Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2007 - 2008
Đề chính thức
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A =5 5
b/ Chứng minh đẳng thức:
a b a b với a ≥ 0; b ≥ 0 và a ≠b
Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0
Bài 3: (2 điểm)
Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian
cả đi và về hết 11 giờ Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và C) Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM Chứng minh rằng:
a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất
Bài 5: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
Trang 2GỢI Ý
Bài 1: (2 điểm)
5
b/ Với a ≥ 0; b ≥ 0 và a ≠ b, ta có
Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0
Ta có: = 32 – 4.(–108) = 441 > 0
Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 3 21 9
2
2
Bài 3: (2 điểm)
Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2)
Thời gian ca nô lúc xuôi dòng là: 120
x2(giờ) Thời gian của ca nô lúc ngước dòng là 120
x2( giờ)
Ta có pt: 120
x2+
120
x2= 11
120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)
11x2 – 240x – 44 = 0
Có ’ = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > 0 '= 122
Do đó x1 = 2
11
(loại); x2 = 22 (thỏa mãn) Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h
Bài 4: (3,5 điểm)
a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn
Ta có: APM= AHM=AQM= 900
Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường
tròn đường kính AM
b/ Tứ giác OPHQ là hình gì?
Vì O là trung điểm AM nên O là tâm đường tròn
đường kính AM
OP = OH = OQ
Mặt khác, xét đường tròn đường kính AM:
POH=HOQ= 600
(=2.PAH)
A
P
Q O
Trang 3OPH và OHQ là các tam giác đều bằng nhau
OP = PH = HQ = OQ Do đó tứ giác OPHQ là hình thoi
c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ
Ta có: PQ = OQ 3 = OM 3 = AM 3
2
PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM vuông góc BC M trùng H
Vậy M trùng H thì PQ có độ dài nhỏ nhất
Bài 5: (1 điểm)
Đặt a t
b Do a > 0, b > 0 nên t > 0
Khi đó BĐT
(2t2 + 3)(2 + 3t3)(t + 1) + (2 + 3t2)(2t3 + 3)(t + 1) ≤ 4(2t3 + 3)(2 + 3t3)
(t + 1)(12t5 + 13t3 + 13t2 + 12) ≤ 4 (6t6 + 13t3 + 6)
12 (t6 – t5 – t + 1) – 13t2(t2 – 12t + 1) 0
12 (t – 1)2 (t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2 (t – 1)2 0
(t – 1)2 [12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2)] 0 (2)
Ta có: 12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2) = 12t4 + 12t(t – 1)2 + 23t2 + 12 > 0, t > 0
Do đó BĐT (2) đúng với mọi t > 0
Suy ra BĐT (1) đúng với mọi a, b > 0
Dấu “=” xảy ra t = 1 a = b