Xác suất cơ sở qua các ví dụ

LỜI M ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HUỲNH THỊ KIM PHƯỢNG

XÁC SUẤT CƠ SỞ QUA CÁC VÍ DỤ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

LỜI M ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Hu nh Th Kim Ph ng

M LỤ

MỞ U 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên c u 2

3 Đối t ng và ph m vi nghiên c u 2

4 Ph ng pháp nghiên c ngh a khoa h c và th c tiễn c a đề tài 3

ấu trúc của luận văn 3

ƯƠNG 1 : K T QU I C 4

1.1 PHÂN PH I U 4

1.2 XÁ SU T ĐI U KI N NH LÝ B S P P TH ĐỘ LẬP

C ỨC Ừ ÀI TOÁN LÁ PHIẾU 12

1.4 BIẾN NGẪU NHI KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌ ĐI I G I I C O VÀ HÌNH H HÀM SINH XÁ SU T HÀM SINH MOM VÀ HÀM TR NG 25

1.6 B T NG TH BYS VÀ MARKOV B T NG TH J S LU T S L N VÀ NH LÝ DE MOIVR -LAPLA 35

1.7 QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH 42

CHƯƠNG 2 : K T QU LI N TỤC 47

2.1 PHÂN PH I U HÀM M T ĐỘ XÁ SUẤT BIẾN NGẪU NHI ĐỘ LẬP 47

2.2 KỲ VỌNG, KỲ VỌ ĐI I ÀM SINH HÀM TR NG 56

2.3 PHÂN PH I HU N S HỘI TỤ ỦA BIẾN NGẪU NHI VÀ PHÂN PHỐI NH LÝ GI I H N TRUNG TÂM

T I THAM 78

Q T ĐỊNH GI O ĐỀ T I LUẬN ĂN (BẢN AO)

lý thuy t xác suất trong cu c s ng h ng ngày ó là vi c xác nh r i ro và

trong buôn bán hàng hóa hính ph c ng áp d ng các ph ng pháp xác suất

i u ti t môi tr ng hay còn g i là phân tích đường lối Lý thuy t trò ch i

c ng d a trên n n t ng xác su t M t ng d ng khác là trong xác nh tin

c y Nhi u s n ph m tiêu dùng nh xe h i i n t s d ng lý thuy t tin

cậ y trong thi t k s n ph m gi m thi u xác su t h ng hóc Xác su t h

h ng c ng g n li n v i s b o hành c a s n ph m

Hai nhà to n h c Pierre de F mat và Blaise Pascal là nh ng ng i u tiên t n n móng cho h c thuy t v xác su t vào n m 1654 C n

xác su t thành m t v n nghiên c u khoa h c Ngày nay lý thuy t xác su t

tr thành m t ngành vô cùng quan tr ng c a to n h c và các ngành khoa h c khác

ùng v i s phát tri n c a lí thuy t xác su t th ng kê to n h c ra i b t ngu n t các v n th c ti n và d a trên nh ng thành t u c a lý thuy t xác

su t ã có nh ng b c ti n nhanh v i s óng góp c a các nhà to n h c nh Fran is Galton, Karl Pearson, Ronald Fish , Von Neuman Th ng kê to n

h c có các ng d ng hi u qu trong nhi u l nh v c nh vậ t lý hóa h c c

h c sinh vậ t y h c d báo, khí t ng th y vă n vô tuy n i n t ngôn ng

h c xã h i h c

ó thể nói xác suất và thống kê đóng vai trò rất quan trọng trong h u h t

m i l nh v c c a th gi i hi n i t khoa h c công ngh n kinh t chính

tr n s c kh e môi tr ng v.v Vì th lý thuy t xác su t và th ng kê c

bi t xác su t c s nh ng ki n th c c b n không th thi u trong t t c các ngành Hi n nay xác su t c s c a vào gi ng d y trong các tr ng ph thông trung h c các tr ng trung c p ca ng và i h c trong n c c ng

nh trên th gi i

V i s phát tri n c a khoa h c công ngh ngày nay máy tính giúp c

h to n các v n xác su t th ng kê ngày càng tr nên d dàng m t khi ã có các s li u úng n và mô hình h p lý Th nh ng b n thân máy tính không bi t mô hình nào là h p lý y là v n c a ng i s d ng: c n

ph i hi u c b n ch t c a các khái ni m và mô hình xác su t th ng kê thì

m i có th dùng c chúng

Xu t phát t nhu c u phát tri n và tính th i s c a vi c nghiên c u xác

su t c s chúng tôi quy t nh ch n tài v i tên g i Xác suất cơ sở qua

ươ :

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác gi nghiên c u liên

quan n Xác su t cơ s vấn đề quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống

kê

Tham gia các bu i seminar của th y h ng d n tra

ng d ng c a lý thuy t xác suất và thống kê

ng 1 gi i thi u các khái ni m và k t qu v xác suất c s liên quan

n ph n r i r c nh : phân ph i u các công th c tính xác suất của m t s

ki n khái ni m v bi n ng u nhiên và các tham s c tr ng các phân ph i

nh th c Poisson, hình h c c a bi n r i r c các d ng hàm c a bi n ng u nhiên các bất ng th c hebyshev Marko , Jensen nh lý D MoiLaplace quá trình nhánh

ng 2 trình bày các khái ni m và k t qu v xác suất c s liên quan

n ph n liên t c nh : phân ph i u các hàm m t phân ph i xác suấthàm sinh hàm c tr ng khái ni m v bi n ng u nhiên và tính c l p các tham s c tr ng phân ph i chu n và m r ng cho nhi u bi n

Trong m i ph n s a vào các ví d minh h a v i m c khác nhau

Trong ph n này chúng tôi s d ng mô hình xác suất n gi n

Định nghĩa 1.1.1 Phân phối đều Uniform distribution

Có m kết quả đồng khả năng xảy ra thường được gọi là kết quả và mỗi kết quả có cùng một xác suất 1/m Mỗi kết quả này được gọi là một biến cố sơ cấp hay sự kiện sơ cấp Một tập hợp A gồm k kết quả xảy ra, với k ≤ m được gọi là một biến cố (hay sự kiện) và xác suất của nó ℙ(A) được tính bằng k/m:

V dụ 1.1.1 Gi s m t gia ình có 3 con Khi ó xác suất gia ình

ó có 2 con trai 1 con gái là bao nhiêu

gái, con th ba là con trai) S ki n “2 trai m t gái” là h p c a 3 s ki n thành

ph n trong mô hình xác su t này: TTG, TGT,GTT (t ng ng k = 3) Nh

vậy xác suất của nó b ng 3/8

1 1 B n và tôi ch i trò ch i tung m t ng xu: n u ng xu r i

m t ng a tôi c m t i m, n u m t sấp bạn đ c m t i m Ban u, t s

là s không Tính xác suất mà :

(1) Sau 2n l n ném i m s c a chúng tôi b ng nhau;

(2) Sau 2n +1 l n ném s i m c a tôi nhi u h n c a b n là ba

(2 + 1)!/( + 2)! ( − 1)! ×2 1 .

Xác su t c a m t s ki n có th ph thu c vào nhi u y u t , i u ki n khác nhau ch ra m t cách c th h n v vi c xác su t c a m t s ki n A nào ó ph thu c vào m t i u ki n B nào ó ra sao, ng i ta a ra khái

ni m xác su t i u ki n Đi u ki n B c hi u là m t s ki n, t c là s ki n

“có B”

Với hai sự kiện A và B với ℙ( ) > 0, xác suất điều kiện ℙ( | ) của A khi B đã xảy ra được định nghĩa là :

G i A là tập h p tất cả các biến c W là tập tất cả các biến cố s cấp xảy

ra và ℙ là xác suất trên A Khi đó b ba (W, A, ℙ) c g i là m t không gian xác suất

Mệ đề 1 2 1 Công thức xác suất đầy đủ

Nếu B 1 , …, B n là một phân hoạch của W, tức là có B i ∩ B j = ∅ với 1 ≤ i

< j ≤ n và B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ B n = W, và ngoài ra ℙ(B i ) > 0 cho 1 ≤ i ≤ n, khi đó với bất kỳ sự kiện A, ta có :

Mệ đề 1 2 2 Định lý Bayes

Nếu B 1 , …, B n là một phân hoạch của W, tức là có B i ∩ B j = ∅ với 1 ≤ i < j

≤ n và B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ B n = W, và A là sự kiện ngẫu nhiên, với ℙ( ) > 0, thì

ℙ( | ) = ℙ( | ) ℙ( )ℙ | ℙ (1.5)

ng minh : B ng cách ng d ng tr c ti p nh ngh a và công th c xác suất y ta c

ℙ( | ) =ℙ( ∩ )ℙ( ) = ℙ( | ) ℙ( )ℙ( ) = ℙ( | ) ℙ( )

ℙ | ℙ

1 2 C n bình ng bi hình th c bên ngo i gi ng nhau bình th

k ch a k -1 bi màu và n - k bi màu xanh k = 1 2 n n ng u nhiên

2) Xét b n k t qu 1 1 và 11 m i k t qu có xác su t 1/4 Ở ây

s ki n A = {ch s u là 1} và B = {ch s th 2 là } là c lập

ℙ( ) = + =12 = + = ℙ( ), ℙ( ∩ ) = =14 =12 12

Ngo i ra các s ki n {ch s u là } và {c hai ch s u gi ng nhau} là c lập trong khi các s ki n {ch s u là } và {t ng các ch s

là } ph thu c

1) Tung hai l n m t ng xu cân i i các s ki n A = {l n 1 tung ch

ng a}, B = {l n 2 tung cho m t ng a} và = hai l n tung hi n th cùng m t m t} Thì

ℙ( ∩ ) = =14 = ℙ( )ℙ( ), ℙ( ∩ ) = =14 = ℙ( )ℙ( ),

ℙ( ∩ ) = =14 = ℙ( )ℙ( ) ℙ( ∩ ∩ ) = =14 ≠ ℙ( )ℙ( )ℙ( )

2) n súc s c v i A = {súc s c m t hi n th s i m l } B = {súc s c hai hi n th s i m l } = {t ng s i m l } và ℙ A ℙ ℙ

Lời giải :

G i Ai i = 1 2 3 n viên n th i b n trúng m c tiêu m i viên n b n c lập nên các Ai c l p ̅

mà ∩ = ∩ và ∩ ̅ = ∩ ̅ Theo quan điểm c l p

1) M t chàng trai vi t th cho 3 cô b n gái vì ãng trí nên b các th

vào các phong bì m t cách ng u nhiên Tính xác suất có ít nhất m t cô

+ℙ( )

= ℙ( ) + ℙ( ) + ℙ( ) − ℙ( )ℙ( | ) − ℙ( )ℙ( | ) −ℙ( )ℙ( | ) + ℙ( )ℙ( | )ℙ( | )

=13 +13 +13 −13 12 −13 12 −13 12 +13 12 11 = 23.

2) M t ng i ãng trí nói v m t nhân viên gi i quy t công vi c th t

cách ng u nhiên Tính xác suất p m,n có m lá th c ghi úng a ch

n ng i phe t b phi u c ng c viên c a mình trong ó m n Xác suất mà trong quá trình m các lá phi u bí m t các ng c viên phe h u s không thấp h n phe t là gì C n y ã xuất hiện trong nhiều ho n cảnh

Trong đề tài này chúng tôi b t u v i m t tr ng h p c th m = n ó 2n ly r u trong s ó n ly r u th t và n ly r u gi Trong m t trò ch i ph

bi n t i a ph ng m t ng i tham gia b t m t u ng tất cả 2n ly tại m t th i

i m c l a ch n m t cách ng u nhiên Ng i tham gia c tuyên b là

ng i chi n th ng n u say v i th tích r u thật uống luôn luôn là không nhiều h n so v i r u gi húng ta s ki m tra xem i u này x y ra v i xác

suất n +1

ng ng u nhiên trên t p h p{- n - n +1, n} trong ó

ng i tham gia s di chuy n lên m t b c n u u ng ly r u gi và s lùi m t

T ng s các ng i d n t n n n n!n! ng các ng i trên ng th ng c ng gi ng nh t ng s các ng i t 1

2) S chấm xuất hiện khi tung m t con súc s c là m t BNN N u g i X

là s chấm xuất hiện khi tung m t con súc s c thì khi tung súc s c t p các giá

tr mà X có th nh n là {1 2 3 4 5 }

Khi ta có m t BNN ta có th nghiên c u các tính chất c tr ng c a nó rút ra các thông tin k t lu n nà ng nh ng c tr ng quan tr ng nhất là giá tr trung bình v ng

2) ế ọ ố ấ ấ ện khi tung m t con súc s c thì

1 Nếu BNN X º b là số không đổi, thì (X) = b

Giả sử các BNN X, Y có kỳ vọng, nếu X ≤ Y thì (X) ≤ (Y)

Kỳ vọng của một tổ hợp tuyến tính BNN bằng tổ hợp tuyến tính của các kỳ vọng

ng minh

n nhiên the nh ngh a c a k v ng

(3) ( + ) = (

v i i u ki n là chu i v ph i h i t tuy t ∑ | ( )| < ∞

Đị ĩ 1 3 Phân b xác su t đồng thời - Phân bố xác suất điều

kiện

Cho 2 BNN X và Y, với các giá trị rời rạc X( ) và Y( ) Xét sự kiện {X

= x i , Y = y j } (với bất kỳ cặp giá trị x i , y j của X, Y), phân bố xác suất đồng thời của cặp X, Y là ℙ( = , = )

Phân bố xác suất điều kiện của X x i khi điều kiện Y y j ố định xảy

Tìm phân phối xác suất của X Y Tìm k v ng có i u ki n ( )

Đị ĩ 1 Chu i các BNN độc lập phân phối giống nhau

Các BNN X 1 , X 2 , được gọi là chuỗi các BNN độc lập phân phối giống nhau nếu ngoài sự độc lập ra các xác suất ℙ(X i = x) của chúng là như nhau cho mỗi i = 1, 2,

Phương sai của BNN rời r c X có = là m t s được ký hiệu và xác định như sau :

n b c hai c a ph ng sai Var c g i là độ lệch tiêu chuẩn

M t khái ni m liên quan ch t ch v i ph ng sai là hi p ph ng sai c a hai BNN

Hiệp phương sai của hai BNN X và Y là một số được ký hiệu và xác định:

M 1 3 M t s tính ch t của phương sai

1 N u X b (hằng s ) thì VarX = b 2

- b 2 = 0

N u c là m t hằng s th c thì

Phương sai c a tổng các bi n độc lập bằng tổng của các phương sai:

Var (X + Y) = Var X + Var Y

= Var Var + ( ) Var + ( ) Var

V d 1.4.6 X 1 , …, X n ậ n phối giống nhau v i giá

tr trung bình và ph ng sai Tìm giá tr trung bình c a

− −

1 n súc s c cân i có hai m t màu xanh lá cây hai

m t màu và hai m t màu xanh d ng và khi súc s c c ném m t l n

n phối nh th c xuất hiện t nhiên trong vi c tung ng xu Xem bi n

ng u nhiên X b ng s m t ng a xu t hi n trong quá trình th nghi m n l n v i

Đị ĩ 1 5 Phân ph i nh thức Binomial distribution

BNNX được gọi là có phân phối nhị thức với hai tham số n, p nếu X có phân bố xác suất

ℙ( = ) = , (0 ≤ ≤ , 0 < < 1) (1.24)

n l n th xuất hiện m t ng a

n u l n th xuất hiện m t sấp

ℙ( | = 3) = ℙ ∩ ( = 3) ℙ( = 3) =ℙ( = 3) =ℙ( ) = 1 ≈ 0,03 ∎

ng khác c ng có ích cho phân ph i xác suất Ví dụ nếu chúng ta tung ng xu c n khi m t ng a xuất hiện u tiên k t qu là s 1

s m t sấp xuất hiện tr c khi m t ng a u tiên xuất hiện Gọ Y ố

ấ ấ ện tr c khi m t ng a u tiên xuất hiện Xác suất của kết quả

k là

ậ 1 5 n ph i hình h c là phân b xác suất của ố l n th

ch n khi thành công u nh xác suất thành công của m i l n th là p

= dd

1

=1

ả ng Y là t ng s chấm hiển th b i hai con súc s c l n ném cu i

Đị ĩ 1 5 3 Phân ph i Poisson n distribution

M t bi n ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, nếu như các giá trị của nó là các số nguyên không âm, và với mọi k ∈ Z + ta có

nhất m t m t 5 và không có m t t i l n ném cu i cùng

không có m t t i l n ném cu i cùng

V d 1 .3 T n bay c 15 phút có m t chuy n ô tô buýt

ng i ph c v ch khách vào trung tâm thành ph ch s ng i gh

ng i ng s khách ch i ô tô v i mật trung bình 8 khách m t gi Tìm xác suất trong chuy n xe ti p theo : 1 ng có khách nào ch i

xe 2 ng khách ch chuy n

Lời giải :

Vì s khách ch i ô tô v i m t trung bình 8 khách m t gi nên trung

chuyến thì X ~ Po 2 đ ấ

(1) ℙ( = 0) =20! ≈ 0,1353;

(2) ℙ( = 6) =26! ≈ 0,012

M 1 5 Liên h gi a phân ph i nhị thức với phân ph i Poisson

Giả s X ~ Bin (n, p) và ⟶ , ⟶ 0 khi ⟶ ∞ Khi đó :

V d 1 .4 n ph m c s n xuất ra b i m t dây chuy n

g m s n ph m t s n ph m c a dây chuy n Tìm xác suất có nhi u nhất 3 phế ph m trong lô

Lời giải:

G i X là s ph ph m có trong lô ta có X~ Bin n, p n = 5 khá l n

và p = 1 khá bé nên X phân phối xấp x Poisson v i ≈ = 5 Khi ó xác suất có nhi u nhất 3 phế ph m là

Mệ đề 1 5 5 Một số tính chất của hàm sinh xác suất ( )

Hàm ( ) của X xác định sự phân bố duy nhất của BNN X: nếu

( ) = ( ) ∀ 0 < < 1, thì ℙ( = ) = ℙ( = ) ∀ hay X ~ Y

Kỳ vọng và phương sai Var X được biểu diễn dưới dạng các đạo hàm của ( ) tại s = 1:

= ( )

( − 1) = ( )

, (1.37) = ( − 1) + − ( )

= ( ) + ( ) − ( )

(1.38)

Các BNN X và Y là độc lập khi và chỉ khi

( ) = ( ) ( ) (1.39)

Đị ĩ 1 5 Hàm sinh moment T nt generating n tion

Hàm sinh moment ( ) của BNN X với đối số là hàm có dạng :

( ) =

sinh moment ( ) c coi là các giá tr th c c a các i s

nh ng có th không t n t i i v i m t trong s ó

Trong bi u th c ( ) = = (exp( )) n u ta l y = it ây

i = √−1 t ∈ ℝ exp( ) = exp(i ) = cos( ) + sin( )

n ng u nhiên b ch n có giá tr tuy t i b ng 1 n tâm v s t n t i c a (exp(i )) T ó có nh ngh a sau

= − ( ) + ( )

(1.43)

Mỗi ( ) và ( ) xác định duy nhất phân phối của BNN : Nếu

( ) = ( ) hoặc ( ) = ( ) trong toàn bộ miền tồn tại thì X ~ Y

D đ

= (1) =1 , = (1) + (1) =1 + , Var =

1 5 h X ng n d ng Xác nh hàm sinh xác suất của X và ch ng t r ng n u X và Y là bi n ng u nhiên c

l p có giá tr nguyên d ng thì =

M t c p súc s c không úng tiêu chu n là m t c p súc s c có sáu m t

v i s nguyên d ng ng t trong m t ph ng pháp phi tiêu chu n ví d 2 2

không chu n A và B nh v y mà khi ném ℙ ng s chấm xuất hiện b i A và

B là n ℙ( ng s chấm xuất hiện b i m t c p súc s c chu n là n

Bây gi g i S2 là t ng s chấm hiển th b i m t c p súc s c chu n thì

hebyshev và tìm n sao cho

ℙ − 3,5 > 0,1 ≤ 0,1.

Lời giải:

G i = ∑ , trong ó X i là s chấm l n ném th i BNN X i

1 6 2 ho X là m t BNN v i = ( − ) = ng minh r ng

ℙ(| − | ≥ ) ≤

Lời giải :

n sát r ng các s ki n {| − | ≥ } và {| − | ≥ } u