Xác suất cơ sở qua các ví dụ

Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của việc nghiên cứu xác suất cơ sở, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Xác suất cơ sở qua các ví dụ để tiến hành nghiên cứu.. C

ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và

trong buôn bán hàng hóa Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất

để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối Lý thuyết trò chơi

cũng dựa trên nền tảng xác suất Một ứng dụng khác là trong xác định độ tincậy Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tincậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc Xác suất hưhỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm

Hai nhà toán học Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiênđặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm (1654) Christiaan

xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học Ngày nay lý thuyết xác suấttrở thành một ngành vô cùng quan trọng của toán học và các ngành khoa họckhác

Cùng với sự phát triển của lí thuyết xác suất, thống kê toán học ra đời bắtnguồn từ các vấn đề thực tiễn và dựa trên những thành tựu của lý thuyết xácsuất, đã có những bước tiến nhanh với sự đóng góp của các nhà toán học nhưFrancis Galton, Karl Pearson, Ronald Fisher, Von Neuman, … Thống kê toánhọc có các ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như vật lý, hóa học, cơ

học, sinh vật, y học, dự báo, khí tượng, thủy văn, vô tuyến, điện tử, ngôn ngữhọc, xã hội học, …

Có thể nói xác suất và thống kê đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hếtmọi lĩnh vực của thế giới hiện đại, từ khoa học, công nghệ, đến kinh tế, chínhtrị, đến sức khỏe, môi trường, v.v Vì thế, lý thuyết xác suất và thống kê (đặcbiệt xác suất cơ sở) là những kiến thức cơ bản không thể thiếu trong tất cả cácngành Hiện nay, xác suất cơ sở được đưa vào giảng dạy trong các trường phổthông trung học, các trường trung cấp, cao đẳng và đại học trong nước cũngnhư trên thế giới

Với sự phát triển của khoa học công nghệ, ngày nay máy tính giúp cho việctính toán các vấn đề xác suất thống kê ngày càng trở nên dễ dàng, một khi đã

có các số liệu đúng đắn và mô hình hợp lý Thế nhưng, bản thân máy tínhkhông biết mô hình nào là hợp lý Đấy là vấn đề của người sử dụng: cần phảihiểu được bản chất của các khái niệm và mô hình xác suất thống kê, thì mới

có thể dùng được chúng

Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của việc nghiên cứu xác suất

cơ sở, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Xác suất cơ sở qua các ví

dụ để tiến hành nghiên cứu Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham

khảo tốt cho những người muốn tìm hiểu về các kết quả rời rạc và liên tục của

lý thuyết xác suất cùng với ứng dụng chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu đúng bản chất của nhữngkhái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác suất cơ sở, và qua đó có thể ápdụng được chúng, đi sâu tìm hiểu được phương pháp thích hợp cho nhữngtình huống cụ thể

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết xác suất và thống kê Phạm vinghiên cứu của đề tài là xác suất cơ sở và các ứng dụng

4 Phương pháp nghiên cứu:

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên

quan đến Xác suất cơ sở, vấn đề quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống

kê

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quảđang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về cácứng dụng của lý thuyết xác suất và thống kê

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến xác suất

cơ sở và các ứng dụng thực tế qua các ví dụ minh họa, nhằm xây dựng một tài

liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng.

Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số ví

dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập

6 Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn được chia thành 2 chương

Chương 1 giới thiệu các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở liên quanđến phần rời rạc, như: phân phối đều, các công thức tính xác suất của một sựkiện, khái niệm về biến ngẫu nhiên và các tham số đặc trưng, các phân phốinhị thức, Poisson, hình học của biến rời rạc, các dạng hàm của biến ngẫunhiên, các bất đẳng thức Chebyshev, Markov, Jensen, định lý De Moivre-Laplace, quá trình nhánh, …

Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả về xác suất cơ sở liên quanđến phần liên tục, như : phân phối đều, các hàm mật độ, phân phối xác suất,

hàm sinh, hàm đặc trưng, khái niệm về biến ngẫu nhiên và tính độc lập, cáctham số đặc trưng, … phân phối chuẩn và mở rộng cho nhiều biến

Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ minh họa với mức độ khác nhau

CHƯƠNG 1

CÁC KẾT QUẢ RỜI RẠC

Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tàiliệu [2], [3], [4], [6], [7]

1.1 PHÂN PHỐI ĐỀU

Trong phần này, chúng tôi sử dụng mô hình xác suất đơn giản

Định nghĩa 1.1.1 Phân phối đều (Uniform distribution)

Có m kết quả đồng khả năng xảy ra (thường được gọi là kết quả) và mỗi kết quả có cùng một xác suất 1/m Mỗi kết quả này được gọi là một biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ cấp) Một tập hợp A gồm k kết quả xảy ra, với k ≤ m được gọi là một biến cố (hay sự kiện) và xác suất của nó (A) được tính bằng k/m:

Một tập rỗng có xác suất bằng không và tậpgồm tất cả các trường hợp xảy ra có xác suất bằng

1 Sơ đồ này trông có vẻ đơn giản, nhưng trong thực tế việc tính toán số kếtquả xảy ra của một sự kiện nhất định (hoặc tổng số kết quả) có thể khó khăn

Ví dụ 1.1.1 Giả sử một gia đình có 3 con Khi đó xác suất để gia đình đó có 2

con trai, 1 con gái là bao nhiêu?

Lời giải:

Chúng ta có thể lập mô hình xác suất với 4 sự kiện thành phần: 3 trai, 2 trai

1 gái, 1 trai 2 gái, 3 gái Thế nhưng 4 sự kiện thành phần đó không “cân bằng”với nhau, và bởi vậy không kết luận được rằng xác suất của “2 trai 1 gái” là1/4 Để có không gian xác suất với phân bố đều, ta có thể lập mô hình xác

suất với 8 sự kiện thành phần (m = 8) như sau:

phần trong mô hình xác suất này: TTG, TGT,GTT (tương ứng k = 3) Như vậy

xác suất của nó bằng 3/8

Ví dụ 1.1.2 Bạn và tôi chơi trò chơi tung một đồng xu: nếu đồng xu rơi mặt

ngửa tôi được một điểm, nếu mặt sấp bạn được một điểm Ban đầu, tỷ số là sốkhông Tính xác suất mà :

(1) Sau 2n lần ném điểm số của chúng tôi bằng nhau;

(2) Sau 2n +1 lần ném số điểm của tôi nhiều hơn của bạn là ba.

Lời giải:

(1) Tất cả các chuỗi NNN…N, SNN…N, …, SSS…S hình thành bởi 2n chữ N hoặc S (với N (Ngửa), S (Sấp)) Tổng số kết quả xảy ra là m = , mỗi kết quả có xác suất Ta cần tìm số kết quả có số lượng N bằng S Số k của kết quả

đó là (số cách để lựa chọn vị trí cho n chữ N trong 2n vị trí có sẵn trong trình

tự) Xác suất cần tìm là

(2) Mỗi kết quả là một chuỗi có độ dài , có tổng số kết quả Xác suất sốđiểm của tôi nhiều hơn của bạn là ba bằng:

1.2 XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN ĐỊNH LÝ BAYES PHÉP THỬ ĐỘC LẬP

Xác suất của một sự kiện có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác

nhau Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện A nào

đó phụ thuộc vào một điều kiện B nào đó ra sao, người ta đưa ra khái niệm

xác suất điều kiện Điều kiện B được hiểu là một sự kiện, tức là sự kiện “cóB”

Định nghĩa 1.2.1 Xác suất điều kiện

Với hai sự kiện A và B với , xác suất điều kiện của A khi B đã xảy ra được định nghĩa là :

Từ (1.2) ta có công thức tích sau đây :

(1.3)Tất nhiên, ta cũng có thể coi B là sự kiện, A là điều kiện nếu, và khi đó ta

có

Hai sự kiện A và B được gọi là xung khắc nếu

Gọi A là tập hợp tất cả các biến cố, Ω là tập tất cả các biến cố sơ cấp xảy ra

và là xác suất trên A Khi đó bộ ba được gọi là một không gian xác suất

Mệnh đề 1.2.1 Công thức xác suất đầy đủ

Nếu B 1 , …, B n là một phân hoạch của Ω, tức là có B i ∩ B j = ∅ với 1 ≤ i < j

≤ n và B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ B n = Ω, và ngoài ra (B i ) > 0 cho 1 ≤ i ≤ n, khi đó với bất kỳ sự kiện A, ta có :

(1.4)

* Chứng minh :

Chú ý 1.2.1 Hệ các sự kiện B 1 , …, B n xung khắc từng đôi một B i ∩ B j = ∅ ,

với 1 ≤ i < j ≤ n và B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ B n = Ω như trên gọi là hệ đầy đủ cácbiến cố

Mệnh đề 1.2.2 Định lý Bayes

Nếu B 1 , …, B n là một phân hoạch của Ω, tức là có B i ∩ B j = ∅ với 1 ≤ i < j

≤ n và B 1 ∪ B 2 ∪ · · · ∪ B n = Ω, và A là sự kiện ngẫu nhiên, với , thì

xác suất điều kiện :

Công thức (1.5) được gọi là công thức Bayes

* Chứng minh : Bằng cách ứng dụng trực tiếp định nghĩa và công thức xácsuất đầy đủ, ta có:

Ví dụ 1.2.1 Có n bình đựng bi hình thức bên ngoài giống nhau, bình thứ k

chứa k -1 bi màu đỏ và n - k bi màu xanh, k = 1, 2, , n Chọn ngẫu nhiên một

bình và loại bỏ hai bi từ bình đó mà không cần thay thế Tìm xác suất để hai

bi bị loại bỏ có màu sắc khác nhau

Lời giải :

Tổng số bi màu xanh và màu đỏ trong tất cả các bình đựng bằng nhau

Gọi B k : sự kiện bình k được chọn, k = 1, 2, …, n, các sự kiện B k xung khắctừng đôi và B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω; và A là sự kiện loại hai bi khác màu

trong trường hợp bi 1 màu đỏ, bi 2 màu xanh

Định nghĩa 1.2.2 Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau nếu

Một tiêu chuẩn thuận tiện của tính độc lập là: hai sự kiện A và B trong đó (B) > 0 là độc lập khi và chỉ khi (A|B) = (A), nghĩa là sự kiện B xảy ra không làm thay đổi xác suất của sự kiện A

Ví dụ 1.2.2

1) Sự kiện rỗng ∅ (biến cố không thể) và toàn bộ Ω: chúng không phụ

thuộc bất kỳ sự kiện nào

2) Xét bốn kết quả 00, 01, 10 và 11 mỗi kết quả có xác suất 1/4 Ở đây, sự

kiện A = {chữ số đầu là 1} và B = {chữ số thứ 2 là 0} là độc lập

Ngoài ra, các sự kiện {chữ số đầu là 0} và {cả hai chữ số đều giống nhau}

là độc lập, trong khi các sự kiện {chữ số đầu là 0} và {tổng các chữ số là > 0}phụ thuộc

Mở rộng định nghĩa cho n sự kiện độc lập, ta có :

Định nghĩa 1.2.3 Các sự kiện A 1 , …, A n được gọi là độc lập với nhau nếu với mọi tập con hữu hạn A i1 , …, A il , (l = 1, …, n) ta có đẳng thức :

(1.7)

Nếu như (A i ∩ A k ) = (A i ).(A k ) (i ≠ k) với bất kỳ hai sự kiện khác nhau nào trong họ các sự kiện A1, …, A n (n > 2) thì được gọi là họ các sự kiện độc lập

từng đôi một

Chú ý 1.2.2 Nếu có một họ các sự kiện độc lập, thì các sự kiện trong họ độc

lập từng đôi một với nhau Nhưng điều ngược lại không đúng

Ví dụ 1.2.3.

1) Tung hai lần một đồng xu cân đối, với các sự kiện A = {lần 1 tung cho

mặt ngửa}, B = {lần 2 tung cho mặt ngửa} và C = {Cả hai lần tung hiển thịcùng một mặt} Thì :

2) Ném ba con súc sắc, với A = {súc sắc một hiển thị số điểm lẻ}, B = {súc

sắc hai hiển thị số điểm lẻ}, C = {tổng số điểm lẻ} và (A) = (B) = (C) = 1/2.Thì :

Ví dụ 1.2.4 Bắn 3 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng theo thứ tự là

0,5 ; 0,6 ; 0,8 Xác suất mục tiêu bị phá hủy nếu trúng 1 phát là 0,3 ; hai phát

là 0,6 ; còn 3 phát thì chắc chắn bị phá hủy Tính xác suất mục tiêu bị phá hủy.Nếu mục tiêu bị phá hủy, tính xác suất nó bị trúng 1 phát

Lời giải :

Gọi Ai (i = 1, 2, 3) là sự kiện viên đạn thứ i bắn trúng mục tiêu ; mỗi viênđạn bắn độc lập nên các Ai độc lập ; : độc lập

Bj (j = 0, 1, 2, 3) là sự kiện mục tiêu trúng j phát đạn ; {B0, B1, B2, B3} : hệđầy đủ các biến cố

Ta có :

Nếu gọi D là sự kiện mục tiêu bị phá hủy, thì

Áp dụng công thức xác suất Bayes :

Ví dụ 1.2.5 Một đồng xu hiển thị mặt ngửa với xác suất p trên mỗi lần tung.

Cho là xác suất mà số mặt ngửa xuất hiện sau n lần tung là chẵn Chứng tỏ rằng n ≥ 1.

Lời giải :

Như trong các mô hình tung đồng xu, ta cho rằng kết quả của các lần tung

khác nhau là độc lập Đặt A n = {lần tung thứ n là mặt ngửa}, với (A n ) = p và

B n = {số mặt ngửa sau n lần tung là số chẵn}, với = (B n) Khi đó, bằng xácsuất điều kiện trên và :

mà và Theo quan điểm độc lập,

và

Điều này dẫn đến

Nghĩa là,

1.3 CÔNG THỨC BÙ-TRỪ BÀI TOÁN LÁ PHIẾU

Công thức bù-trừ được dùng để tính xác suất (A), trong đó A = A1 ∪ A2 ∪ ·

· · ∪ An là sự kiện tổng của các sự kiện A1,…, An

Nếu các sự kiện A1,…, A n là đôi một xung khắc thì :

Nhưng nếu các sự kiện A1,…, A n đôi một không xung khắc thì công thứctính xác suất (A) phức tạp hơn Ta có

Mệnh đề 1.3.1 Công thức bù-trừ

Cho A 1 ,…, A n tập các sự kiện đôi một không xung khắc và A = A 1 ∪ A 2 ∪ · ·

· ∪ A n , khi đó :

* Chứng minh : (Bằng quy nạp trong n)

- Với n = 2 (n = 1 công thức là tầm thường) Đối với hai sự kiện A và B

(A ∪ B) = ((A\(A∩B)) ∪ (B \(A∩B)) ∪ (A∩B))

= (A\(A∩B)) + (B \(A∩B)) + (A∩B)

= (A) - (A∩B) + (B) - (A∩B) + (A∩B)

= (A) + (B) - (A∩B)

- Giả sử công thức đúng cho bất kỳ tập của n sự kiện (n > 2) Khi đó với bất

kỳ tập A1, …, A n+1 của n +1 sự kiện, xác suất bằng :

Đối với số hạng cuối cùng chúng ta có, lặp lại giả thiết quy nạp :

Chúng ta thấy rằng toàn bộ tổng trong khai triển bao gồm tất cả các số

hạng có thể được xác định trên vế phải của công thức (1.10) cho n + 1, với

các dấu chính xác Điều này hoàn thành chứng minh mệnh đề

Ví dụ 1.3.1

1) Một chàng trai viết thư cho 3 cô bạn gái, vì đãng trí nên bỏ các thư vào

các phong bì một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để có ít nhất một cô nhậnđược đúng thư viết cho mình

Lời giải :

Nếu gọi A i (i = 1, 2, 3) là sự kiện cô thứ i nhận đúng thư của mình Khi đó

sự kiện B có ít nhất một cô nhận được đúng thư viết cho mình biểu diễn

bằng , và áp dụng công thức bù trừ ta có

2) Một người đãng trí (nói về một nhân viên giải quyết công việc thư từ) đã

đưa n bức thư cá nhân vào n phong bì rồi ghi địa chỉ sau, và anh ta làm một cách ngẫu nhiên Tính xác suất p m,n để có m lá thư được ghi đúng địa chỉ

Phần còn lại của phần này đề cập đến vấn đề bỏ phiếu Nguyên bản của nó

được phát biểu có hệ thống là: một cộng đồng cử tri gồm m người phe hữu và

n người phe tả bỏ phiếu cho ứng cử viên của mình, trong đó m ≥ n Xác suất

mà trong quá trình đếm các lá phiếu bí mật các ứng cử viên phe hữu sẽ khôngthấp hơn phe tả là gì? Câu hỏi này đã xuất hiện trong nhiều hoàn cảnh

Trong đề tài này, chúng tôi bắt đầu với một trường hợp cụ thể m = n Có 2n

ly rượu trong số đó n ly rượu thật và n ly rượu giả Trong một trò chơi phổ biến tại địa phương, một người tham gia bịt mắt uống tất cả 2n ly tại một thời

điểm, được lựa chọn một cách ngẫu nhiên Người tham gia được tuyên bố làngười chiến thắng nếu say với thể tích rượu thật uống luôn luôn là không

nhiều hơn so với rượu giả Chúng ta sẽ kiểm tra xem điều này xảy ra với xác

suất 1/(n +1).

Xem xét di động ngẫu nhiên trên tập hợp{- n, - n +1, …, n} trong đó người

tham gia sẽ di chuyển lên một bước nếu uống ly rượu giả và sẽ lùi một bước

nếu uống rượu thật Việc đi bộ bắt đầu từ gốc (lúc chưa uống) và sau 2n bước

luôn luôn trở về vị trí ban đầu (số lượng rượu thật = số lượng rượu giả)

Tổng số các đường đi dẫn từ (0, 0) đến (2n, 0) là (2n)!/n!n! Số lượng các

đường đi ở trên đường thẳng cũng giống như tổng số các đường đi từ (1, 1)

đến (2n, 0) là ít hơn tổng số các đường đi từ (1, -3) đến (2n, 0) Thật vậy,

bước thứ nhất từ (0, 0) phải là bước lên Tiếp theo, nếu một bước từ (0, 0) đến

(2n, 0) tiếp xúc hoặc xuyên qua đường X = -1, thì chúng ta có thể phản xạ bit đầu tiên của nó và thu được một đường đi từ (1, -3) đến (2n, 0) Điều này đôi

khi được gọi là nguyên lý phản xạ

Do đó, xác suất chiến thắng là :

Bây giờ giả sử rằng số ly rượu giả là m, số ly rượu thật là n, m > n Như

trước, chiến thắng trò chơi có nghĩa là tại mỗi lần số lượng tiêu thụ rượu giả

là không ít hơn so với rượu thật Sau đó tổng số các đường dẫn từ (0, 0) đến

(m + n, m - n) bằng (m + n)!/ m!n! Một lần nữa, bước đầu tiên của đường chiến thắng là luôn đi lên Tổng số các đường dẫn từ (1, 1) đến (m + n, m - n) bằng (m + n -1)!/(m - 1)!n! Sử dụng nguyên lý phản xạ, chúng ta thấy rằng số lượng đường mất đi bằng với tổng số các đường dẫn từ (1, -3) đến (m + n, m - n), đó là (m + n -1)! / (m + 1)!(n - 2)! Cuối cùng, xác suất chiến thắng là:

1.4 BIẾN NGẪU NHIÊN KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI

Định nghĩa 1.4.1 Biến ngẫu nhiên (BNN)

Biến ngẫu nhiên là một hàm X trên tập hợp kết quả Ω,

X: (1.11) với tập giá trị là tập hữu hạn hoặc đếm được gọi là tập giá trị có thể của BNN X

Ví dụ 1.4.1.

1) Hàm chỉ của một sự kiện là một BNN Nếu A là một sự kiện, thì ta có

thể định nghĩa hàm chỉ I A của A như sau: I A = 1 khi A xảy ra và I A = 0 khi A

không xảy ra

2) Số chấm xuất hiện khi tung một con súc sắc là một BNN Nếu gọi X là

số chấm xuất hiện khi tung một con súc sắc thì khi tung súc sắc tập các giá trị

mà X có thể nhận là {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Khi ta có một BNN, ta có thể nghiên cứu các tính chất, đặc trưng của nó, đểrút ra các thông tin, kết luận nào đó Một trong những đặc trưng quan trọngnhất là giá trị trung bình (kỳ vọng).

(1) Nếu BNN X ≡ b là số không đổi, thì (X) = b.

(2) Giả sử các BNN X, Y có kỳ vọng, nếu X ≤ Y thì (X) ≤ (Y).

(3) Kỳ vọng của một tổ hợp tuyến tính BNN bằng tổ hợp tuyến tính của các

kỳ vọng

* Chứng minh :

(1), (2) Hiển nhiên theo định nghĩa của kỳ vọng

Thực tế điều này (được gọi là tuyến tính của kỳ vọng) có thể dễ dàng mở

rộng cho n số hạng :

Trong trường hợp đặc biệt nếu (Xk) = µ với mọi k, thì Tính chất cũng đúng cho một dãy vô hạn các BNN X1, X2, … :

với điều kiện là chuỗi ở vế phải hội tụ tuyệt đối:

Định nghĩa 1.4.3 Phân bố xác suất đồng thời - Phân bố xác suất điều kiện

Cho 2 BNN X và Y, với các giá trị rời rạc X( và Y( Xét sự kiện {X = x i , Y =

y j } (với bất kỳ cặp giá trị x i , y j của X, Y), phân bố xác suất đồng thời của cặp

Nếu X và Y là hai BNN thì :

với các giá trị có thể của BNN X, Y.

Chú ý 1.4.1 Trong công thức (1.16) vai trò của X và Y có thể được hoán đổi

Ví dụ 1.4.3 Giả sử X, Y là hai BNN rời rạc có phân phối đồng thời là

Định nghĩa 1.4.5 BNN độc lập

BNN X và Y được gọi là độc lập nếu với bất kỳ cặp giá trị x i và y j :

Định nghĩa này được mở rộng cho trường hợp n BNN độc lập Các BNN

X 1 , …, X n độc lập nếu ∀ x 1 , … , x n :

Hơn nữa, một dãy vô hạn các BNN X1, X2, … được gọi là độc lập nếu ∀ n các biến X 1 , …, X n là độc lập

Định nghĩa 1.4.6 Chuỗi các BNN độc lập phân phối giống nhau

Các BNN X 1 , X 2 , được gọi là chuỗi các BNN độc lập phân phối giống nhau nếu ngoài sự độc lập ra các xác suất (X i = x) của chúng là như nhau cho mỗi i = 1, 2,

Định nghĩa 1.4.7 Phương sai của BNN

Phương sai của BNN rời rạc X có là một số được ký hiệu và xác định như sau :

Bằng cách khai triển bình phương và sử dụng các tính chất của kỳ vọng,chúng ta có

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch tiêu chuẩn.

Một khái niệm liên quan chặt chẽ với phương sai là hiệp phương sai của haiBNN

Định nghĩa 1.4.8 Hiệp phương sai của hai BNN

Hiệp phương sai của hai BNN X và Y là một số được ký hiệu và xác định :

Đối với các biến X, Y độc lập thì Cov (X, Y) = 0, nhưng khẳng định ngược

lại không đúng

Các BNN với Cov (X, Y) = 0 được gọi là không tương quan

Với phương sai Var (X + Y) của tổng X + Y, chúng ta có biểu diễn sau đây : Var (X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov (X, Y) (1.23)

Mệnh đề 1.4.3 Một số tính chất của phương sai

(1) Nếu X ≡ b (hằng số) thì VarX = b 2 - b 2 = 0.

(2) Nếu c là một hằng số thực thì

(3) Phương sai của tổng các biến độc lập bằng tổng của các phương sai:

Var (X + Y) = Var X + Var Y.

Mở rộng cho nhiều BNN độc lập bất kỳ:

Var (X 1 + … + X n ) = Var X 1 + … + Var X n (4) Var (X + b) = Var X + Var b = Var X (b: hằng số)

(5) X i các BNN độc lập phân phối giống nhau và nếu VarX i = thì

(6) X 1 , X 2 , … các BNN độc lập và c 1 , c 2 , … các số thực

với điều kiện là chuỗi trong vế phải hội tụ tuyệt đối

Ví dụ 1.4.5 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập với giá trị thực, |X|,

|Y| ≤ K với số không đổi K Nếu Z = XY chứng tỏ phương sai của Z được cho

Ví dụ 1.4.7 Một con súc sắc cân đối có hai mặt màu xanh lá cây, hai mặt

màu đỏ và hai mặt màu xanh dương, và khi súc sắc được ném một lần Giả sửrằng

Phân phối nhị thức xuất hiện tự nhiên trong việc tung đồng xu Xem biến

ngẫu nhiên X bằng số mặt ngửa xuất hiện trong quá trình thử nghiệm n lần với

cùng một loại đồng xu Biểu diễn:

X = Y 1 + … + Y n Trong đó các BNN Y 1 , …, Y n là độc lập và phân phối đồng nhất

Giả sử : xác suất của mặt ngửa xuất hiện và là xác suất mặt sấp xuất hiện,

ta có :

Do có liên quan đến việc mở rộng nhị thức

Nên phân bố xác suất của BNN X được gọi là phân phối nhị thức (hoặc (n, p) - Nhị thức)

Định nghĩa 1.5.1 Phân phối nhị thức (Binomial distribution)

BNN X được gọi là có phân phối nhị thức với hai tham số n, p nếu X có phân bố xác suất

Từ biểu diễn trên X = Y 1 + · · · + Y n nên có

Mệnh đề 1.5.1

Nếu X ~ (n, p) thì :

(1.25)

Ví dụ 1.5.1 Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 7 lần, mỗi lần 1 viên bi từ một bình

đựng 8 bi xanh, 7 bi đỏ và 10 bi vàng Tìm xác suất để có 3 lần lấy được bi

đỏ Nếu biết rằng có 3 lần lấy được bi đỏ, tìm xác suất để các bi đỏ đó đượclấy từ các lần lấy chẵn

Lời giải :

Nếu gọi A là sự kiện nhận được bi đỏ ở mỗi lần lấy bi thì

không thay đổi (vì lấy có hoàn lại), các lần lấy là ngẫu nhiên nên độc lập.Vậy 7 lần lấy bi tương ứng với 7 phép thử Gọi X là số lần nhận được bi đỏ

Khi đó X ~ (n ; p) với n = 7 và p = 0,28.

Xác suất để có 3 lần lấy được bi đỏ :

Nếu biết rằng có 3 lần lấy được bi đỏ thì xác suất cần tìm là xác suất cóđiều kiện : , với B là dãy kết quả của phép thử với các lần chẵn xuất hiện A,các lần lẻ không xuất hiện A : B = Ta có Mặt khác, vì , nên :

Mở rộng khác cũng có ích cho phân phối xác suất Ví dụ, nếu chúng ta tungđồng xu cho đến khi mặt ngửa xuất hiện đầu tiên, kết quả là số 0, 1, … (chỉ số

mặt sấp xuất hiện trước khi mặt ngửa đầu tiên xuất hiện) Gọi Y là số mặt sấp xuất hiện trước khi mặt ngửa đầu tiên xuất hiện Xác suất của kết quả k là Khi đó BNN Y cho số các phép thử trước khi mặt ngửa đầu tiên xuất hiện được cho là một phân phối hình học, với tham số q

Định nghĩa 1.5.2 Phân phối hình học (phân phối bội) (Geometric distribution)

Phân phối hình học với tham số q (0 ≤ q ≤ 1) là phân bố xác suất rời rạc tập trung tại tập hợp các số tự nhiên, cho bởi công thức sau:

(1.26)

Kí hiệu X ~

Nhận xét 1.5.1 Phân phối hình học là phân bố xác suất của “số lần thử cho

đến khi thành công”, nếu như xác suất thành công của mỗi lần thử là p.

Mệnh đề 1.5.2

Nếu X ~ thì :

* Chứng minh

Ví dụ 1.5.2 Hai con súc sắc được ném liên tục cho đến khi cả hai đều không

hiển thị số 6 Tìm xác suất mà tại lần ném cuối cùng có ít nhất một trong cáccon súc sắc hiển thị số 5

Giả sử rằng Y là tổng số chấm hiển thị bởi hai con súc sắc ở lần ném cuối cùng, và thời gian thực hiện để đạt được nó là tổng số lần ném N.

(1) Tìm kỳ vọng

(2) Tìm kỳ vọng của tỷ lệ bằng cách sử dụng xấp xỉ ln (36/25) ≈ 11/30

Lời giải :

Bởi tính đối xứng, (ít nhất một mặt 5 tại lần ném cuối cùng)

Tiếp theo, Y = Y 1 + Y 2 , trong đó Y i là số chấm xuất hiện bởi con súc sắc i.

Do đó,

(1)

(2) N là số lần ném cho đến khi cả hai đều không hiển thị số 6 nên N Geom (q), với tham số q = 11/36 (xác suất ít nhất một con hiển thị số 6)

ít nhất một mặt 5 và không có mặt 6 tại lần ném cuối cùng

không có mặt 6 tại lần ném cuối cùng

Hơn nữa, Y và N là độc lập :

Do đó

Định nghĩa 1.5.3 Phân phối Poisson (Poisson distribution)

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, nếu như các giá trị của nó là các số nguyên không âm, và với mọi k ∈ Z + ta có

Kí hiệu : X ~ (λ)

Nhận xét 1.5.2 Mô hình phân bố Poisson là mô hình thường được dùng cho

các biến ngẫu nhiên dạng “số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian nàođó”

Mệnh đề 1.5.4 Liên hệ giữa phân phối nhị thức với phân phối Poisson.

Giả sử X ~ (n, p) và khi Khi đó :

* Chứng minh :

Đặt ta suy ra

Ta có :

do k cố định, khi

Nhận xét 1.5.3 Từ mệnh đề 1.5.4 ta có thể tính xấp xỉ xác suất của phân

phối nhị thức (n, p) khi n lớn, p nhỏ và k nhỏ so với n bởi :

Ví dụ 1.5.4 Giả sử mỗi sản phẩm được sản xuất ra bởi một dây chuyền sản

xuất nào đó sẽ là phế phẩm với xác suất p = 0,01 Chọn ngẫu nhiên một lôgồm 500 sản phẩm từ sản phẩm của dây chuyền Tìm xác suất để có nhiềunhất 3 phế phẩm trong lô

Lời giải:

Gọi X là số phế phẩm có trong lô, ta có X~ (n, p), vì n = 500 khá lớn và p =

0,01 khá bé nên X phân phối xấp xỉ Poisson với Khi đó, xác suất để cónhiều nhất 3 phế phẩm là:

Định nghĩa 1.5.4 Hàm sinh xác suất (The probability generating function)

Hàm sinh xác suất của một BNN X hữu hạn hay đếm được với nhiều giá trị số nguyên không âm n, với xác suất p n được định nghĩa là

Chú ý 1.5.1 Hàm sinh xác suất thường được xét với -1 ≤ s ≤ 1 để đảm bảo

hội tụ

* Hàm sinh xác suất của một số phân phối:

+) Nếu X có giá trị 1 và 0 với xác suất p và 1- p, thì

+) Nếu X ~ (n, p), thì

+) Nếu X ~ , thì

+) Nếu X ~ (λ), thì

Mệnh đề 1.5.5 Một số tính chất của hàm sinh xác suất

(1) Hàm của X xác định sự phân bố duy nhất của BNN X: nếu , thì hay X

~ Y

(2) Kỳ vọng và phương sai Var X được biểu diễn dưới dạng các đạo hàm của tại s = 1:

(3) Các BNN X và Y là độc lập khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.5.5 Hàm sinh moment (The moment generating function)

Hàm sinh momentcủa BNN X với đối số là hàm có dạng :

(1.40)

Hàm sinh moment được coi là các giá trị thực của các đối số , nhưng có thểkhông tồn tại đối với một trong số đó

Trong biểu thức , nếu ta lấy = it, (ở đây ), với t ∈ , thì ta có = là một biến

ngẫu nhiên bị chặn (có giá trị tuyệt đối bằng 1), và ta có thể yên tâm về sự tồntại của Từ đó có định nghĩa sau :

Định nghĩa 1.5.6 Hàm đặc trưng (The characteristic function)

Hàm đặc trưng của một BNN X với số thực t là một hàm có dạng :

Mệnh đề 1.5.6 Một số tính chất của hàm sinh moment và hàm đặc trưng

(1) Hàm và có thể được sử dụng hiệu quả cho các BNN lấy các giá trị thực, không cần thiết phải số nguyên không âm

và (2) Nếu X và Y là độc lập thì

, (3) Kỳ vọng và phương sai Var X được biểu thị bởi các đạo hàm của chúng tại thời điểm t = 0, tức :

(4) Mỗi và xác định duy nhất phân phối của BNN : Nếu hoặc trong toàn

bộ miền tồn tại thì X ~ Y.

Ví dụ 1.5.5 Một đồng xu cho mặt ngửa với xác suất và mặt sấp với xác suất

Gọi X n là số lần tung cần thiết để có được n mặt ngửa Tìm hàm sinh xác suất cho X 1 và tính trung bình và phương sai của nó Giá trị trung bình và phương

sai của X n là gì?

Lời giải :

X 1 là số lần tung cần thiết để có được 1 mặt ngửa, X 1 nên :

và hàm sinh xác suất và đạo hàm

Do đó

Vì vậy

Ví dụ 1.5.6 Cho X là một BNN có giá trị nguyên dương Xác định hàm sinh

xác suất của X và chứng tỏ rằng nếu X và Y là biến ngẫu nhiên độc lập có giá

trị nguyên dương, thì

Một cặp súc sắc không đúng tiêu chuẩn là một cặp súc sắc có sáu mặt với

số nguyên dương ngặt trong một phương pháp phi tiêu chuẩn (ví dụ (2, 2, 2,

3, 5, 7) và (1, 1, 5, 6, 7, 8) Hãy cho biết rằng có tồn tại một cặp súc sắc không

chuẩn A và B như vậy mà khi ném (tổng số chấm xuất hiện bởi A và B là n) = tổng số chấm xuất hiện bởi một cặp súc sắc chuẩn là n) với

Lời giải:

Sử dụng hàm sinh xác suất: cho một BNN V hữu hạn hay đếm được với

nhiều giá trị : Hàm sinh xác suất xác định sự phân bố duy nhất: nếu , thì , có

nghĩa là Ngoài ra, nếu V = V1 + V2 trong đó V1 và V2 là độc lập thì

Bây giờ gọi S2 là tổng số chấm hiển thị bởi một cặp súc sắc chuẩn, thì

trong đó S là số chấm hiển thị bởi một con súc sắc đơn lẻ và

Do đó, nếu ta sắp xếp một cặp súc sắc A và B sao cho số chấm TA của con

A có hàm sinh xác suất

và số chấm TB của con B có hàm sinh xác suất

thì tổng số chấm TA + TB sẽ có hàm sinh xác suất giống như S2

Do đó súc sắc A với mặt 1, 3, 4, 5, 6 và 8 và súc sắc B với mặt 1, 2, 2, 3, 3

và 4 sẽ đáp ứng yêu cầu

1.6 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV VÀ MARKOV BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ DE MOIVRE- LAPLACE

Trong lý thuyết xác suất, có những bất đẳng thức đánh giá sự phân bố xácsuất của các biến ngẫu nhiên dựa trên giá trị kỳ vọng của nó Trong phần này

ta xét một số bất đẳng thức sau :

Mệnh đề 1.6.1 Bất đẳng thức Chebyshev

Nếu X là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng và phương sai hữu hạn thì :

* Chứng minh :

Ví dụ 1.6.1 Một khối súc sắc được ném n lần, và Y n là tổng số chấm hiển thị

Biết rằng Phát biểu bất đẳng thức Chebyshev và tìm n sao cho