Vậy ta có điều phải chứng minh.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM
2020
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.
a) Giải hệ phương trình: ( )
2 2
3 2
7
ìï + + = ïí
-ïî
b) Giải phương trình: 11 5- x+8 2x- =1 24 3 5+ ( - x) (2x- 1 )
Câu 2.
a) Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn: x y2 2- 16xy+99=9x2+36y2+13x+26 y
b) Với ,a b là những số thực dương thỏa mãn:
2£ 2a+3b£ và 5 2 2
8a+12b£ 2a +3b +5ab+10
Chứng minh rằng: 3a2+8b2+10ab£ 21.
Câu 3
Cho tam giác ABC có ·BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn ( )O
Điểm D
thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của BAC Lấy các điểm ,· . M N thuoocj ( )O sao cho các đường thẳng
CM và BN cùng song song với đường thẳng AD
a) Chứng minh rằng AM =AN.
b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng AC AB lần lượt là , , E F Chứng minh rằng bốn
điểm , , ,B C E F cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi ,P Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM AN Chứng minh rằng các đường thẳng, ,
EQ FP và AD dồng quy.
Câu 4.
Với , ,a b c là những số thực dương thỏa mãn a b c+ + =3. Chứng minh rằng:
…Hết…
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1
a) Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
3 2
2 0
é = ê Û
ê = = ë
Ta có: x= = không thỏa hệ.y 0
Với x=2 ,y ta có:
1
y y
y
é = ê
= Û
ê =-ë Với y= ta có: 1, x=2
Với y=- 1, ta có: x=- 2.
Vậy hệ cho có hai nghiệm (x y; ) (= - 2; 1 , 2;1 - ) ( )
b) Điều kiện:
1
5
2£ £x
Đặt a= 5- x b, = 2x- với ,1 a b³ 0 và 2 2
2a + =b 9
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2
3
a b
a b
é + = ê
Û
ê + = ë Trường hợp 2a b+ =5 kết hợp với 2a2+b2= ta có: 9, 2a2+ -(5 2a)2= Û9 (a- 2 3)( a- 4)=0
Với a= ta có: 2, x=1. Với
4 , 3
ta có:
2 9
x=
Trường hợp a b+ =3 kết hợp với 2a2+b2= ta có: 9, 2a2+ -(3 a)2 = Û9 a a( - 2)=0
Trang 3Với a= ta có: 2, x=1. Với a= ta có: 0, x=5.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
2
9
Câu 2.
a) Phương trình tương đương:
Đặt x+2y= ta có: a, 9a2+13a+ là số chính phương với 1 a>0
3a+1 <9a +13a+ <1 3a+3 , do đó 2 ( )2
9a +13a+ =1 3a+2 Û a=3
Với a= ta có 3,
1
1
xy
íï = ïî Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất (x y; ) ( )= 1;1
8a+12b£ 2a +3b +5ab+10Û 4 2a+3b £ 2a+3b a b+ +10 1
Đặt x=2a+3 ,b y= + với 2a b £ £x 5. Ta có: ( )1 trở thành: 4x£ xy+10Û 2y+ ³5x 2.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x2- y2£ 21Û x2+ £4 y2+25.
Ta có:
2 2
2
y
+ = çç + ÷+ çç- ÷÷³ çç + ÷÷+ çç- ÷÷³ + çç- ÷÷
÷
Ta cần chứng minh:
2 2
4
x
æ ö÷ ç
+ ççè- ÷÷ø³ + Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
x - x + £ Û x- x+ x- x+ £
Bất đẳng thức cuối đúng do 2£ £x 5.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=5, y= hay 2 a= =b 1
Vậy ta có điều phải chứng minh
Câu 3.
Trang 4a) Do BN và CM cùng song song với AD kết hợp với AD là phân giác BAC ta có:· ,
Suy ra: ·NBC=·ACM hay »AN=¼AM Þ AN=AM.
b) Ta có:
Do đó BCEF là tứ giác nội tiếp
c) Gọi S là giao điểm của EQ và AD K là giao điểm của AD và , EF
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ANK có cát tuyến ESQ ta có: ,
1
QA EN SK
EN SK
do Q là trung điểm AN.
Gọi S¢ là giao điểm của FP và AD.
Tương tự áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMK có cát tuyến PS F¢ ta được: , S K S A FM FK .
¢
=
¢
Ta cần chứng minh
Thật vậy, theo định lý Tales, ta có:
Trang 5
Suy ra: .
+
+
Từ đó ta có: .
¢
=
¢
Suy ra Sº S¢ hay EQ FP và AD đồng quy.,
Câu 4.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:
ab bc ca
÷
+ +
Ta cần chứng minh:
2 2 2
3
2
ab bc ca
+ + Thật áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với a b c+ + = ta có:3,
a b c
+ + Suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy khi và chỉ khi a= = =b c 1.