10 bộ đề thi vào 10 chuyên toán nguồn hoc247

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại điểm Q khác A.. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác trong mọi trường hợp luôn tồn tại

đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giác ABC PB cắt (O) tại điểm M

khác B PC cắt (O) tại điểm N khác C BM cắt AC tại điểm E, CN cắt AB tại điểm F

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại

điểm Q khác A

1 Chứng minh rằng ba điểm M, N, Q thẳng hàng

2 Giả sử AP là phân giác của góc MAN Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của BC

nhau (góc trên bên trái và góc dưới bên phải) bằng 31 quân đô-mi-nô kích thước 1  2 (các

quân đô-mi-nô có thể xoay ngang, dọc tuỳ ý)

10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

x ax  b ax  có 4 nghiệm phân biệt

3

(2) 1 4z

(3) 1

y x

Câu 3: Cho x, y, z thỏa mãn x  y z 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 1633

tiếp điểm), vẽ cát tuyến AEF (EF không đi qua O) Gọi D là điểm đối xứng của B qua O

DE, DF lần lượt cắt AO tại M và N Chứng minh rằng:

1 CEF CMN

2 OM ON

thước 1 x 1 bằng các đường thẳng song song với các cạnh của miếng giấy Người ta cắt ra

theo đường lưới 99 miếng hình vuông có kích thước 2 x 2 Chứng minh rằng, từ phần giấy

còn lại ta có thể cắt ra theo đường lưới một miếng hình vuông 2 x 2 nữa?

Đề 3:

4

x  x  x a (x là ẩn) 1.Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa

2 Với giá trị nào của a thì phương trình trên có nghiệm, khi đó, tìm x theo a

đường kính CD cắt BC tại E, BD cắt (O) tại F

1 Chứng minh ABCF nội tiếp

2 Chứng minh AFB ACB và tam giác DEC cân

3 Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H Tứ giác CEDH là hình gì ?

-Mỗi đội đều thi đấu với tất cả các đội khác

-Hai đội bất kì thì chỉ đấu với nhau đúng một lần

-Trong mỗi trận đấu, đội thắng được hai điểm, thua không được điểm, hòa thì mỗi đội một

điểm

Giải đấu kết thúc như sau: Mỗi đội đạt được một số điểm khác nhau và đội đứng cuối

thắng cả ba đội đứng đầu (thứ tự sắp xếp theo điểm) Vậy số đội bóng của giải có thể là 12

đội được hay không?

x x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Axyy z(   1) z x(  2)

1

x x A

Chứng minh rằng với mọi cách tô như thế, luôn tìm được một tam giác cân có các đỉnh

được tô cùng màu

Đề 5:

(m 1)x  2(m 1)x m  0(1)

1 Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có nghiệm kép, tính nghiệm kép ấy

2 Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt đều là số âm

là các tiếp điểm, C thuộc (O) ; D thuộc (O‟)) Qua điểm B kẻ cát tuyến song song với CD

cắt (O) tại E, cắt (O‟) tại F Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của AD và CA với EF Gọi

I là giao điểm EC với FD Chứng minh rằng :

1 CD là trung trực của đoạn BI

2 Tam giác MIN cân

3 Giả sử A cố định trên (O ;R), AB và AC là hai dây cung thay đổi của (O) thỏa mãn hệ

thức AB AC R 3 Xác định vị trí của các điểm B, C trên (O) để diện tích tam giác ABC

lớn nhất

điểm nằm trong hình vuông mà khoảng cách từ điểm đó đến 5 điểm nói trên đều lớn hơn

10

trên D kẻ các tiếp tuyến MA, MB (với A, B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của CD

1 Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp

2 Giả sử MO và AB cắt nhau tại H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác

trong mọi trường hợp luôn tồn tại 4 người đôi một quen nhau hay không ?

Đề 7:

x  m x m  m

1 Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m thay đổi

2 Định giá trị m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa: 1  x1 x2  6

Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của đường tròn tại A lần lượt tại E, F

1 Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp

2 Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF

3 Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau tại G

(khác O) Chứng minh B, A, G thẳng hàng

liên tiếp Mỗi lần cho phép lấy ra một cạnh và tăng mỗi số ở hai đỉnh thuộc cạnh đó lên

một đơn vị Hỏi bằng cách đó có thể làm cho 6 số ở 6 đỉnh lục giác bằng nhau được

không ?

Đề 8:

x  m  m  (x là ẩn)

1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

2 Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình

2

2

4a 4a

c b

mn 

AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tại D (khác A) Đường thẳng AC cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A

1 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh bốn điểm I, J, D, E cùng nằm

trên một đường tròn

2 Chứng minh HA là tia phân giác của góc EHD

3 Tìm mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với hai đường tròn nói trên

sau:

2 Định m để tổng bình phương các nghiệm bằng tích các nghiệm

3 Định m để tổng bình phương hai nghiệm đạt GTNN

cho ABAC Dựng về phía đối của tia AB hình vuông ACDE AD cắt nửa đường tròn tại

H, BH cắt DE tại K

1 Chứng minh rằng: CK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BK

2 Chứng minh ABDK

cho nhiều nhất bao nhiêu con khỉ hài lòng nếu ta có 20 quả táo, 30 quả lê, 40 quả chuối và

50 quả đào Các trái cây phải để nguyên, không được chia nhỏ

(O) thay đổi qua A và B Gọi DE là đường kính của đường tròn (O) vuông góc với AB

CD và CE cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N Khi (O) thay đổi thì hai điểm M, N di

động trên đường cố định nào?

rằng 5 đường tròn đó cùng đi qua 1 điểm

2 Vẽ đường cao CI, BJ của tam giác ABC EF cắt PQ tại G

Do các tứ giác AMEQ, ANFQ nội tiếp và QEPH là hình bình hành nên:

QAM QEP QFP QAN

       Do đó, AP là đường phân giác góc MAN

Mà FGGEBKKC K là trung điểm của BC

Nhận thấy rằng, bàn cờ có 64 ô đen trắng xen kẽ, khi mất 2 góc ta nhận được 32 ô trắng và

chỉ còn lại 30 ô đen Khi ta phủ bằng quân cờ đô-mi-nô là ta đã che đi đồng thời 1 ô trắng

và 1 ô đen Vậy ta không thể phủ kín được bàn cờ trên với 31 quân cờ

Pt (5) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu do ac 0 nên ứng với hai nghiệm u u1, 2thì có 4

nghiệm phân biệt

Câu 2: Từ hệ phương trình suy ra: x 0,y 0,z 0.

Nếu 1 trong 3 số bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0 Thử lại ta có x  y z 0 là một

nghiệm của hệ phương trình

1 1

10  1 giá trị liên tiếp từ 1 đến 5

(10  1)ta nhận được 5

(10  1)giá trị khác nhau của 2013k 1 Chia tất cả các số này cho 5

10 ta nhận được số dư thuộc tập

Tô màu như hình bên (đây là một phần của bảng đã cho) Mỗi lần cắt chỉ phạm đúng một ô

hình vuông màu (tức 4 ô vuông màu) Có tất cả: 29 1 29 1 100

hình vuông màu Sau 99 lần cắt còn lại 1 hình vuông màu, điều phải chứng minh

x x

1 Tứ giác ABCF có BAC BFC 90o( và cùng nhìn cung BC với hai góc bằng nhau)

ABCF

 là tứ giác nội tiếp

Lại có tam giác DHC vuông cân nên tam giác DEC và tam giác DCH vuông cân

Vậy CEDH là hình vuông

Tổng số điểm của 12 đội đó là: S    6 7 17 138 

Mặc khác, số trận đấu là 12.11 66

2  và tổng số điểm của 12 đội là S 66.2 132 138   , vô lí Vậy số đội bóng không thể là 12

m m

x x

Do đa giác đều có 7 điểm là số lẻ nên khi tô màu các đỉnh bằng hai màu xanh và đỏ thì

không thể xảy ra trường hợp các màu xen kẽ Luôn tồn tại ít nhất hai đỉnh có cùng màu

(giả sử xanh)

Xét 4 điểm G, A, B, C (như hình) Giả sử A và B được tô màu xanh

-Điểm G hoặc C đều màu xanh xem như bài toán đã được chứng minh

-Điểm G và C cùng màu đỏ, ta xét thêm điểm E

+Nếu E được tô màu xanh, ta có tam giác ABE thỏa yêu cầu bài toán

+Nếu E được tô màu đỏ, ta có tam giác ECG thỏa yêu cầu bài toán

Vậy, luôn tồn tại tam giác cân cùng màu theo ycbt

Mặc khác, ta có 2 2 2 2 2 2 2

(x y z)  (x y z )(1   1 1 )  9 Vậy x  y z 3

 CD là đường trung trực của BI

2 Vì CD là đường trung trực của BI nên CD BI

Từ các điều trên suy ra tam giác MIN cân tại I

OI  nên dễ tính được BOC 120o BAC 60o

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi tam giác ABC đều

Câu 6:

Giả sử hình vuông đã cho là ABCD Gọi H, K là trung điểm của AB và CD Lấy M, N trên

đoạn HK sao cho HM KN 8 Xét 6 đường trong tâm A, B, C, D, M, N bán kính 10, dễ

thấy các đường tròn này không có điểm chung Vì chỉ có 5 điểm nên tồn tại một đường

tròn không chứa điểm nào trong 5 điểm đã cho Gọi O là tâm của đường tròn, khi đó, O

thỏa mãn yêu cầu bài toán

2 0 0

m P

Do đó M, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn đường kính MO

Vậy tứ giác MAIB nội tiếp

D

MA MC MAC M A MAC M A g g

 cân tại M có MO là phân giác

Vậy MO cũng là đường cao

Áp dụng hệ thức cạnh và góc cho tam giác vuông MAO, ta có:

người sao cho: Mỗi người trong mỗi nhóm chỉ quen những người trong các nhóm khác

Theo nguyên tắc Dirichlet thì 4 người bất kì luôn có 2 người chung 1 nhóm, và 2 người

này không quen nhau Vậy, không tồn tại yêu cầu bài toán

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m thay đổi

2  3 Hai nghiệm của phương trình là:

Vậy tứ giác CDFE nội tiếp

2 B thuộc đường tròn đường kính

Đẳng thức xảy ra khi hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau

3 Tứ giác ODFG nội tiếp

C 180

o o

Câu 6: Gọi lục giác đã cho là ABCDEF, xếp theo thứ tự kim đồng hồ 6 số ghi trên các

đỉnh đó lần lượt là a a,  2,a 4,a 6,a 8,a 10 Gọi S n( ) là tổng các số ghi trên các đỉnh A,

C, E Gọi T n( ) là tổng các số ghi trên các đỉnh B, D, F

2 2

c b

Câu 4: Nếu z 0 thì vế phải là số lẻ, vế trái buộc phải có x 0, thay vào thấy vô lý

Nếu z 0 thì 2018x  2017y 1 Vì vế phải chia 4 dư 2 nên vế trái cũng chia 4 dư 2

1

x

  (vì nếu x 1 thì vế trái chia hết cho 4)

Vậy nghiệm của hệ trên là x y 1;z 0

Vậy HA là đường phân giác của góc DHE

3 DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn thì ta có:

Vậy tam giác ABC cân tại A thì DE tiếp xúc với hai đường tròn đường kính AB và AC

1-Loại gồm 1 ô trắng và 3 ô đen

2-Loại gồm 1 ô đen và 3 ô trắng

Giả sử có thể phủ được bằng x miếng loại 1 và y miếng loại 2 ( ;x y ) Ta có:

Vậy m 2 thỏa ycbt

3.Theo đề, tổng bình phương các nghiệm là 2 2 2 2

S  P m  m m  m  m  m 2

Dấu “=” xảy ra khi m 2

Vậy GTNN của biểu thức đề bài yêu cầu là 0 khi m 2

x   x x  xĐiều kiện để phương trình có nghiệm: 2  x 4

Vậy pt trên nhận nghiệm duy nhất x 3

 vuông cân tại C CKBC

Vậy CK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

2 Xét hai tam giác vuông ABC và DKC, ta có:

Câu 6: Tổng số trái cây là 20 30 40 50 140     Nếu chia cho 3 ta được 46 và dư 2 quả

Nhưng thực tế ta không thể làm cho 46 con khỉ hài lòng được, mà chỉ có thể làm tối đa 45

con khỉ hài lòng

Cách chứng minh như sau: Ta để sang một bên 50 quả đào Còn lại 90 quả táo, lê, chuối

Muốn một con khỉ hài lòng, ta phải cho nó ăn ít nhất 2 quả trong 90 quả này Suy ra, số

con khỉ hài lòng không vượt quá 90 : 2 = 45

Ta có thể chỉ ra 1 cách để đạt được con số 45 này, như sau:

Nhóm 1 có 5 con, mỗi con ăn 1 quả táo, 1 quả lê, 1 quả đào

Nhóm 2 có 15 con, mỗi con ăn 1 quả táo, 1 quả chuối, 1 quả đào

Nhóm 3 có 25 con, mỗi con ăn 1 quả lê, 1 quả chuối, 1 quả đào

Tổng cộng ta dùng 5 15   20 quả táo, 5 25 30   quả lê, 15 25   40 quả chuối,

5 15 25    45 quả đào và làm cho 5 15 25   con khỉ hài lòng Ta thừa 5 quả đào

Gọi K là trung điểm của AB, dễ chứng minh được K cũng thuộc đường kính DE

Vẽ đường thằng vuông góc với CD tại M, cắt CA tại I

không đổi nên I cố định

M nhìn cạnh CI bằng một góc vuông nên M thuộc đường tròn đường kính CI cố định

Tương tự chứng minh được N nhìn cạnh CI cũng một góc vuông

Vậy (O) thay đổi thì M và N di động trên đường tròn đường kính CI CA CB.

CK

Câu 6: Gọi 5 đường tròn đã cho là (O ), (O ), (O ), (O ), (O )1 2 3 4 5 và giả sử chúng không đi qua

cùng 1 điểm Theo giả thiết bốn đường tròn (O ), (O ), (O ), (O )1 2 3 5 cùng đi qua điểm A; bốn

đường tròn (O ), (O ), (O ), (O )1 3 4 5 cùng đi qua điểm B; bốn đường tròn (O ), (O ), (O ), (O )1 2 4 5 cùng

đi qua điểm C Khi đó, (O )1 và (O )5 có chung 3 điểm A, B, C Vì 5 đường tròn đã cho

không có điểm chung nên A, B, C đôi một khác nhau Tức là (O )  (O ) điều này vô lí

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi

vào lớp 10 các trường chuyên

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247