1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2011-2012 Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 03/4/2012
Câu 1 ( 2,0 điểm )
Thực hiện phép tính :
4
√3+2√2.√ √2−1+√3(x +12)√x −6 x − 8
x −√x
√x −1 −√ √2+1.√43 −2√2
Câu 2 ( 4,0 điểm )
a) Chứng minh rằng: 2139 + 3921 ⋮ 45
b) Tìm a, b thuộc N* sao cho :
1a+ 1
2 b=
2 7
Câu 3 ( 6,0 điểm )
a) Giải phương trình: √x −2+√y −1+√ z=1
2( x+ y+ z )
b) Tìm k để phương trình: x2 – ( 2 + k )x + 3k = 0 có hai nghiệm phân
biệt x1, x2, sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có cạnh huyền bằng 10.
c) Cho biểu thức: A = x√3+ y + y√3+x , với x ≥ 0 , y ≥ 0 ; x+y =
2012
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 4 ( 5,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O;R) Các đường cao AD,
BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I.
a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
b) Giả sử BAC = 600 Tính diện tích tứ giác AEOF theo R.
Câu 5 ( 3,0 điểm )
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC Một tiếp tuyến của đường
tròn (O) cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC theo thứ tự ở P và Q.
Chứng minh rằng:
a) PQ2 + AP.AQ = AP2 + AQ2
b)
¿
¿
AP
BP
+AQ
¿
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2======================= Hết =======================
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN : TOÁN 9
Năm học : 2011 – 2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN : TOÁN 9
I Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
II Đáp án:
1
(2đ)
ĐK: x 0; x 1 Biến đổi:
4
√3+2√2 √ √2− 1 = 4
√(3+2√2) (√2− 1)2=1
3
√( x+12)√x −6 x −8 = 3
√(√x −2)3=√x −2
x −√x
√x −1 −√ √2+1.√43− 2√2 = = ❑
√x −1
4
√3+2√2.√ √2−1+√3(x +12)√x −6 x − 8
x −√x
√x −1 −√ √2+1.√43 −2√2 = 1+√x − 2
0,25 0,5 0,5 0,5 0,25
2
(4đ)
a) 2139 + 3921 = 9.337739 + 9.319.1321
Vậy : 2139 + 3921 ⋮ 9
2139 + 3921 = (2139 – 1)+[ 3921 – (- 1)]
Ta có (2139 – 1) ⋮ ( 21-1) ⋮ 5 [ 3921 – (- 1)] ⋮ [ 39 –(-1)] ⋮ 5
2139 + 3921 = (2139 – 1)+[ 3921 – (- 1)] ⋮ 5 Lại có (5,9)=1 và 9.5 = 45
Vậy: 2139 + 3921 ⋮ 45
0,5
0,25 0,5 0,25
0,25 0,25 b) Tìm a, b thuộc N*; biết :
1a+ 1
2 b=
2 7
Đặt m = 2b ĐK: a , b , m ∈ N❑
, a , m>7
2;b>
7
4 (1);
ta được: 1a+1
m=
2
7
0,5
Trang 3*Giả sử : a ≤ m⇒1
a ≥
1
a ≥
2
7 ⇒a ≤ 7 (2)
Kết hợp ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : a ∈{4 ;5 ;6 ;7}
a = 4; tính được m = 28 suy ra b = 14 ( chọn )
a = 5; không tìm được b thỏa mãn đề
a = 6; không tìm được b thỏa mãn đề
a = 7; không tìm được b thỏa mãn đề
*Vai trò a và m bình đẳng như nhau khi m a ; được m = 4 ;
a = 28 suy ra : b = 2
Kết luận: a = 4 ; b = 14 hoặc a = 28 ; b = 2
0,5 0,25
0,5
0,25
3
(6đ)
a) √x −2+√y −1+√z=1
2( x+ y+ z ) ĐK: x ≥ 2 ; y ≥ 1; z ≥ 0
Biến đổi PT:
(x-2 -2 √x −2 +1)+(y-1-2 √y − 1 +1) +(z -2 √z +1) = 0
( √x −2 - 1)2 +( √y − 1 -1)2 + ( √z -1)2= 0
Tính được:(x=3;y=2;z=1)
0,25 1,0
0,5 0,25 b)
Biến đổi:
Δ>0
¿
S>0 P>0
x12+x22=102
⇔
¿(2+k )2−12 k >0
2+k >0
3 k >0 (2+k )2−2 3 k =100
⇔ ⇔
¿
¿{ { {
¿
¿ ¿
¿
⇔
¿
k >2√3+4 ¿ hoăc ¿k < −2❑
k >− 2
k > 0 k=√97 +1 ¿ hoăc ¿k =−√97+1
¿ { { {
¿ Vây k = √97+1
(Thí sinh không nêu ĐK
¿
Δ>0
S >0 P>0
¿{ {
¿
thì không chấm câu 3b)
1,0
0,5 0,5
Trang 4c)Cho A = x√3+ y + y√3+x Với x ≥ 0 , y ≥ 0 ; x+y = 2012
Tìm giá trị nhỏ nhất của A
A = x√3+ y + y√3+x − x√3 − y√3+2012√3
A = x√3+ y − x√3+ y√3+x − y√3+2012√3
A=x (√3+ y −√3)+ y (√3+x −√3)+2012√3
* Do x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; A ≥2012√3
Và do x + y = 2012 suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 2012√3
khi x = 0; y = 2012 hoặc x = 2012; y = 0
0,5 0,5
0,5 0,5
4
(5đ)
Hình vẽ
a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF:
Chứng minh các tứ giác BDIF, BDEA nội tiếp, suy ra
F ^B I=F ^ D I=E ^ D I được DI là tia phân giác của góc EDF
Tương tự được EI là tia phân giác của góc DEF
Kết luận I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác
DEF nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
1,0 0,75 0,25 0,5
b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo R
Vẽ xy là tiếp tuyến tại A của ( O )
Chứng minh các tam giác ABE và ACF đồng dạng
Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng
Chứng minh A ^ C B= A ^F E=x ^ A F , suy ra EF // xy
Chứng minh OA EF
Tính BC = R √3 , chứng minh EFBC=AE
1
⇒EF= R√3
2
Tính đúng diện tích tứ giác AEOF : SAEOF = R2√3
4
0,5 0,5 0,5
0,75 0,25
A
O I
y
x
F
E
B
Trang 5(3,0đ)
Hình vẽ
a) PQ2 + AP.AQ = AP2 + AQ2
Đặt: AP = x, AQ = y, PQ = z, AB = AC = BC = a
Kẻ QH AB Tính AH = 2y , QH = y√3
2 , HP = x- 2y Theo định Lý Pytago:
PQ2 = QH2 + HP2 = (x- 2y )2 +( y2√3 )2
Biến đổi : PQ2= x2 + y2 – xy
PQ2 + APAQ = AP2 + AQ2
0,75
0,5 0,25
b)
Biến đổi :x + y + z = 2AF = a
Từ
¿
¿
AP
BP
+AQ
¿
hay
¿
¿
x a− x
+y
a − y¿1
¿
⇔
¿
¿
x
y +z
+y
x +z¿1
¿
⇔
⇔ z2= x2 + y2 – xy ( C/m ở câu a)
0,5
0,25
0,5 0,25
H
F
Q P
O
C B
A
Trang 6======================= Hết ======================