nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai cũng bằng số học sinh của nhóm thứ ba thì tổng số học sinh của ba nhóm là:
18 - 2 - 7 = 9 ( học sinh )
Lúc đó,mỗi nhóm có số học sinh là : 9 : 3 = 3 ( học sinh )
Số học sinh trước khi điều chỉnh của nhóm hai là : 3 + 2 = 5 ( học sinh )
Số học sinh trước khi điều chỉnh của nhóm thứ nhất là : 5 + 5 = 10 ( học sinh )
Số học sinh của nhóm thứ nhất, thứ hai và thứ ba sau khi điều chỉnh là : 10, 4 và 4 học sinh
Bài 3 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 thì dư 5 và khi chia
cho 31 thì dư 28
Bài giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm là A; q là thương của phép chia A cho 29 và p là thương của phép chia A cho 31 Theo bài ra ta có:
A = 29 x q + 5 (1) A = 31 x p + 28 ( 2)
Từ (1) và ( 2) ta có: 29 x q + 5 = 31 x p + 28
Hồ Trung Lợi
Trang 229 x q + 5 = 29 x p + 2 x p + 28
29 x ( q - p ) = 2 x p + 23 Vì : 2 x p + 23 là số lẻ nên 29 x ( q - p ) cũng là lẻ Suy ra ( q - p ) là số tự nhiên lẻ hay ( q - p ) 1
Vì A là số tự nhiên nhỏ nhất nên A = 29 x q + 5 là số tự nhiên lẻ nhỏ nhất nên q nhỏ nhất hay q - p nhỏ nhất Từ đó suy ra q - p = 1
Vậy 29 x 1 = 2 x p + 23
29 = 2 x p + 23
2 x p = 6 suy ra p = 3
A = 31 x 3 + 28 A = 121
Bài 4 Tìm các số tự nhiên a < 201, biết rằng khi chia a cho b ta được thương là 4 và
dư 35
Bài giải:
Ta có : a = 4 x b + 35 với b > 35
b = ( a - 35 ) : 4 với a < 201
b < ( 201 - 35 ) : 4 suy ra b< 42
35 < b < 42 nên b = 36, 37, 38, 39, 40, 41
Từ đó ta tìm được a
Bài 5 Có 12 người mang theo 48 cái bánh mì, mỗi người đàn ông mang 8 cái, mỗi
người phụ nữ mang 2 cái, mỗi trẻ em mang 1 cái bánh mì Hỏi có bao nhiêu đàn ông, bao nhiêu phụ nữ, trẻ em?
Bài giải:
Số đàn ông phải ít hơn 6 người vì : 6 x 8 = 48 ( bánh mì ) vô lý với đề bài
Số đàn ông phải nhiều hơn 4 người vì: 8 x 4 = 32 ( bánh mì )
Số bánh mì còn lại là : 48 - 32 = 16 ( cái )
Số trẻ em và phụ nữ là: 12 - 4 = 8 ( người )
Thì 8 người này phải là người phụ nữ nên không có trẻ em Trái với đề bài
Vậy số người đàn ông là 5 người
Số người phụ nữ và trẻ em là 12 - 5 = 7 người
( Giải theo giả thiết tạm )
Bài 6 Tuổi của em tôi hiện nay bằng 4 lần tuổi của nó khi tuổi của anh tôi bằng tuổi
em tôi hiện nay Đến khi tuổi em tôi bằng tuổi anh tôi hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em là 51 Hỏi hiện nay em tôi, anh tôi bao nhiêu tuổi?
Giải:
Giả sử trước đây em 1 tuổi thì hiện nay em là : 1 x 4 = 4 ( tuổi )
Thì đó cũng chính là tuổi của anh ba năm về trước : 4 - 1 = 3 ( năm )
Vậy tuổi anh hiện nay là : 4 + 3 = 7 ( tuổi )
Đến khi tuổi em tôi bằng tuổi anh tôi ( 7 tuổi ) thì tuổi anh lúc đó là : 7 + 3 = 10 (tuổi ) Tổng số tuổi của hai anh em lúc này là : 7 + 10 = 17 ( tuổi )
Trang 3So với đề toán thì tổng số tuổi hai người giảm đi số lần là:
51 : 17 = 3 ( lần )
Vậy tuổi em hiện nay là: 4 x 3 = 12 ( tuổi )
Số tuổi của anh hiện nay là: 7 x 3 = 21 ( tuổi )
Bài 7 Tuổi cháu hiện nay gấp 3 lần tuổi cháu khi cô bằng tuổi cháu hiện nay Khi tuổi
cháu bằng tuổi cô hiện naythì tổng số tuổi của hai cô cháu là 96 Tìm tuổi hiện nay của mỗi người
Bài giải:
Giả sử tuổi cháu trước đây là 1 tuổi thì tuổi cháu hiện nay 1 x 3 = 3 ( tuổi ) Thì đó cũng chính là tuổi của cô 2 năm về trước
Tuổi của cô hiện nay là : 3 + 2 = 5 ( tuổi )
Đến khi tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay ( 5 tuổi ) thì tuổi cô là : 5 + 2 = 7 ( tuổi ) Tổng số tuổi hai cô cháu lúc đó là: 5 + 7 = 12 ( tuổi )
So với đề toán thì tổng số tuổi hai người giảm đi số lần là:
96 : 12 = 8 ( lần )
Vậy số tuổi của cháu hiện nay là : 3 x 8 = 24 ( tuổi )
Tuổi cô hiện nay là : 5 x 8 = 40 ( tuổi )
Bài 8 Tuổi em hiện nay gấp hai lần tuổi em khi anh bằng tuổi em hiện nay Khi tuổi
em bằng tuổi anh hiện nay thì 2 lần tuổi em lớn hơn tuổi anh lúc đó là 12 tuổi Tính tuổi của mỗi người hiện nay
Bài giải:
Giả sử tuổi em trước đây là 1 tuổi thì tuổi em hiện nay là 1 x 2 = 2 ( tuổi )
Thì đó cũng chính là tuổi anh 1 năm về trước
Tuổi anh hiện nay là : 2 + 1 = 3 ( tuổi )
Đến khi em bằng tuổi anh hiện nay ( 3 tuổi ) thì tuổi anh là : 3 + 1 = 4 ( tuổi )
Lúc này 2 lần tuổi em hơn tuổi anh là: 3 x 2 - 4 = 2 ( tuổi )
So với đề toán thì tổng số tuổi hai người giảm đi số lần là:
12 : 2 = 6 ( lần )
Tuổi em hiện nay là: 2 x 6 = 12 ( tuổi )
Tuổi anh hiện nay là: 3 x 6 = 18 ( tuổi )
PHẦN 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỪ THỰC TẾ CUỘC SỐNG
Bài 1 Tập tài liệu của cô văn thư có 20 trang để trên bàn bị gió thổi bay khắp nơi Cô
đã tìm được trong phòng các trang 1, 16, 19, 14 và trang 9 Hỏi còn lại những trang nào chưa tìm thấy?
Trang 4Bài 2 Nhà Lan ở tầng 10 Lan đi học về thì thang máy bị hỏng nên Lan đành phải leo
cầu thang để lên Lan leo đến tầng 5 thì hết 4 phút Hỏi Lan lên đến tầng 10 thì mất mấy phút? Biết tốc độ leo của Lan không thay đổi
Bài giải:
Khi Lan leo đến tầng 5 thì thực ra Lan mới leo được 4 tầng vì Lan leo lên từ tầng 1 ( 5 - 1 = 4 ) Muốn leo lên tầng 10 thì Lan phải leo : 10 - 5 = 5 ( tầng ) nữa
4 tầng mất 4 phút, vậy 5 tầng thì mất 5 phút nữa Vậy thời gian leo lên tầng 10 của Lan là 9 phút
Bài 3 Dùng hai cái chảo để rán hai mặt ba miếng thịt bò như nhau thì mất ít nhất bao
nhiêu lâu? Biết rằng rán một mặt của một miếng thịt bò mất 5 phút và mỗi cái chảo chỉ rán được một miếng thịt bò
Bài giải:
Đánh số ba miếng thịt bò lần lượt là : 1, 2, 3
Bước 1: Rán mặt trên của 1 và 2 ( 5 phút )
Bước 2: Rán mặt dưới của 1 và mặt trên của 3 ( 5 phút )
Bước 3: Rán mặt dưới của 2 và 3 ( 5 phút )
Tổng cộng : 15 phút
Bài 4 Thỏ và Rùà chạy thi trên một đường đua hình tròn Rùa sẽ chạy từ vạch xuất
phát theo đường thẳng đến đích CònThỏ sẽ chạy theo vòng tròn trở về vạch xuất phát Hỏi muốn thắng cuộc thì Thỏ với vận tốc ít nhất gấp mấy Rùa?
Bài 5 Một chiếc tàu va vào đá ngầm, nước bắt đầu tràn vào tàu làm cho nó từ từ chìm
xuống Đúng lúc đó có một chiếc thuyền trôi đến Nhưng chiếc thuyền bé quá chỉ chở tối đa được 5 nguời, đảo gần đây nhất cũng phải đi hết 4 phút Trưởng tàu quyết định:
Ở đây có 25 người mà chỉ còn 20 phút nữa tàu sẽ chìm Vì vậy ưu tiên phụ nữ và trẻ
em lên thuyền trước Hỏi có tối đa bao nhiêu người được thuyền chở lên đảo Giả sử chuyến nào cũng có người biết chèo thuyền
Bài giải:
Đến đảo mất 4 phút phải chèo thuyền, cả đi cả về là 8 phút Cứ 5 người cập đảo thì có
1 người chèo thuyền về vì vậy một chuyến chỉ có 4 người lên đảo
Khi đến lượt thứ ba tới đảo thì tàu đã chìm nên tổng cộng có :
4 + 4 + 5 = 13 ( người ) lên đảo
Bài 6 Trong hộp có 3 loại tất: đỏ, xanh, vàng; mỗi loại có 10 đôi Hỏi tối thiểu phải
lấy bao nhiêu chiếc tất để có được một đôi cùng màu?
( 4 chiếc )
Bài 7 Ngôi nhà ba tầng bị cháy, lính cứu hoả bắc thang lên tầng ba để dập lửa Khi
anh ta leo đến giữa thang, lửa bùng ra từ cửa sổ tầng hai nên phải lùi xuống 3 bậc Lúc
Trang 5lửa tạm yên, anh ta leo lên được 7 bậc Bất ngờ có viên gạch rơi xuống nên anh ta phải lùi xuống 2 bậc
May mà không sao, anh tiếp tục leo lên 8 bậc nữa thì thấy mình cách tầng trên cùng 3 bậc nữa Hỏi thang có mấy bậc?
Bài giải:
Số bậc người đó đã leo lên là: 7 + 8 = 15 ( bậc )
Số bậc người đó lùi lại: 3 + 2 = 5 ( bậc )
Thang có số bậc:
2 x ( 15 - 5 + 3 ) = 26 ( bậc )
Bài 8 Có một cái ao sen, bốn góc có 4 cây cổ thụ A, B, C, D như hình vẽ Người ta
muốn mở rộng ao gấp đôi lúc đầu mà vẫn giữ nguyên 4 cây cổ thụ Hỏi mở rộng như thế nào ? Hãy vẽ hình minh hoạ
A
D B
C
Bài giải: Ta mở rộng như sau:
A
D B
C
(Chúc các thầy cô giáo và các em học sinh đạt kết quả tốt!)