Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐTThanhhoá
Môn Thi : TOÁN 2
Câu 1: ( 2,0 điểm)
Cho hàm số y x 3 2(m1)x29x 2 m (1)
1) Với m 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2)
Tìm m (m ) để hàm số (1) đạt cực trị tại x x1, 2thoả mãn 1 2
2
x x
Câu 2: (2,0 điểm)
3 cos 2 - sinx x cosx 2sinx1 0
2) Giải phương trình
1
2
x x x
Câu 3: (1,0 điểm)
Tính tích phân
2
2 6
cos I
x dx
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên
(A’B’C’) trùng với trọng tâm G của A’B’C’ và
3 2
a
AG
Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu 5: (1,0 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x4y 20 0, d2: 4x 3y10 0
Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua A (1; 3), tiếp xúc với d1 và có tâm nằm trên d2
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S), 2 đường thẳng d d1, 2 có phương trình (S):
x y z x y z
3
1 2
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d d1, 2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng 3
Câu 7: ( 1,0 điểm).
Cho z z1, 2
là hai nghiệm phức của phương trình
2 2 2 0
z z Tính
2010 2010
A z z
Câu 8: (1,0 điểm)
Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn
3
x y z
Trang 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
P xy yz xz
x y z
………….………Hết………
Chúc các em thành công !
Môn Thi : TOÁN ; 3
Câu 1: ( 2,0 điểm)
Cho hàm số
1
x y x
có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m (m ) để đường thẳng y x m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 4
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình
3 cos 2x2cosx sinx1 0
2) Giải phương trình
2
2
x
Câu 3: (1,0 điểm)
Tính tích phân
1 0
2 I
1
x dx x
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của A’B’C’ Cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu 5: (1,0 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x4y 20 0, d x y2: 1 0
Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) có bán kính R=5, tiếp xúc với d1và có tâm nằm trên d2
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình
(S):
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) bằng 3
Câu 7: ( 1,0 điểm).
Cho số phức z thoả mãn 1 i 3z 4i
Tính z2010
Câu 8: (1,0 điểm)
Trang 3Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn
3
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√ 3
√ 15 2
dt
4 −t2
………….………Hết………
Híng dÉn chÊm
Câu1
(2,0đ)
1)1,0 đ
1)
m y x x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 6 2 9 2
y x x x
1 Tập xác định: D
2 Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cựccủa hàm số.
2 3
lim
x
x
x x x y
* Lập bảng biến thiên
0,25
* Lập bảng biến thiên
bảng biến thiên
x - 1 3 +
y’ + 0 - 0 +
y
2 +
- -2
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;1) và (3;+ )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Hàm số đạt cực đại tại x=1 =>ycđ=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=3=>yct=-2
0.25
3 Đồ thị
-Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=2;x=2 3
0,25
Trang 4Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;0) làm tâm đối xứng
3 2 1
-2
2 x
y O
2)1,0đ
2)Ta có
2
y x m x
y’ là tam thức bậc hai nên hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 khi và chỉ khi y’có hai
nghiệm phân biệt
2
3 3 1 2
3 3 1 2
m m
m
0,25
Theo viét 1 2 1 2
3
m
x x x x
Khi đó
2
9
m
0,25
4
m m
m
0,25
Câu 2:
3 cos 2 - sinx x cosx 2sinx1 0
0,25
sin 2 cosx 3 cos 2 sinx 3 sin cosx 6 cos sinx 6
sin(2 ) sin( )
0,25
Trang 5
k
0,25
2
k k x
KL
0,25
1)1,0đ
2)Giải phương trình
1
2
x x x
(1) ĐKXĐ:x>0
2
0,25
2
2
0,25
Đặt t=log2x (1) trở thành
2
t
t t
t
0,25
t=1 ta có log2x=1 x=2
t=2 ta có log2x=2 x=4
kết hợp với ĐKXĐ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4
0,25
Câu 3:
(1,0đ)
Tính tích phân:
I
Đặt t = 3 cos 2x t2 3 cos2 x 2tdt 2sinxcosxdx
0,25
2
s inx cos
4
dx
t
Đổi cận
15
x t
3
2
x t
0,25
I =
√ 3
√ 15 2
dt
4 −t2 =
1
t+2
(¿− 1
t − 2)dt
1
√ 3
√ 15 2
¿
= 1
4ln|t −2 t+ 2|¿√3
√ 15 2
0,25
Trang 6= 14(ln| √15+4
√15 −4|− ln| √3+2
Câu 4:
(1,0đ)
H
G
M'
M
C'
B' A'
C
B A
a
gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC,B’C’ A’,G’,M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình
hành A’M’ B’C’, AGB’C’ B’C’(AA’M’M) góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là
góc giữa A’M’ và MM’ bằng M MA ' 600
0,25
đặt x=AB
ABC đều cạnh x có AM là đường cao
AM A M A G AM
TrongAA’G vuông có AG = A’Gtan600 = x;
3 2
a x
0,25
diện tích ABC là
ABC
thể tích khối lăng trụ là
' ' '
.
Câu 5:
(1,0đ) d2 đi qua M(4;2) và có vectơ chỉ phương u 3; 4
nên có phương trình tham số là
4 3
2 4
t
Giả sử I(4 3 ; 2 4 ) t t d2
là tâm và R là bán kính của đường tròn (C)
0,25
Vì (C) đi qua A(1;-3) và tiếp xúc với d1nên
1
( , )
IA d I d R
3(4 3 ) 4(2 4 ) 20
IA d I d t t t
0,25
29
t I R IA
ta được phương trình đường tròn
0,25
Trang 7
:
C x y
Câu 6:
(1,0đ)
(S):x2y2z2 4x 4y2z16 0
3
1 2
(S) có tâm I(2;2;-1) bán kính R=5
1
d đi qua điểm M1 (1;-1;1) có véc tơ chỉ phương là u 1 ( 1;4;1)
2
d đi qua điểm M2(3;0; 1) có véc tơ chỉ phương là u 2 (1;2;2)
4 1 1 1 1 4
1 2 2 2 2 1 1 2
[ , ]u u ; ; (6;3; 6) 3(2;1; 2)
0,25
Gọi (P) là mặt phẳng song song với d d1, 2 (P) nhận 1 2
1 [ , ]=(2;1;-2)
làm véc tơ phép tuyến
phương trình của (P):2x y 2z D 0
( ,( )) 3
3
D
0,25
1
17
D D
D
D=3 phương trình của (P1):2x y 2z 1 0
D=-15 phương trình của (P2):2x y 2z17 0
0,25
ta thấy M1,M2 không thuôc ( )P2 nên ( )P2 thoả mãn đề bài
1(1; 1;1)
M nằm trên ( )P1 nên ( )P1 chứa d1 ( )P1 :2x y 2z 1 0 loại
Vậy phương trình của (P) thoả mãn đề bài là2x y 2z17 0
0,25
Câu 7:
(1,0đ) Xét phương trình
z z
(1)có =-1<0 nên (1) có 2 nghiệm phức là
1 2
1 1
0,25
z i i i i i
0,25
Tương tự
2010 1005
0,25
2010 2010 1005 1005
Câu 8:
(1,0đ)
Đặt
Ta có
0,25
Trang 8
2
3 4
3
A t
t
Xét hàm số
2 3 4 ( )
3
f t t
t
trên
2 3
;2 3
3
3
t
Hàm số f(t) đồng biến trên
2 3
;2 3
do đó
25
6
f t f Dấu đẳng thức xảy ra khi t=2
0,5
Do đó
25
6
A
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
2
x y z
x y z
Vậy giá trị lớn nhất của A là
25 6
0,25