de thi vao 10 chuyen toan

Phương trình 1 có nghiệm kép khi m = 1, khi đó nghiệm kép là 1 và cũng là nghiệm của 2 Không thỏa TH2: Hai phương trình có hai nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm chung.. Từ A vẽ tiếp tuyến

Đề số 1

Thời gian: 150 phút

Bài 1

a) Chứng minh rằng nếu 3a3 b 3c  3a   thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta b c

có n a n b n c  n a  b c

x a y b z c, khi đó ta có 3 3 3 3

xy z x y z , lập phương 2

vế và phân tích nhân tử ta có: 3xyxzyz0, từ đó suy ra có ít nhất 2 trong 3 số

x, y, z bằng nhau, suy ra 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau Suy ra điều cần chứng minh

1

xx  xx  x

Hướng dẫn:Nhân 2 vế của phương trình với 2 và biến đổi phương trình như sau:

 

2 2

1 1

VN



 



KL: Phương trình vô nghiệm

c) Giải hệ phương trình :

xy x y





Hướng dẫn:Cộng 2 phương trình ta có:







Thế vào một trong hai phương trình ta sẽ tìm ra x và y

Bài 2

a) Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:  2  2 

x  x m x mx 

Hướng dẫn:

 

 

2 2

x x m x mx

x mx

 



Phương trình có 3 nghiệm khi xảy ra 1 trong hai trường hợp sau:

TH1: 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình có nghiệm kép khác

hai nghiệm của phương trình kia

Để ý phương trình (2) có – 2 < 0 nên ko thể có nghiệm kép

Phương trình (1) có nghiệm kép khi m = 1, khi đó nghiệm kép là 1 và cũng là nghiệm của

(2) (Không thỏa)

TH2: Hai phương trình có hai nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm chung

Phương trình có nghiệm chung khi m = - 2 và m = 1 Thế trực tiếp vào phương trình thì

phương chỉ có 2 nghiệm

KL: Không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

b) Cho a, b, x, y là các số thực dương thỏa a + b + x + y < 2 Nếu a  b2  x  y2 và

a   b x  y, chỉ ra rằng a = x, b = y

a x y b  y b y b  ax ax y b

2

1 4

a x y b

ax y b      , suy ra axby

Bài 3 Một tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dương và có độ lớn diện tích

bằng chu vi Tìm kích thước của tam giác vuông đó

Hướng dẫn: Gọi x, y là độ dài 2 cạnh góc vuông, ta có 2 2 *

, ,

x y x y N

Giả sử x y Ta có phương trình 2 2

2

xy

xy x y 

2

2 2

x y x y xy xy

xy x y

Bài 4 Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R Từ A vẽ

tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm) M là một điểm trên cung nhỏ

BC của (O) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC và AO lần lượt tại D, E và F

a) Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE không đổi và tính giá trị đó theo R

b) Tìm vị trí của M sao cho khoảng cách từ A đến DE là lớn nhất

c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC, ADE và AMF

thẳng hàng

Hướng dẫn:

a) Học sinh tự giải

b)Vẽ MH vuông góc DE Gọi M0 là giao của AO và (O) Vì MF là tiếp tuyến nên F thuộc

đoạn AM0 Từ đó ta có AH AF AM0 Dấu “=” xảy ra khi và khi M M0

c) Chứng minh 3 đường tròn cùng đi qua một điểm khác A Gọi N là giao điểm của (ADE)

và (ABC), ta chứng minh N thuộc (AMF) ( kí hiệu (XYZ) là đường tròn ngoại tiếp tam

giác XYZ)

Gọi K là giao điểm của (ADE)

và (ABC) Ta chứng minh tứ giác AKMF nội tiếp Ta có

 

KBD KCE g g

KE  EC  ME , suy ra KM là phân giác góc KDE

Từ đó

180

KAFKMF KAEEAFKDM MKDKAEKDE

Từ đó ta có tứ giác AKMF là nội tiếp

Bài 5 Cho n n  3điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì tạo thành một tam giác vuông

Tìm tất cả các giá trị của n

Hướng dẫn:

Với n = 3, ta chọn 3 điểm là 3 đỉnh của tam giác vuông, n = 3 thỏa đề bài

Với n = 4, ta chọn 4 điểm là 4 đỉnh của một hình chữ nhật, n = 4 thỏa đề bài

Chứng minh n > 4 thì không tồn tại n điểm thỏa đề bài

Ta chọn 2 điểm có khoảng cách là lớn nhất là A, B Khi đó các điểm còn lại cùng với 2 điểm

này tạo thành một tam giác vuông nên phải thuộc đường tròn đường kính AB Khi đó có ít

nhất 2 điểm cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB, gọi là C, D Khi đó tam giác

ACD không phải là tam giác vuông (Vô lý)

Vậy các giá trị của n là 3, 4