Giới Thiệu Về Ma Trận Qua Các Ví Dụ Và Hệ Phương Trình Tuyến Tính Theo Sách “Discovering Advanced Algebra”

Sách “Discovering Advanced Algebra – Khám phá đại số nâng cao” chochúng ta làm quen với khái niệm đơn giản về ma trận và các phép toán của nó,phục vụ cho cuộc sống thường nhật.. Gi i thi

Đ I H C S PH M HU ẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ ỌC SƯ PHẠM HUẾ Ư PHẠM HUẾ ẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ Ế

KHOA TOÁN

- -GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH

“DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA”

Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân

Nguyễn Thị Thùy Trang Hoàng Việt Cường

Võ Thị Diệu Trang

Huế, tháng 9 năm 2013

Đ I H C S PH M HU ẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ ỌC SƯ PHẠM HUẾ Ư PHẠM HUẾ ẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ Ế

KHOA TOÁN

- -GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH

“DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA”

Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân

Nguyễn Thị Thùy Trang Hoàng Việt Cường

Võ Thị Diệu Trang

Huế, tháng 9 năm 2013

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

L I M Đ U ỜI MỞ ĐẦU Ở ĐẦU ẦU 4

I GI I THI U V TÁC GI VÀ CU N SÁCH ỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH ỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ề TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ả VÀ CUỐN SÁCH ỐN SÁCH 5

1 Gi i thi u v tác gi ới thiệu về tác giả ệu về tác giả ề tác giả ả 5

2 Gi i thi u v cu n sách ới thiệu về tác giả ệu về tác giả ề tác giả ốn sách 5

II GI I THI U V MA TR N ỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH ỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ề TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH ẬN 7

1 Ma tr n bi u di n ận biểu diễn ểu diễn ễn 8

2 Các phép toán ma tr n ận biểu diễn 10

3 Ph ương pháp giảm hàng ng pháp gi m hàng ả 16

4 Ma tr n ngh ch đ o ận biểu diễn ịch đảo ả 20

III NH N XÉT VÀ SO SÁNH V I SÁCH V MA TR N VI T NAM ẬN ỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ề TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH ẬN Ở ĐẦU ỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH 23

1 Cách d n d t v n đ ẫn dắt vấn đề ắt vấn đề ấn đề ề tác giả 23

2 V n i dung ki n th c ề tác giả ội dung kiến thức ến thức ức 23

3 Hình th c trình bày ức 24

IV K T LU N Ế ẬN 24

TÀI LI U THAM KH O ỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ả VÀ CUỐN SÁCH 25

L I M Đ U ỜI MỞ ĐẦU Ở ĐẦU ẦU

Ma trận là một công cụ hữu hiệu cho cuộc sống Nhiều trường hợp cụthể trong cuộc sống được mô tả bằng ma trận Và như vậy, khi có ma trận cùngcác phép toán trên nó ta có thể giải quyết nhiều vấn để một các đơn giản

Sách “Discovering Advanced Algebra – Khám phá đại số nâng cao” chochúng ta làm quen với khái niệm đơn giản về ma trận và các phép toán của nó,phục vụ cho cuộc sống thường nhật

Nhóm chúng tôi đã đọc và tìm hiểu chương 6 của cuốn sách Sau đâyxin trình bày lại về nội dung “Giới thiệu ma trận qua hệ phương trình” qua cácphần sau:

I Giới thiệu về tác giả cuốn sách

II Giới thiệu về ma trận

III Nhận xét và so sánh với sách về ma trận ở Việt Nam

IV Kết luận

Từ nội dung được trình bày ở đây và ở các sách về Đại số tuyến tính, hivọng các bạn khám phá được những điều bổ ích về ma trận

Huế, tháng 9 năm 2013Nhóm tác giả

I GI I THI U V TÁC GI VÀ CU N SÁCH ỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH ỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ề TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ả VÀ CUỐN SÁCH ỐN SÁCH

1 Gi i thi u v tác gi ới thiệu về tác giả ệu về tác giả ề tác giả ả

Các tác giả của cuốn sách này là Jerry Murduck, Ellen Kamischke và EricKamischke Họ đều là các chuyên gia nổi tiếng của nền khoa học giáo dục Mỹ

Họ đều đã được vinh danh tại nhiều cuộc thi, giải thuởng lớn ở Mỹ và đượcxem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán Cả ba đều là nhữnggiáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sáchphục vụ cho việc dạy học Toán Trong đó ba nguời là đồng tác giả của bộ sách

“Discovering Algebra – Tìm hiểu về Ðại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lýthuyết và bài tập

2 Gi i thi u v cu n sách ới thiệu về tác giả ệu về tác giả ề tác giả ốn sách

Tên cuốn sách là: “Discovering Advanced Algebra: An Investigative

Approach – Khám phá Ðại số nâng cao: Cách tiếp cận bằng khảo sát ”

được viết bởi ba nhà giáo có uy tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, Ellen

Kamischke và Eric Kamischke Cuốn sách này là một trong ba quyển của bộ

sách “Discovering Mathematics – Khám phá Toán học” viết về các vấn đề

nâng cao của đại số Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những kiến

thức bổ sung và nâng cao hon so với cuốn sách “Discovering Algebra: An

Investigative Approach” (của cùng tác giả)

Cuốn sách gồm 13 chương:

Chương 0: Các cách giải quyết vấn dề

Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy

Chương 2: Mô tả dữ liệu

Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính

Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép biến dổi

Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm Lô-ga-rit

Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính

Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác

Chương 8: Phương trình tham số và Lượng giác

Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân thức

Chương 10: Hàm lượng giác

Chương 11: Chuỗi

Chương 12: Xác suất

Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê

Bên cạnh những vấn đề đại số cơ bản thì cuốn sách này cũng trình bàycác vấn đề về đại số nâng cao Tuy nhiên những kiến thức này được tác giảtrình bày có hệ thống với ví dụ minh họa rõ ràng Nên bạn đọc có thể nắm bắtkiến thức một cách tự nhiên và sẽ không gặp nhiều khó khăn

Cuốn sách này đưa ra một cách tiếp cận vấn đề mới đó là “InvestigativeApproach – cách tiếp cận bằng khảo sát” Do đó phần trọng tâm trong cuốnsách này chính là “Investigation”

II GI I THI U V MA TR N ỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH ỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH Ề TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH ẬN

Trong chương 6: “Matrics and linear systems”, tác giả giới thiệu về matrận và hệ thống tuyến tính Ở đây chúng ta sẽ tìm hiểu về ma trận và hệphương trình tuyến tính

Ở chương này ta sẽ:

 Sử dụng ma trận để tổ chức thông tin

 Giải hệ phương trình tuyến tính với ma trận

Sau đây ta sẽ tìm hiểu con đường đi đến ma trận thông qua các bài toánthực tế Ngoài ra, chúng ta còn tìm hiểu các phép toán ma trận, phép biến đổi

ma trận, ma trận nghịch đảo thông qua các bài toán thực tế, các bài ở lĩnh vựckhác như hình học với phép biến hình và hệ phương trình tuyến tính

Ma trận đã được nghiên cứu từ xa xưa Thời tiền sử đã có khái niệm hình

vuông Latin và hình vuông kì diệu.

Lịch sử hiện đại của ma trận gắn liền với việc giải hệ phương trình tuyến

tính Gottfried Leibniz đã phát triển lý thuyết về định thức từ năm 1693.

Gabriel Cramer tiếp nối sự nghiệp, với Quy tắc Cramer năm 1750 Carl Friedrich Gauss và Wilhelm Jordan đã phát triển phép khử Gauss vào những

năm 1800

Từ "ma trận" (trong tiếng Anh là matrix) được dùng chính thức lần đầu vào năm 1848 bởi J J Sylvester George Cayley, William Rowan Hamilton,

Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius và John von Neumann là

một vài trong số những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết ma trận

1 Ma tr n bi u di n ận biểu diễn ểu diễn ễn

Vào thứ 7, Karina khảo sát du khách đến núi tuyết và dịp cuối tuần thìthấy rằng 75% số người trượt tuyết vào hôm sau và 25% số đó trượt ván vàohôm sau Trong khi đó 95% số người trượt ván sẽ tiếp tục trượt ván và chỉ 5%quyết định trượt tuyết vào hôm sau Để mô tả thông tin này cô ấy dùng sơ đồnhư sau:

Các mũi tên và kí hiệu biểu thị kế hoạchngày hôm sau của du khách

Chẳng hạn, vòng tròn mũi tên với kíhiệu 75 chỉ rằng có 75% du khách trượt tuyết

sẽ trượt tuyết vào hôm sau Mũi tên với kíhiệu 25 diễn tả rằng có 25% số người trượttuyết sẽ trượt ván vào hôm sau

Sơ đồ như trên được gọi là sơ đồ

chuyển đổi bởi nó mô tả sự thay đổi của sự vật

trong thời gian tiếp theo Cùng thông tin đó đôi

khi cũng được biểu diễn bởi ma trận gọi là ma

trận chuyển đổi Ma trận là một hình chữ nhật

với sự sắp xếp các con số Chẳng hạn trong ví

dụ trên ma trận chuyển đổi có dạng sau:

Trong khi điều tra, ta sẽ tạo ra một sơ đồ chuyển đổi và ma trận chuyểnđổi biểu diễn sự thay đổi đó Ta cũng có thể sử dụng thông tin để xác định sốlượng người cụ thể trong khoảng thời gian đã qua

KHẢO SÁT

Bài toán: Nhà ăn của trường đưa ra cho học sinh lựa chọn giữa kem

hoặc sữa chua đông lạnh cho món tráng miệng Trong tuần đầu tiên có 220 học

sinh chọn kem, nhưng chỉ có 20 học sinh chọn sữa chua đông lạnh Trongnhững tuần tiếp theo có 10% ăn sữa chua chuyển sang kem và có 5% học sinh

ăn kem chuyển sang ăn sữa chua

những thông tin đã cho

biểu diễn thông tin đó Các dòng chỉ các đăng kí

hiện tại, các cột chỉ các đăng kí sau khi thay đổi

học sinh chọn kem và bao nhiêu chọn sữa chua?

bao nhiêu học sinh chọn?

Bước 5: Viết chương trình đệ quy cho tuần bất kì và giá trị của tuần kếtiếp

và chọn sữa chua

Ta có thể sử dụng ma trận để tổ chức nhiều loại thông tin khác nhau.Chẳng hạn ma trận dưới đây dùng để biểu diễn số sách giáo khoa toán, khoahọc và lịch sử được bán trong tuần này của tiệm sách và chi nhánh của nó Cácdòng từ trên xuống lần lượt biểu diễn sách toán, khoa học, lịch sử và các cột từtrái qua phải biểu thị số sách bán ở nhà sách chính và ở chi nhánh

Kích thước ma trận cho biết số lượng hàng và cột,

trong trường hợp này là 3×2 (đọc là “3 nhân 2”)

Mỗi con số trong ma trận được gọi là một phần tử và

được kí hiệu là aij trong đó i chỉ số hàng và j chỉ số

cột tương ứng Trong ma trận [ A ] ở bên, a21=65

Ta có thể sử dụng ma trận để biểu diễn tọa độ

các đỉnh liên tục của một hình

Vì mỗi đỉnh có 2 tọa độ và có 4 đỉnh nên ta sẽ

tọa độ y của một đỉnh Hàng thứ nhất chứa tọa độ

x của các đỉnh liên tục, tọa độ y tương ứng viết ở

hàng thứ 2

[ M ] = [ 1 −2 −3 2 1 −1 −2 2 ] .

Ví dụ 2: Trong cuộc khảo sát của Karina ở đầu

bài học cô ấy đã khảo sát 260 người trượt tuyết và

40 người trượt ván Mỗi hoạt động sẽ có bao nhiêu

người tham gia vào hôm sau?

GIẢI:

Trong ngày tiếp theo, số người trượt tuyết là 260(.75)+40(.05)=197

Và số người trượt ván là 250(.25)+40(.95)=103

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ học cách tính toán với ma trận và dùng

nó để giải bài toán ở ví dụ 2

2 Các phép toán ma tr n ận biểu diễn

Như đã trình bày ở phần 1, ma trận là một cách tổ chức dữ liệu, tương tựnhư bảng Ta có thể biểu diễn dữ liệu trong một ma trận thay cho bảng Ngoài

ra khi biểu diễn dữ liệu bằng ma trận thay cho bảng ta có thể thực hiện cácphép toán như phép cộng và phép nhân các dữ liệu Trong bài này, ta sẽ thấyđiều này rất hữu ích

Xét bài toán trong phần 1 Ma trận [ A ] biểu thị số sách toán, khoa học,

và lịch sử đã bán trong tuần này tại hiệu sách chính và các chi nhánh Ma trận

[ B ] chứa những thông tin tương tự ma trận [ A ] nhưng của tuần trước Hỏi

tổng số sách đã bán, loại sách và địa điểm bán trong cả 2 tuần?

[ A ] = [ 83 33 65 20

Để giải bài toán này, ta cộng ma trận [ A ] và [ B ]

Để cộng hai ma trận, ta cộng các giá trị tương ứng Vì vậy để cộng hoặctrừ hai ma trận thì chúng phải có cùng kích thước Các hàng và các cột tươngứng cũng có sự biểu diễn tương tự nhau nếu kết quả hợp lí

Trong phần 1, ta sử dụng một ma trận để biểu thị tọa độ các đỉnh của mộttam giác Ta có thể sử dụng các phép toán của ma trận để biến đổi hình dạngtam giác như biến đổi đồ thị của một hàm số

Ví dụ 1: Ma trận sau biểu diễn một tam giác [ −3 1 2 2 3 −2 ]

a Vẽ tam giác và ảnh của nó qua phép tịnh tiến sang trái 3 đơn vị Viết biểu thức

ma trận biểu diễn phép biến đổi đó

b Mô tả sự biến đổi tương ứng của ma trận sau

a Sau khi tịnh tiến sang trái 3 đơn vị, tọa độ x của ảnh giảm 3 đơn vị, tọa

độ y không có sự thay đổi gì Ta có thể biểu diễn phép biến đổi này bằng phéptrừ của hai ma trận

Phép nhân ma trận với một số được gọi là

tích vô hướng Mỗi phần tử trong ma trận là

tích với một vô hướng, trong trường hợp này

là 2

Ma trận kết quả được giãn ra cả bề ngang

lẫn chiều dọc với hệ số tỉ lệ là 2 Phép biến đổi

làm giãn ra hoặc co rút lại cả bề ngang và bề

dọc bởi cùng một thang số gọi là phép giãn

Bây giờ chúng ta cùng trở lại với bài toán đã khám phá ở phần 1

Ví dụ 2: Nhà ăn của trường đưa ra cho học sinh lựa chọn giữa kem hoặc

sữa chua đông lạnh cho món tráng miệng Trong tuần đầu tiên có 220 học sinhchọn kem, nhưng chỉ có 20 học sinh chọn sữa chua đông lạnh Trong những

1260

00

3332

tuần tiếp theo có 10% ăn sữa chua chuyển sang kem và có 5% học sinh ăn kemchuyển sang ăn sữa chua Hỏi có bao nhiêu học sinh sẽ lựa chọn kem và baonhiêu học sinh lựa chọn sữa chua cho món tráng miệng trong tuần thứ 2 vàtuần thứ 3?

GIẢI:

Ta có thể sử dụng biểu thức ma trận để tìm đáp án cho tuần thứ 2 như sau:

[ 220 20 ] [ .95 05 10 90 ] = [ kem suachua ]

Ma trận ban đầu [ A ] = [ 220 20 ] biểu thị số người tuần đầu ăn kem và số

người tuần đầu ăn sữa chua

Ma trận tiếp theo [ B ] = [ .95 05 10 90 ] , hàng trên biểu diễn sự chuyển đổi

số người ăn kem, hàng dưới biểu diễn sự chuyển đổi số người ăn sữa chua

Ta có thể xác định phép nhân hai ma trận qua quan sát cách tính số người

ăn kem và số người ăn sữa chua trong tuần thứ 2 Số người ăn kem của tuầnthứ 2 là 220.(0.95)+20(0.10)= 211 học sinh Vì 95% trong số 220 người ănkem không chuyển sang ăn sữa chua và 10% trong số những người ăn sữa chuachuyển sang ăn kem Ta nhân hai phần tử trong hàng 1 của ma trận [ A ] với 2

phần tử trong cột 1 của ma trận [ B ] rồi cộng các tích đó lại Kết quả là 211,

là giá trị của c11 trong ma trận kết quả [ C ] .

[220 20] [ .95 05 10 90 ] = [211 sữa chua ] Tương tự, Số người ăn sữa chua của tuần thứ 2 là 220.(0.05)+20(0.90)=

29 học sinh Vì 5% trong số người ăn kem chuyển sang ăn sữa chua và 90%trong số những người ăn sữa chua không chuyển sang ăn kem Số người ăn sữachua trong tuần thứ 2 là tổng các tích của phần tử trong hàng 1 của [ A ] và

cột 2 của [ B ] , Đáp án là 29, giá trị của c22 trong ma trận kết quả [ C ] .

Ma trận ban đầu Ma trận tiếp theo Ma trận kết quả

trận cỡ 2×3 Vì kích cỡ bên trong giống

nhau: 2 giá trị hàng nối với 2 giá trị cột

Kích cỡ bên ngoài cho ta biết kích cỡ của ma trận kết quả

Đáp án cho tích này có cỡ 2×3

[−1 00 1][−3 12 3 −22 ]=[c11 c12 c13

c21 c22 c23]

b Để tìm giá trị của phần tử trong hàng thứ nhất của ma trận kết quả, ta cộngcác tích của phần tử trong hàng thứ nhất của ma trận 1 với phần tử trong cộtcủa ma trận 2

Để tìm giá trị của phần tử trong hàng thứ hai của ma trận kết quả, ta cộngcác tích của phần tử trong hàng thứ hai của ma trận 1 với phần tử trong cột của

ma trận 2

V y tích là: ậy tích là: [ −3 1 2 2 3 −2 ]

KHẢO SÁT: Cho các ma trận sau:

[ A ] = [ −1 1 2 3 ] , [ B ] = [ 3 0 −2 4 ] , [ C ] = [ −2 3 0 −1 5 4 ] , [ D ] = [ 1 0 0 1 ]

Tìm [ A ][ B ] và [ B ][ A ] Chúng có giống nhau không?

Tìm [ A ][ C ] và [ C ] [ A ] Chúng có giống nhau không? Cần chú ý điều

gì?

Tìm [ A ][ D ] và [ D ][ A ] Chúng có giống nhau không? Cần chú ý điều

gì?

TÓM TẮT: Xem lại những định nghĩa về các phép toán của ma trận ta đã học

được trong bài này

Để cộng các ma trận, ta cộng các giá trị tương ứng:

Ta chỉ có thể cộng ma trận nếu các ma trận đó có cùng kích cỡ

Để nhân một vô hướng với một ma trận Ta nhân vô hướng đó với mỗi giá trịcủa ma trận tương ứng trong cột của ma trận

ma trận [ A ] với phần tử tương ứng trong cột của ma trận [ B ]

Phần tử cij trong ma trận kết quả [ C ] là tổng các tích của mỗi phần tử trong

hàng i của ma trận thứ nhất và phần tử cột j ở vị trí tương ứng của ma trận thứ

2 Số phần tử trong hàng của ma trận [ A ] phải bằng số phần tử trong cột của

ma trận [ B ] Tức là kích cỡ bên trong phải bằng nhau.

Ma trận kết quả có số hàng giống ma trận [ A ] và số cột giống ma trận [ B ] ,

hay còn gọi là kích cỡ bên ngoài

Bất kỳ hệ phương trình ở dạng chuẩn có thể được viết như một ma trận.Ví