bai tap toan cao cap a3

[r]

DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM

Câu1 : (1đ) Cho hàm số z = arctg x y chứng minh z’’xx + z’’yy= 0

1 2

'

y x x y

x y

x y





= -y

2 ) 2 2

x yy

2

( ''

) 2 (

y x

xy y

x

y x

xy xy

' 1 '

1 1 2 ' ( 2 2 ) 1.(f(x2 y2 ) 2y2f' (x2 y2 ))

y y x xyf

y x

2 '

r

x r

x r

r r r

2

' 2 1 )'

(

2 2 4

2 4

2

r

r x r

r r

x x r r

r r x r r

x

x xx

2 2 4

2

2 '' ''

r

r y x r

r y r

r x z

= 0 (đpcm )

Câu 6 : (1đ) Cho hàm số

x y x

xy y

x arctg x y

x y

x y

x arctg z y x

1 1

2 2

y x x y

x xarctg z

2 2

2 2 2

y x y x z y y y x

x y y

2 '

.

2 2

2

y

x xarctg y

y x y x x y

x xarctg

x 2

y 2 y u

z 2 z u

1 y

) A ( u

2 z

) A ( u

cos ) ( cos

) ( cos

2 2

1 2

1 2

1 2 1

A u x

T¹i TÝnh

x x ) y x ln(

2 x u

1 y

x x x u

1 0

11) 0 1

1 0

1 2 . 1 y

) A ( u

1 2

1 ) 1 ( 1

1 2

5 2

1 2

3    



Câu 9 : (1đ) Cho trường vô hướng

(gradu).

div

TÝnh

) 3 x

2 ) 3 2 ( ) 2 3 2 (

2 ) 3 2

(

x xy

xy xy

) 2 4 2 3 3 2 2 2 4 2 3 2 2 4 ( 2 2

) 2 4 2 3 3 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 3 2 2 2

u y

u

xy x x x y xy e xy xy e y x x x

y arctg F

x z

y arctg x

2 ) ( 2 2 ) ( 1

1

1 ' 2 ) ( 2

2 ) (

2 1 2 ) ( 2

1 2 ) (

1

1

x z x

z

y x z y F x z y

x z y y x

z y

y x

z

y x

) 2 ) ( 2 ( 2 ) ( 2

) 2 ) ( 2 ( 1 2 ) ( 2

1 2 ) ( 1

1

x z y y x

z y

x z y y x

z y y

x z

y x

2 2

2 2

2 2

2 2

) ( '

'

'

1 ) (

) ) ( (

) (

) ) ( ( '

' '

x z y

y

x z F

F

z

x z y

x z y y

x z y

x z y y F

x z dx

dy z dx z

) ( '

4 3

xy F

y x F d

y x

ã, Khi

2 2

Như vậy = x y dy x y dz

xy dz

x dy x

4 3

1 4

3

2 '

2 (

2

y x

x x

x

F

y e y

e F y y x e e y y x e F

) 2 4 1 2 (

1 '

' ' 2 4 1 2

) 1 ( 2 )

2 4 1 2 (

) 1 ( 2 '

'

2

y y x e F

F x y y x

y y

y x e

y e F

F

x

z z x

x x

2 )

, (

y y x e

dz dy e y dz

x dy x

x z

y z y

) 4 )(

2 0 4 2 ) 2 (

2 0 4 2 ) 4 )(

(

0 ) 2 4 (

y x x

y x

y x y x e

y e

y x

yy x

2 )

1

(

''

0 ) 2 2 4 ( ''

2 10 ) 2 ( 4 ) 4 2 2 (

0 )

2 )

1

(

2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2

z

C

e z

B e e

2 4 ((

4

4

4 4

M

z

A xx

Vậy hàm số đạt cực đại tại

) 2 , 4 ( max  ( 4 2 )( 4 2 4 ) 4 

3 2 3 '

3 2 3 '

) 1 ( 0

3 3

0 3 3

2

x y

y x x

y

y x

) 4

3 ) 2

1 )((

1 ( 0

3

y

y y

y y

3 ''

6 1 6 ''

2 2

) 1 (

) 1 (

M z C

z B

z A

yy

M xy

M xx

0

0 9 0 ) 3

)(

2

a x x b y y b y

2 ( 2

0 ) 2 ( ) ( 2 0 '

0 '

b y a x x

b y y a x y

z x z

y a x b y x o y x b

y a x

( 2

''

''

) 2 ( 2 )) 2 ( )

z

xy

z

b y y b y y

(

''

4 ) 0 )(

0 ( 4 )

yy

z

t

ab b a M

0 ( 4

yy

z

t

ab b

b a M

xy

z

s

0 2 2

3

2 3

4 ) 2 ( 2

)

(

''

0 ) )(

( 4

)

(

''

4 ) 2 ( 2

)

(

''

a a a a M

yy

z

t

b b a a M

xy

z

s

b b b b M

rt s a

a a M

yy

z

t

ab b a a M

2 4

4

16 0 ) 4 ( 0

) 2 2 ( 2 2

)

(

''

4 ) 0 )(

2 ( 4 )

) 2 2 ( 2

2 (

a a M

yy

z

t

ab b b a a M

xy

z

s

b b b

2 2 2 2 2 2 )

0 4 2

y

x y

0 4 4

xy y x y x

y x y x

(

0 ) 4 1 )(

(

xy y x xy y x

y x

 loại Với khụg  D

3 3 2 3

4 0

y x



y x

3 3 2 , 3 3 2 (

M

4 2 ''

x z

0 15 4 4

1

4 4 1

''

1

''

4 4 1

(

)

(

3 4 )

4 ln 2

14 3

4 3 ) 3

3 2 , 3

3 2 (

Z

Câu 5 : (2đ)

y x y

3 1 3 1 3 1 3 1

0 1 3

0 1

y y x x

1 , 3

1 ( 2

1 (

2

3 2 3

1

1

1 (

1 ,

3 2 3

1 (

1 (

6 ''

0 ''

3 2 3

1 6 '' ) 3

) ( 3

3 3

M yy xy

M xx

x t

z s

z r M

0 12 3 2 3 2 2

1 (

M

Tại 3)

1 ,

1 6 ) 4 ( ''

'' ''

3 2 3

1 6 ) 4 ( ''

M yy z t

yx z xy z s

M xx z r

0 12 3 2 3 2

1 ( 4

M

3 4 ) 3

1 , 3

1 (

0 y x x

2 2 )(

y x ( 0 y x

3 3

0 x

0 x 2 3 x

0 y x

0 y

* Xét A 2 , 2thay vµocùc d ¹i

* Xét B 2 , 2thay vµocùc tiÓu

Câu 7 : (2đ)

Tỡm cực trị của hàm số:

20 x

với x>0, y>0Giải: Bước 1

) 1 ( 0 0

0

2 2 2

2

20

50 20

50

y

x y

x

x

y x

y

Thay (2) vào (1) ta có

0 y y 0

y y

y y

2

5 x

ra bµi theo lo¹i

Bước 2: Tính  B 2 AC

3

4000 3

40

''

1 1

3

) 1 ( 0 2 2

3

x y

xy x

Từ (1) => x(3x-2y) =0

thay x=2/3.y vào (2) ta có

0 4 27 0

2 6 ( 2 4

2

) 1 2 2 ( 1 2 2

2 3

2 2

2 2 2

1 2 2 2 1

) 2 2 ( ) 1 ( 2

x

x xy x y x

3 2

2

2

1

2 2

0 2 2 2 2 0 '

0 '

y xy x

x xy y y

2

0 ) 1 2 2 )(

(

2 xy y x

y x y x

2

0 1 2 2

2 2

2 0

2

2

y xy x y x

y xy x y

x=y=2

Ta có: 2x 2y 1   2 22x2y2 1  3 x2y2 1 1 3 3

1 2 2

y x

=> max z=3

2 1

4 x 0

6 x 0

 2

1

1 2 3 Đổi thứ tự lấy t/phân

3

) , (

y

y

dx y x f

miền lấy t/phân D = 

1 0 : 2 ) , (

y x y

y R y x

 D được giới hạn bởi các đường

3 2

2 0 ) ,

2

2 1

dx

1 0 ) , (x y dy

 23

0 3

2

) , (

x

dy y x f dx

x R y

2 2 2

2 0 : 2 ) , (

y x y

y y x

2

2 1

1 1 1 0

y

y

dy I



dx y

0 1

y x x

a x

*Tính trực tiếp : Ta có PT đường cong là nửa trên của đường tròn :

) 0

I

dx a

x x

a a dx x a

dx a

a x a

dx a

x x a

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

a

 2 2

2

2 2

a a

a

d x

a

dx

I

2 2

2

2

) ( 1

) (

ABC ydxx xdy I1

Theo đ/lý Green với:

dy y

a x a

p x

Q

D dxdy y

2 3

R3 (sin3 cos3 )

4

t 3 cos

o ) cos (sin 3

3 R 2 o

d ) sin (cos 3

3 R 2

d ) o R

3 r ).(

sin (cos 2 I

4

tdt cos

t 2 cos

t 2 cos

dy ) 2 1

Q y

2 1

) 2 1 5 2 ln(

sin 2

cos

2 2

là vi phân toàn phần khi :

o m

 1 y

dy du

Điều kiện để biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm

số U(x,y) nào đó là với m = n =1

m

n x y

m xy

dx a x

a x

2

2

2 2

2

2 ,

2 ) 4 ( 2 ) arctgo 1 arctg ( 2

o a a

x arctg a

1 a dx 2 2 a

a o

dx 2 2 x a a

o

dx 2 2 x a

a o

a o

dx 2 2 x a dy 2 2 y a

a o

v

zdz dy dx

dz

ydy

dx

dz dy

2 2

z

y

v

Đổi qua toạ độ cầu : 

0

r o

2 2

2 0

2

r z r

z dzdx





vì U  1

z ln  '  '

thay vào ,ta được :z z cosx

1 ' 

x

d

) 4 2

x

x x d x

thay vào pt : y’’- y = f1(x) = 2

x

2  

+2Ccos2x

= (A+2C)cos2x – 2(Ax +B)sin2x

-4(A+C)sin2x –4(Ax+B)cos2x

Thay vào pt ta được :

(-4A –5C)sin2x – 5(Ax+B)cos2x

1 5 4 0 10 1

0 5 2

1 5

0 ) 5 4 (

C B A B A

C A

No riêng: y R x x sin 2x

25

2 2 cos 10

x

x

e C e

Vậy,No riêng của Pt đã cho là :

2

1 )

-Đây là PT tuyến tính cấp 2 ko thuần nhất

- PT đặc trưng tương ứng của PT tuyến tính cấp 2 thuần nhất

6

2

9

2 6

2 9

2 2

C x x

cos 1 cos

cos 1 cos ln

b.y'' yxcos2x x xcos 2x

2

2



- Đây là PT vi phân tuyến tính cấp 2 Ko thuần nhất

- Xét PT vi phân thuần nhất tương ứng :y'' y 0PT đặc trưng :k210k1 , 2  1vậy PT thuần nhất có No t/quát

= (a+2c)cos2x – 2(ax+b) sin2x

4 0

x

x

e C e

y

p

y v y

dy du ydy

2 ln

4 1 0

)

) 4

4

20

e

f

f e

y

y

y

x x

x

x

x x

.

20

) 4 1 (

x R

x e x

a.Tìm No riêng: x x

x

y

y ln ln

- Đặt:

t y t e t

'

.

' 1

t t p

1 ) 2

2 (

lnx x C y

x t

2

) 2

ln ln '

e x y

x x x x

y y

Ta tìm 1 N0 riêng của pt không t/nhất đã cho có dạng:

x a ax e y

b x a b ax e

bx ax bx ax e

x R x x

2 ) 3 ( 2 3 2

) 3 ( ''

2 ) 3 (

2 3

2

2 3

2 3

2 2 3

x

b

a

x b

1 (

C x C

) ( 1 ) (



C dx q

dx du dx

2 1

k k

pt thuần nhất có N0 t/quát y c e x c .e3x

2 2

1

1  x

R y

6 ' 5 '' )

(

k

k Q x e x f

y y y e x

f

o x x

3 ' 3

1

y

y y z y

z  

z y

1 1 0

x

P

e

f e

ax b

b

a

ax

b a x

'

y

y y

y z

2 1 2 1

x

e e C

C e e

x x

e e C

y  

7 4

9 2

1 )

e e C o

1 1 0

(

1

k k

x p ox e x

6 15

5 6 0

a b

a o b a a

x b ax a

2

1

.

k p e e

5 ) 1

x R

tq

e x

x

C

) ( '

) ( ' cos

sin ) ( ' ) 1 (

1

1 2

x tgxC

x C x

x x C

x dx

dt

dt t

t

dt t

t dt

2 2

2

x

x x

x

C

sin 1 sin 1 ln

sin 1

Như vậy,No tổng quát của Pt đã cho :y tqyy R

4 1 0

)

4 ) (

Ae

R

y

x x

Ae

R

y

x Axe

e

A

e Ax x

x R

y RVậy No t/quát của Pt:

x x

x

R

tq

e e

- Xét Pt vi phân thuần nhất tương ứng :y’’+ y = 0 Pt đặc trưng:

i k

Ta tìm 1 No riêng có dạng:

x x C

x

x

C

y R 1( ) sin  2( ) cos

theo p2 biến thiên hằng số Largrange ,C1(x) và C2(x) là No của hệ :

1 sin

x

x x

2

2 1

1

2

1

1 sin

cos

cos

) cos

sin (cos

dx dx 1 ' C 1 C

xdx

2

) (sin sin

1 1 0

4

x xe x

2 1 0 6 k 2

No t/quát của Pt thuần nhất :

x e

x x

e

e C

e

C

x

x x

2

3

2 2

x e x

t t

K

y

3 2

2 2

x e

1 1 0 2 k 2

2 C x e 1 C

nhất có dạng: yx(axb)ex(ax2bx)ex 2 ax b 2 a 

b ax 2 bx 2 ax x e

*'' y

b ax 2 bx 2 ax x e

*' y

) b a bx ax 4 2 ax ( x

x e ) 1 2

x ( x

*

1 a 2 b

; 2

1 a 0 b a 2 1 a 2 x xe

x x x

1 3 ) 1 ( ' ' 0 ) ' ' (

2 1 2 1

xC C

1 3 2 ' ) 1 ( 1'

0 2 ' 1'

2

2

2 2 2

x x xC

C

k x

2

) 1 ( 2

x

k

x

x k

) 1 ( 5 4

) 1 )(

5

6 2 (

2 1

2 1

x x k k e

x x

k k e

x x

dx z cos 1

zdz sin dx zx sin dz

x

1 z sin ' z z sin z ' xz z

Cx z Cx

2 2 ln ln

x C y

(

cot

2 cot

thay vào (2) : 3  1 

12 ) 3 1 ( 7 9 6 3

x x x x Ae

Vậy (2) có No t/quát:

x xe x

1 2

C C

C C C C

3 3

1 2

1 1

2 1 2 1

2 11 15 4

11 4

15 1 1

4

15 2

15 2

) 2 ( 2

17 3

) 1 ( 1