1) Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại các điểm M, N. Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.. 2) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đườ[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀNỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2012 – 2013
Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng 6 năm 2012
Thời gian làm bài: 150 phút
( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán hoặc chuyên tin)
Bài I (2,0 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì n5+5 n3−6 n chia hết cho 30
2) Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n+1)+6 không chia hết cho 3 Chứng minh rằng 2 n2
Bài II (3,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
¿
x − 2 y −2
x+1=0
x2− 4 xy+4 y2− 4
x2 + 1=0
¿ {
¿
2) Xét các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x2
+y2
+z2 =2012 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2 xy − yz −zx
Bài III (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động trên đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC
1) Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại các điểm
M, N Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
2) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BH, CH Chứng minh OA
EF
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K Chứng minh đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định
Bài IV (1,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: (x+1)( y +z )=xyz+2
Bài V (1,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bán kính 2cm Chứng minh trong số 17 điểm
khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn 1cm
-
Hết -Ghi chú : Giám thị không giải thích gì thêm