Lưu ý : Thí sinh có thể bỏ qua một vài bước trung gian (đơn giản) thì vẫn đạt điểm tối da Thí sinh có lời giải khác nhưng đúng thì vẫn đạt điểm tối đa.[r]
Trang 1PHÒNG GD – ĐT ĐỨC CƠ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: (2009 – 2010)
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
ĐỀ BÀI Bài 1 (3 điểm):
Tìm n Z sao cho: n2 n 17 là bội của n +5
Bài 2 (2 điểm):
Cho a > 0, b > 0 thoả mãn: 2a2
+ 2b2
= 5ab
Tính giá trị của biểu thức: A =
a b
a b
Bài 3 (4 điểm):
a) Vẽ đồ thị hàm số: y = 3 - x2 2x1
b) Giải phương trình: x =
1
x
Bài 4 (3 điểm):
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh: abc(
1 1 1
Bài 5 (2 điểm):
Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:
100
3
x y z
z
x y
Bài 6 (6 điểm):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Một điểm C nằm trên đường tròn (C khác
A, B) Tiếp tuyến Cx của đường tròn (O; R) cắt AB tại I Đường phân của góc I cắt OC tại điểm O’
a) Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA,CB với đường tròn (O’; O’C) Chứng minh: D, O’, E thẳng hàng
b) Chứng minh IC2 = IA IB
c) Tìm vị trí của điểm C sao cho AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OCI
- Hết
-(I)
Trang 2PH ÒNG GD- ĐT ĐỨC CƠ ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: (2009 – 2010)
Môn: TOÁN Bài 1 (3 điểm):
Ta có: n2 + n - 17 là bội của n + 5 => (n2+ n17) (n5)……… 0,25đ
Xét phép tính:
n
Để (n2
+ n - 17) (n + 5) thì
3 5
=> (n + 5) Ư(3) => (n + 5) { 1; 3}……… 0,25đ
+ Với n + 5 = -1 => n = - 6 ……… 0,25đ
+ Với n + 5 = 1 => n = - 4 ………0,25đ
+ Với n + 5 = -3 => n = - 8 ……… 0,25đ
+ Với n + 5 = 3 => n = -2 ……….………0,25đ
Vậy, ta tìm được.n = - 6; n = - 4; n =- 8; n = - 2 ……….0,25đ
Bài 2 (2 điểm):
Ta có: A =
a b
a b
Bình phương hai vế ta được:
A2 =
2
a b
2 2
=đ
=
A =
1 3
Bài 3 (4 điểm):
a) y = 3 -
2 1 2 3 ( 1)2
4
2
x x
Nếu x < 1
Vẽ đường thẳng (d1): y = - x + 4 với x 1
Và đường (d2): y = x + 2 với x < 1 ta được đồ thị: Hình (P) y
Đồ thị đúng 1 điểm, mỗi nhánh 0,5 điểm
3 _
2 _
1 _
I I I I I I x
-2 -1 0 1 2 3 4
Nếu x 1
(d2)
Trang 3
b) Điều kiện :
x -
1
x 0
1 -
1
x 0
Xét hai trường hợp:
* x -1 vế trái của phương trình âm còn vế phải không âm
Phương trình vô nghiệm……… 0,25đ
* x 1 phương trình x =
1
x
1
1
x
x
=
1
x x
……… 0,25đ
2 1 1
x
x
1
x2 - 2x
1 1
x
+ 1 - x = 0
x
x(x - 1) – 2
2
x x
x(x - 1) – 2 x x ( 1) + 1 = 0 ( x x ( 1) 1) 2= 0……… 0,25đ
x x ( 1) = 1 ……… 0,25đ
x2 – x – 1 = 0 x =
2
Bài 4 (3 điểm): Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 … 0,25đ
Ta có:
2
2
2
(cộng vế theo vế)……… 0,5đ
(d1)
x1
x -1
Trang 41 1 1 1 1 1
= a b c (nhân 2 vế với abc) ……0,5đ
Bài 5 (2 điểm):
15 9 300
x y z
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được: 14 x +8 y = 200
4y = 100 – 7x
y =
100 7
25 2
x
……… 0,25đ
x
……….0,25đ
25 7 0
25
7
t
……… 0,25đ Khi t = 1 x = 4, y = 18, x = 78
Khi t = 2 x = 8, y = 11, z = 81
Khi t = 3 x = 12, y = 4, z = 84 ……….0,5đ Vậy nghiệm nguyên dương của hệ phương trình là:
(x; y; z) {( 4; 8; 78); ( 8; 11; 81); ( 12; 4; 84)}……….0,25đ
C
Bài 6 (6 điểm):
Vẽ hình đúng được 0,5đ D O’ E
A
O B K I X
a) AB là đường kính của (O, 2
AB
)
b) Xét ACI và CBI
có: A ICB (cùng bằng
1
I chung
IC IB ….………0,5đ
IA IB = IC2
(đpcm) ……… 0,5đ c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OIC, OIC 900 nên K là trung điểm của OI 0,25đ
Để AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OIC thì AC CK ……….0,25đ
(1) (I)
Trang 5Mà ACO A ICB ICK ICB K B ……… 0,5đ
KC =
1
2 OI = OB = R
Vậy, điểm C nằm trên đường tròn sao cho BC = R thì AC là tiếp tuyến của đường tròn
Lưu ý: Thí sinh có thể bỏ qua một vài bước trung gian (đơn giản) thì vẫn đạt điểm tối da
Thí sinh có lời giải khác nhưng đúng thì vẫn đạt điểm tối đa