De LTDH 2012 giai chi tiet so 6

[r]

Trang 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20112012

Môn: Toán 12. Khối A.

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y=x3 -3x+ có đồ thị là 2 ( ) C

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) d có phương trình y= -3x + sao cho từ 2 M kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị ( ) C và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

x

2) Giải hệ phương trình:

2

+ - + - - + - + + - - +

ï

í

ï

î

( ,x y Î R )

2

1

1 ln

1

x x

+ +

=

+

ò

Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD ,đáy là hình chữ nhật có AB=3,BC = ,mặt phẳng 6

( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy,các mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) cùng tạo với mặt phẳng

( ABCD ) các góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 6 .Tính thể tích khối chóp S ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.

Câu V. (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương chứng minh bất đẳng thức sau:

+ +

B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích

bằng 22, biết rằng các đường thẳng AB,BD lần lượt có phương trình là 3x+4y + = , 1 0

2x-y - = Tìm toạ độ các đỉnh , , , 3 0 A B C D

2)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho tam giác ABC có A( 1;1;1 ,) ( B 2;3; 1 ,- ) ( C 1; 4; 4 ) .Lập

phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đi qua ba điểm , , A B C tại điểm A

Câu VIIa. ( 1,0 điểm)Tìm số phức z thoả mãn : z+ -1 2i = z+ + 3 4 i và z 2 i

z i

- + là số thuần ảo.

2. Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb. ( 2,0 điểm)1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho hình thang cân ABCDcó diện tích

bằng 18,đáy lớn CD nằm trên đường thẳng có phương trình :x-y + = Biết hai đường chéo 2 0 ,

AC BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I ( ) 3;1 Viết phương trình đường thẳng BC ,biết Ccó hoành độ âm.

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A( 3;0; 0 ,) H ( 0; 2;5 - ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A,cắt Oy Oz lần lượt tại , B và C sao cho tam giác ABCnhậnAH là đường cao.

Câu VIIb.(1,0điểm) Tính tổng S =12C12012-32C20123 +52C20125 -L +20092C20122009- 2011 2C 2012 2011

HẾT

Đề chính thức

(Đề thi gồm 01 trang)

http://kinhhoa.violet.vn

Trang 2

ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM TOÁN 12 KHỐI A (7 Trang)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3

· Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = ¡

· Sự biến thiên:

v Chiều biến thiên : 2

3 3 y' = x - x Ta có 0 1

0

x y'

x

=

é

= Û ê =

ë

v ,

y >0Ûx< Ú0 x> Û h/số đồng biến trên các khoảng 1 ( -¥; 0 & 1; ) ( +¥ )

v ,

y <0Û0<x< Û hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ( ) 0;1

v y CD = y( ) 0 =2; y CT = y ( ) 1 = 0

x

3 2 lim y lim x 1

x x

®±¥

0,25

v Bảng biến thiên:

y

0,25

· Đồ thị: cắt trục Oy tại điểm (0;2),cắt trục Oxtại các điểm( ) ( 1;0 , - 2; 0 )

0,25

2 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) d có phương trình y= -3x + 2 1,00

Gọi M a b ( ; ) là điểm cần tìm MÎ( ) d Þb= -3a + 2

Tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại điểm ( x y 0; 0 ) là ( 2 ) ( ) 3

y= x - x-x +x - x +

0,25

1

2

y

3

3 2

y= x - x +

Trang 3

Tiếp tuyến đi qua M a b ( ; )

3

2

a

Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là ( )

2

k = f = - k = f æç ö ÷ = -

è ø

Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau 1 2 1 2 40 2 10

Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là : 2 10; 2 10 2

M æç± + ö ÷

m

0,25

0,25

1

Giải phương trình : cos 11 cos 11 sin 0

x

1,00

Đặt

2 10

x

t = - p phương trình trở thành cos 2( t- p +2 ) cos( p -t) +sint = 0

cos 2t cost sint 0 cost sint cost sint 1 0

( ) ( )

cos sin 0 *

cos sin 1 0 **

t t

Û ê

+ - =

ê

6

** cos

4 2

5

é

ê

p

æ ö

p

ê

Z

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm 7 2 , 6 4 , 4

x= p+k p x= p+k p x= p +k p ( k Î Z )

0,25

0,25

2

( )

2

+ - + - - + - + + - - +

ï

í

ï

( ,x y Î R ) 1,00

Điều kiện 3, 1

x³ - y > -

Bổ đề :Với mọi a>b> Þ1 a x+a-x³b x+b- x " Î ¡ x ( ) 3 dấu bằng khi x = 0 thật vậy

Bất đẳng thức ( ) 3 ( a x b x ) 1 x1 x 0 4 ( )

a b

· Nếu

1

x x

a b

ab

ì ³

³

ï

dấu bằng khi x = 0

· Nếu

1

x x

a b

ab

ì £

£

ï

dấu bằng khi x = 0

Áp dụng :

0,25

Trang 4

( )

1 1

7 10 10 7 7

10 10 7 7

Û

( t=x- y )

10+t 10-t 7+t 7-t 3+t 3 - t

( )

10+ -x y 10- +x y 7+ -x y 7- +x y 3+ -x y 3x - + x y 5

Từ (1) và (5) dấu bằng xẩy ra Û =t x-y=0 Ûx= y thay vào phương trình (2) ta

được 4 2 2 3 8 1 4 2 6 9 2 3 2 3 1

( ) ( )

é

ê

Giải ( )

2

1

2

6

4

x

ì

³

- ³

î

4

x

Vậy hpt có hai nghiệm ( , ) 3 17 3, 17 ;( , ) 5 21 5, 21

x y =æç + + ö÷ x y = æç - - ö ÷

0,25

0,25

III

Tính tích phân : ( )

2

1

1 ln

1

x x

+ +

=

+

Biến đổi

1

+

2

1

ln ln

e

x

Tính

1

ln

1

e

x

= +

( ) 2

ln

1

dx

x

dx

dv

v

x

ì

=

ï

Þ

2

x

e

+

æ ö

Kết quả ln 1 1 1

e

I

e

+

æ ö

+

è ø

0,25

0,25

IV …Tính thể tích khối chóp S ABCD và côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD. 1,00

Hạ SH ^ AB Þ SH ^ ( ABCD ) (do ( SAB) ( ^ ABCD) = AB )

Kẻ HK ^CD Þ tứ giác HBCK là hình chữ nhật. 0,25

Trang 5

Ta thấy BC^( SAB) Þ· SBH = ( ( SBC) ( , ABCD ) )

CD^ SHK ÞSKH = SCD ABCD

theo gt SBH· · =SKH Þ DSHB= DSHK g( - -c g) ÞHB=HK=BC = 6 do đó A là

trung điểm HB Ta thấy Y ABDK là hình bình hành ÞBD/ /AK Þ BD / / ( SAK ) mà

SAÎ SAK Þd BD SA =d BD SAK =d D SAK = d H SAK = 6 h =

Do tam diện H SAK vuông tại H 12 12 12 1 2

2

6 = HS +9+36 ÞSH = ÞSH = .

(đvị dt).Gọi b là góc giữa hai đường thẳng BD và SA Þ b =( BD SA, ) ( = AK SA , )

Ta có SK =6 2 ,SA= AK = 3 5 Trong tam giác SAK

cos

SAK

AS AK

arccos

5

SAK

0,25

0,25

V Cho , , a b c là các số thực dương chứng minh bất đẳng thức sau:

+ +

1,00

ycbt Û

xa yb c xb yc a xc ya c x y

+ +

+ + + + + + + + với "x y, ³1; , ,a b c > 0

trong đó ở bai toán nay thì 6, 8

Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwars ta có

2

x y

- + - + + + +

=

ab

è ø ( x 1) a ( y 1 ) b 4ab 4 ab

Tương tự ta có:( 2 ) 2

x y

xa yb c xb yc a xc ya b

( x 1)( a b c) ( y 1)( a b c) 4 ( a b c )

( x y 2 )( a b c )

từ đó suy ra

xa yb c xb yc a xc ya c x y

+ +

Dấu bằng xẩy ra khi a=b= c

0,25

0,25

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD…. 1,00

*Điểm B=ABÇBD Þ toạ độ Blà nghiệm của hệ phương trình: 3 4 1 0

x y

+ + =

ì

Þ

í

- - =

î

0,25

Trang 6

( )

x= y= - ÛB -

1

2

22 1

1

11

2

ABD

AB AD

D

ì

=

ï

í

*Đường thẳng AB có vtpt n = r 1 ( 3; 4 )

, Đường thẳng BD có vtpt n =r 2 ( 2; 1 - )

,

( )

2 2 2

5 5

2

AD ABD

AB

Từ (1) và (2) Þ AD=11;AB = 2 (3)

* DÎBDÞD x( ; 2- x + 3 ) .Ta có ( ; ) 11 11 ( ) 4

5

x

AD=d D AB = - từ (3) và (4) suy ra

11x-11=55Þ x= Ú6 x = - 4

6;9

4; 3

AB

quaD

vtptn u

ì

ï r r

A=ADÇABÞ Aæç- ö÷Þ C æç ö ÷

4; 11

4; 3

AB

quaD

vtptn u

ï

ï r r

A=ADÇABÞ Aæç - ö÷ÞC æç- - ö ÷

0,25

0,25

2 không gian với hệ toạ độ Oxyz cho tam giác ABC có A( 1;1;1 ,) ( B 2;3; 1 ,- ) ( C 1; 4; 4 ) 1,00

Ta có uuurAB=( 1; 2; 2 ,- ) uuurAC=( 0;3;3) Þuuur uuur AB AC = Þ D 0 ABC

vuông tại A 0,25

Tâm I của đường tròn là trung điểm của BC nên 3 7 3; ; 1 5 1 ; ;

Iæç ö÷ÞAI = æç ö ÷

uur

vtpt của mặt phẳng (ABC là ) 1 , 1 ( 12; 3;3) ( 4; 1;1 )

uuur uuur

Gọi vtcp của tiếp tuyến D là 2 , 2 9; ;9 63 ( 2;1; 7 )

a AI

a n

ì ^

ï

uur

Tiếp tuyến ( )

2;1; 7

vtcpa

ï

-

7 a

Tìm số phức z thoả mãn : z+ -1 2i = z+ + 3 4 i và z 2 i

z i

- + là số thuần ảo. 1,00 Gọi số phức cần tìm là z=x+ yi x y ,( , Î ¡ ) .Theo giả thiết ta có

* z+ -1 2i = z + + 3 4 i Û x+ +1 ( y-2) i = x+ +3 ( 4 - y i )

( x 1) ( 2 y 2) 2 ( x 3) ( 2 4 y) 2 x y 5 0, 1 ( )

o,25

Trang 7

* z 2 i

z i

- + là số thuần ảo

i

2

0,25

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 2 2

12

23

3 2 0

7

x

x y

y

ì

= -

ï

- + =

Û

- + - =

ï

î

0,25

Vậy số phức 12 23

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho hình thang cân ABCDcó diện tích bằng 18 1,00

ABCD

Tam giác ICDvuông cân tại 2 ( , ) 2.3 1 2 4 2

2

I ÞIC= d I CD = - + = ÞIA =

Vì IC=ID = 4 nên toạ độ , C D là nghiệm của hệ ptrình

- + =

ï

î

.Vì x < nên C 0 C( -1;1) Þ D ( ) 3;5

0,25

Ta có ID=2IBÞIDuur= -2IBuur ÞB ( 3; 1 - )

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A( 3;0; 0 ,) H ( 0; 2;5 - ) 1,00

Gọi B( 0; ; 0 ,b ) ( C 0;0;c) ( , bc ¹ 0 ) .Ta có uuurAH = - -( 3; 2;5 ,) BCuuur =( 0;- b c ; )

( 0; 2; 5 ,) ( 0; 2; 5 )

HB= b+ - HC= c -

.

/ /

ABC

ì

Î

uuur uuur uuur uuur

0,25

29

2 5 0

5

b

c

ì

î

0,50

Suy ra pt ( ) : 1 ( ) : 29 6 15 87 0

29 29

3

2 5

2012 3 2012 5 2012 2009 2012 2011 2012

Chọn khai triển :( ) 2012 0 1 2 2 2011 2011 2012 2012

2012 2012 2012 2012 2012

1 x+ =C +C x C+ x +L +C x + C x (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được

( ) 2011 1 2 2 3 2010 2011 2011 2012

2012 1+x =C +2xC +3x C +L +2011x C + 2012 x C (2)

0,25

Trang 8

Nhân hai vế của (2) với x ta được

( ) 2011 1 2 2 3 3 2011 2011 2012 2012

2012x 1+x =xC +2x C +3x C +L +2011x C + 2012 x C (3)

Lấy dạo hàm hai vế (3) ta được

( 2011 2010 )

2 1 2 2 2 2 3 2 2010 2011 2 2011 2012

Thay x= i vào hai

vế đẳng thức trên ta được

( 2011 2010 )

2 1 2 2 2 2 3 2 2010 2011 2 2011 2012

áp dung i4k =1,i4k+1 =i i, 4k+2 = -1, i4k + 3 = - " Î ¥ i k *

( 2011 2010 )

2 1 2 2 2 2 3 2 2010 2011 2 2011 2012

( 1005 1005 )

0,25

2012.2

Lưu ý khi chấm bài:

Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.

 Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.

 Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.

 Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.

 Trong lời giải câu IV, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.

 Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Hết

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	349,79 KB