Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thông

Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN Tôi tên: Lê Thị Huyền Ngày sinh: 12/04/1985 Nơi sinh: Quảng Ngãi Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp d

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

Lời ñầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến TS Nguyễn Ái Quốc, người ñã tận tình hướng dẫn và ñộng viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn ñến quí thầy cô: PGS TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh về những bài giảng didactic thú vị

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot và TS Alain Birebent về những lời góp ý cho luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quí thầy cô và các em học sinh trường THPT Gia Định; Khoa Toán trường Đại học Nông Lâm và các sinh viên ngành quản lý môi trường khóa 2010 ñã luôn hỗ trợ và giúp ñỡ tôi ñể tôi hoàn thành tốt khóa học và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh ñã tạo ñiều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic toán khóa 18 ñặc biệt là anh Đinh Quốc Khánh về những sẻ chia và giúp ñỡ trong thời gian học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn ñến gia ñình và những người bạn vì những sự quan tâm và ñộng viên giúp tôi hoàn thành khóa học

Lê Thị Huyền

SGK : Sách giáo khoa

Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton

cho sinh viên sư phạm

Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN

Tôi tên: Lê Thị Huyền

Ngày sinh: 12/04/1985 Nơi sinh: Quảng Ngãi

Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Toán khóa: 18

Tôi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương

trình phổ thông”

tại hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010

Tôi đã sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn đúng với các góp ý, yêu cầu của Hội đồng và

ủy viên nhận xét, gồm các ý chính như sau:

+ Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số phức bằng dạng lượng giác.”

+ Phát biểu lại Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy học số phức”

+ Thêm một chiến lược trong phần phân tích thực nghiệm bài thực nghiệm số 3

+ Sửa một số lỗi chính tả, một số phần diễn đạt ý…

Nay tôi xin báo cáo đã hoàn thành sữa chữa luận văn như trên và đề nghị Hội đồng chấm luận văn, cán bộ hướng dẫn xác nhận

Tp Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 3 năm 2011

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban ñầu và câu hỏi xuất phát:

Khái niệm số phức ñược ñưa vào cuối chương trình Toán giải tích lớp 12, sau khi hoàn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng

Như ta ñã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực Ax2 +Bx C+ = 0 mà

và toán học nói riêng ñòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp

số mới gọi là tập hợp các số phức, trong ñó các phép tính cộng và nhân các số phức với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số thực sao cho các phương tình nói trên ñều có nghiệm

Ở chương trình phổ thông, số phức ñã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình toán ở nhiều nước trên thế giới Tuy nhiên ở Việt Nam, ñối tượng số phức ñược ñưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban thí ñiểm năm 1998 Sau ñó ñến năm học 2008-2009 mới ñưa vào Như vậy có một

sự ngắt quãng Tại sao có sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trò của khái niệm số phức trong chương trình phổ thông Việt Nam giống và khác nhau như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñưa ra như thế nào?

Những ghi nhận ban ñầu nói trên ñưa chúng tôi ñến việc ñặt ra các câu hỏi sau: Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñã ñược hình thành và phát triển như thế nào?

Q2’: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào ở bậc ñại học?

Q3’: Số phức ñược ñưa vào chương trình toán THPT với mục tiêu gì? Nó ñược tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñề cập như thế nào và các ứng dụng của nó ra sao? Có sự tương ñồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy học?

Q4:’ Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào trên giáo viên và học sinh về khái niệm số phức?

Q5’: Học sinh hiểu như thế nào về khái niệm số phức; những khó khăn học sinh thường gặp phải khi học tập những kiến thức về số phức; có những hợp ñồng nào hình thành trong giáo viên và học sinh không; có những quan niệm sai lầm nào của học sinh trong khi học số phức?

2 Khung lý thuyết tham chiếu:

Chúng tôi ñặt mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán Cụ thể chúng tôi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với các khái niệm sau:

2.1 Chuyển ñổi Didactic:

Trong nhà trường phổ thông, ñối với một môn học, người ta không thể dạy cho học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại ñã tích lũy ñược trong lịch sử Hơn nữa, ñể tri thức bộ môn trở nên có thể dạy ñược, cần phải lựa chọn, sắp xếp

và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác ñịnh Chuyển ñổi didactic, nói khác hơn là quá trình biến ñổi một tri thức bác học thành một ñối tượng tri thức dạy học Việc qui ñịnh các ñối tượng cần dạy ñược thể hiện thông qua chương trình, SGK, ñề thi, tài liệu ôn thi của Bộ giáo dục, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK

Khái niệm này ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách giữa tri thức khoa học và tri thức cần dạy ñối với khái niệm số phức Nó cũng giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần dạy và giải thích ñược một số ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thông ñối với các kiến thức nêu trên

2.2 Quan hệ thể chế

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở ñâu,

2.3 Quan hệ cá nhân

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào

về O, có thể thao tác O ra sao?

Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần ñặt nó trong R(I, O)

2.4 Tổ chức toán học:

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần

[T, , ,τ θ Θ], trong ñó T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ

Một praxéologie mà các thành phần ñều mang bản chất toán học ñược gọi là một

tổ chức toán học (TCTH)

Việc phân tích các TCTH liên quan ñến ñối tượng tri thức O cho phép ta làm

rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ ñó hiểu ñược quan hệ mà các nhân X duy trì với tri thức O

2.5 Hợp ñồng Didactic:

Hợp ñồng didactic là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của học sinh và giáo viên về các ñối tượng tri thức toán học Thông thường, nó là tập hợp các quy tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên – học sinh

và giáo viên – về một tri thức toán học ñược giảng dạy Hợp ñồng didactic là qui tắc giải mã các hoạt ñộng của quá trình học tập Chỉ có thể hiểu thấu ý nghĩa của những gì ñịnh hướng cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện ñã quan sát bằng những khuôn khổ của hợp ñồng

3 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát

ñã ñược chúng tôi cụ thể hóa như sau:

Q1: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển

như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?

Q2: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?

Q3: Số phức ñược ñưa vào chương trình trung học phổ thông với mục tiêu gì?

Nó ñược tiếp cận ra sao? Sự ràng buộc của thể chế có ảnh hưởng như thế nào ñến việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức?

Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc

phải khi học số phức? Những hợp ñồng nào ñược hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy học số phức”

4 Mục ñích và phương pháp nghiên cứu

Mục ñích nghiên cứu của chúng tôi là ñi tìm câu trả lời cho những câu hỏi ñã ñặt ra ở mục 2 Để ñạt ñược mục ñích ñề ra, chúng tôi xác ñịnh phương pháp nghiên cứu như sau:

- Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử toán học, trong ñó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức Số phức ñược xây dựng như thế nào, các mô hình hình học của số phức ñược các nhà toán học xây dựng như thế nào?

- Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình ñại học Cụ thể là giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam Từ ñó làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế trong chương sau

- Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn ñề số phức ñể thấy ñược mong muốn của thể chế ñưa ra ở ñây là gì? Từ ñó so sánh với thể chế dạy học toán ở Việt Nam về khái niệm số phức

- Xây dựng và tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh ñể cho phép tìm câu trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt ra

5 Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm 6 phần: Phần mở ñầu, 4 chương và phần kết luận chung

Trong phần mở ñầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban ñầu, khung lý

thuyết tham chiếu; mục ñích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn

Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất

hiện số phức; các mô hình học của số phức trong lịch sử

Chương 2, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong

lịch sử và trong một số giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam

Chương 3, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa của hai thể chế

Pháp (chương trình song ngữ) và Việt Nam về khái niệm số phức Từ ñó so sánh

và ñưa ra một số hợp ñồng didactic, sai lầm của học sinh và các giả thuyết nghiên cứu

Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng các

hợp ñồng didactic và giả thuyết của luận văn

Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt các kết quả ñã ñạt ñược ở

chương 1,2, 3 và 4 và nêu ra một số hướng mở ra từ luận văn

Chương 1 NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NÓ TRONG

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN

Mở ñầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời câu hỏi Q1: “Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?”

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự hình thành và phát triển của toán học nói chung cũng như số phức nói riêng

Các tài liệu chúng tôi chọn làm tư liệu trong chương này gồm có:

1 LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trò của phân tích

khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn

Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh

2 HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch

sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học

thành phố HCM

3 NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen

dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục

4 NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản

ñại học quốc gia thành phố HCM

5 NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ

6 WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math

through the Ages, a gentle history for teachers and others

7 Remark on the history of Complex Numbers

8 FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company,

1 Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức

Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano ñưa ra vấn ñề về việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40 Theo những kiến thức lúc bấy giờ thì không tồn tại hai số ñó nhưng Cardano chỉ ra rằng

thực có tổng là 10 và tích là 40 Nhưng ông chỉ ñưa ra một cách qua loa những dạng này như là một “trò chơi vô nghĩa” của những “kẻ rỗi việc” Trong một cuốn sách khác, ông nói rằng 9 cũng là 3 hay -3 và − 9 cũng là +3 hay -3 nhưng chúng là “số 3 không có gì cả”

Trong một ví dụ ñầu thế kỉ 17, Descartes lưu ý rằng khi tìm giao ñiểm của một ñường tròn và một ñường thẳng ta phải giải một phương trình bậc hai Công thức nghiệm của phương trình bậc hai dẫn ñến căn bậc hai của số âm khi ñường thẳng trong thực tế không cắt ñường tròn Vì vậy trong hầu hết các phần, sự cảm nhận có

sự xuất hiện của nghiệm “không thể” hay “nghiệm ảo” thì ñơn giản là câu trả lời cho phương trình không có bất kì nghiệm nào

Thành tựu lớn nhất của Cardano là tìm công thức giải cho phương trình bậc ba

0

viết lại bằng ngôn ngữ hiện ñại là:

trường hợp gặp phải rắc rối

Giả sử cho phương trình 3

Dựa vào những ñiều ñã biết khi giải phương trình bậc hai, dường như kết luận

là nghiệm của phương trình trên Vậy kết luận trên là sai lầm

Cardano ñã ñưa ra vấn ñề này nhưng hầu như không ai biết ñến nó Ông ñã ñề cập hai lần trong những cuốn sách của mình

Vào năm 1560, Bombelli ñã ñưa cách thoát khỏi những bối rối ñó Ông tranh luận rằng, ta có thể khai triển với loại “căn số mới” này Để nói về căn bậc hai của

cộng căn trừ 121, thì ông nói rằng 2 cộng của trừ căn của 121 Do ñó, “cộng của trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm Tất nhiên, trừ căn bậc

nó như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép toán như sau:

“Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ

Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng”

Theo ngôn ngữ hiện ñại, có nghĩa: i i× = − − × − = − 1; i i 1 ;i× − =i 1

Nhưng Bombelli không thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số Đúng hơn, ông dường như ñưa ra những qui tắc mà cho phép ông chuyển những công thức phức tạp như 3 2 + − 121 − 3 2 + − 121 về những biểu thức ñơn giản hơn

hiệu ñầu tiên nói rằng số phức là công cụ toán học thực sự hữu ích Nhưng

những ñiều ñó ñều vấp phải sự phản ñối của những ñịnh kiến cũ

Nữa thế kỷ sau ñó, cả hai ông Girard và Descartes biết rằng phương trình bậc n

sẽ có n nghiệm Nó cho phép căn bậc hai ñúng (căn bậc hai của số dương) và căn bậc hai sai (căn bậc hai của số âm) và nghiệm phức Nó giúp tạo ra những công thức nghiệm tổng quát và ñơn giản hơn Nhưng những nghiệm phức vẫn thường ñược mô tả như là “”ngụy biện”, “không thể”, “ảo” hay là “vô nghĩa, vô lý”

Vào ñầu thế kỉ 18, Moivre ñưa ra công thức nối tiếng sau

(cosx+isinx)n = cosnx+isinnx (Công thức này ngầm ẩn trong các công trình của

Moivre, mặc dù nó không ñược phát biểu dưới dạng này)

sự liên kết tất cả với nhau khi ông phát minh ra công thức e ix = cos +x isinx Khi π

=

vì nó liên kết một số khái niệm quan trọng nhất trong toán học

Giữa thế kỷ 18, người ta biết ñến số phức như là một bước cần thiết ñể giải quyết các vấn ñề về số thực Nó ñóng vai trò quan trọng trong những thuyết về phương trình, và có mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, hàm lượng giác và dạng

mũ

Nhưng cũng còn rất nhiều vấn ñề Ví dụ, Euler làm rối tung những căn thức giống −2 Căn của một số thực ñược ñịnh nghĩa: 2 có nghĩa là căn bậc hai dương của 2 Vì số phức không dương, không âm nên không có sự lựa chọn căn

6 2 3 2

3

; 2 2

.

dụng công thức thứ 2 vào công thức thứ nhất thì kết quả không ñúng

Mặc dù Euler sử dụng số phức rất nhiều, nhưng ông không giải quyết lại những ñiều mà chúng ta ñã nói ở trên Trong cuốn Đại số sơ cấp, ông viết:

“ Vì mọi số ñều có thể so sánh với 0, nhỏ hơn hay lớn hơn hay bằng 0 Do ñó,

ta không thể ñưa căn bậc hai của một số âm vào ñội ngũ “những số có thể” Trong cách này, những số ñó ñược gọi là những ñại lượng ảo vì nó tồn tại trong sự tưởng tượng Mọi ký hiệu − 1 ; − 2 , − 3 là những số không thể, số ảo Và chúng ta thừa nhận những số này không là gì cả, không lớn hơn hay nhỏ hơn bất cứ thứ gì Điều ñó có nghĩa chúng là ảo hay không tồn tại

Nhưng dù sao ñi nữa, những số này vẫn ở trong ñầu chúng ta, chúng tồn tại trong sự tưởng tượng của chúng ta và chúng ta vẫn có những ý tưởng về chúng”

Quan ñiểm của hầu hết các nhà toán học thế kỷ 18 là “Số phức là những số

tưởng tượng có ích”

Gauss là người thực sự có ý tưởng ñầu tiên về số phức vào năm 1831 và dùng

kí hiệu a+bi ñể chỉ số phức, trong ñó a, b là các số thực, i là ñơn vị ảo Khi a = 0 thì a+bi = bi là số ảo; khi b = 0 thì a+bi = a là một số thực

Thế kỷ 19, bắt ñầu xuất hiện những nhu cầu về số phức Argand, một người bán sách ở Paris là người ñầu tiên ñưa ra ñề nghị trong một xuất bản 1806 Nó làm

rõ một số giả thuyết về những số tưởng tượng hay những số ảo kỳ quái bằng cách biểu diễn chúng bằng hình học Các ñiểm với toạ ñộ của chúng có sự tương

nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và chỉ ra rằng nó có thể là một thành phần toán học có ích.Và Gauss cũng ñề xuất các ñiều kiện cho số phức Hai năm sau ñó, Hamilton chỉ ra rằng, ta có thể bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa những cặp sắp thứ tự trong một cách thuận lợi và kết thúc là sự ñồng nhất với số phức

Hamilton nó rằng số “hư cấu” i chỉ là một ñiểm (0, 1)

Các nhà toán học luôn tìm kiếm ñề tài cho số phức bởi vì sau ñó, chúng quá hữu ích ñến nỗi mà chúng ta khó tránh tiếp xúc với nó Euler và Gauss dã chỉ ra

Hamilton ñã ñúc kết những ứng dụng của số phức trong vật lý Cauchy và Gauss cũng chỉ ra rằng có thể phát minh ra 1 phương pháp tính ứng dụng cho số phức “Phép tính phức” này ñóng vai trò to lớn, một phần bởi vì nó chứng minh dễ dàng hơn phép tính chỉ ñơn thuần dựa vào số thực

Trong sổ tay của Riemann,Weierstrass và những người khác, số phức trở

thành một công cụ hết sức mạnh mẽ, ñóng vai trò trung tâm trong toán học thuần túy và toán học ứng dụng Thậm chí, Hadamard nói rằng “nếu chúng ta chỉ

quan tâm về số thực và những câu trả lời về số thực, cách dễ nhất thường chứa

ñựng số phức” Vì vậy, lý do mà chúng ta phải tin vào số phức là: “tại vì số phức

rất hữu dụng”

Nhận xét: Khái niệm số phức nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các bài

toán của khoa học toán học Tuy nhiên, ñó không phải là bài toán bậc hai như chúng ta thường thấy trong chương trình toán ở trường phổ thông hay thậm chí trên bậc ñại học mà là những bài toán gắn liền với việc tìm nghiệm thực của

phương trình bậc ba

Tóm lại, chính trong quá trình ñi tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba

mới là ñộng cơ nảy sinh ra số phức

2 Vấn ñề biểu diễn hình học của số phức trong lịch sử

Từ thế kỷ 16, mầm mống của số phức ñã xuất hiện Việc mở rộng hệ thống tính toán ñại số ñã ñòi hỏi phải ñưa vào căn bậc hai của số âm với tư cách là trung gian của tính toán

Tuy nhiên, ñến tận thế kỷ 19, vấn ñề hợp thức căn bậc hai của số âm vẫn luôn

là một trong những nổi bận lòng của các nhà toán học về phương diện triết học Người ta gọi ñây là những ñại lượng ảo, xem nó là sản phẩm của trí tuệ thuần túy,

là một ký hiệu hình thức, là ñối tượng ñược lấy làm trung tâm cho các tính toán ñại số Người ta luôn quan tâm ñến câu hỏi: nó biểu diễn cho ñối tượng nào của thực tế toán học?

Việc tìm thấy nghĩa của ñại lượng ảo ñược thực hiện trong phạm vi hình học thông qua các công trình của nhiều nhà toán học

2.1 Mô hình của Wallis:

Năm 1673, Wallis ñề nghị một hình ảnh phát họa cho các ñại lượng ảo Trong cuốn “Algebra” xuất bản năm 1685, ông chính thức ñưa ra một giải thích các ñại lượng ảo:

“Nếu ta giả sử rằng mặt rộng này là -1600 perches, nghĩa là 1600 perches mất,

và nó có dạng hình vuông, thì liệu có hay không cạnh của hình vuông này? Nếu có thì bằng bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh này không thể là +40 hay -40, vì hình vuông

(căn giả ñịnh của một số âm), hay 10 − 16 , 20 − 4 , 40 − 1”

là -1600 perches, nhưng trong hình ảnh hình học sơ khai này các ñại lượng ảo

vẫn tồn tại trong sự tưởng tượng

Tuy nhiên mô hình của ông thất bại vì ông không ñem lại một sự giải thích thỏa ñáng cho phép nhân Phương pháp của ông là khái quát hóa vào mặt phẳng

mô hình cộng của những cái ñược và mất ñã ñược sử dụng ñể giải thích cho các ñai lượng âm

Theo ngôn ngữ hiện ñại thì ta có thể nói rằng, việc mở rộng từ R vào C của Wallis có cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z Thực ra, phép tương tự ở ñây chỉ là sự tương tự bề ngoài, nó không tính ñến cấu trúc nhân Trong thực tế,

mô hình của những cái ñược và mất ñã ñược dùng cho các ñại lượng âm không chỉ

vì nó mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết nó tính ñến cấu trúc cộng của Z Thế nhưng ở ñây cái liên quan ñến tập hợp các số ảo không phải là cấu trúc cộng mà là cấu trúc nhân của nó Mô hình ñược và mất không còn thích hợp ở ñây nữa

2.2 Mô hình của Wessel:

Khám phá ñầu tiên về việc biểu diễn hình học các số phức dường như là công trình nghiên cứu của Wessel ñược công bố năm 1797

Wessel không trực tiếp tìm cách giải thích sự tồn tại của các số phức, mà theo cách nói của ông là tìm cách biểu diễn các phương bằng giải tích Ông nhận thấy rằng, với kỹ thuật của ñại số cổ ñiển thì một hướng chỉ có thể ñược biến ñổi thành hướng ñối của nó, ñến nổi mà khi ñã cố ñịnh một phương thì người ta chỉ có thể xét cùng lúc các ñường có hai hướng ñối nhau Để khắc phục các thiếu sót này, Wessel tìm cách mở rộng các tính toán ñại số trên mọi ñường của không gian sao cho không làm thay ñổi các qui tắc tính toán quen thuộc

Để xây dựng một hệ thống tính toán như vậy, ñầu tiên ông ñịnh nghĩa phép

cộng hai ñường Trong ñịnh nghĩa của ông về tổng hai ñường, ta tìm thấy quan

niệm (ngầm ẩn) về ñại diện của vectơ Ông cũng lưu ý rằng thứ tự các ñường

trong phép cộng không quan trọng Sau ñó, ông ñưa vào phép nhân hai ñường

ñồng phẳng Tích hai ñường ñồng phẳng là một ñường ñồng phẳng có chiều dài

bằng tích các chiều dài và ñộ nghiêng bằng tổng các ñộ nghiêng của hai ñường ban ñầu

Theo qui ước của Wessel, một ñường ñơn vị ñược ñược cố ñịnh và kí hiệu là +1 Một ñường ñơn vị khác vuông góc với nó và có cùng ñiểm gốc ñược kí hiệu là

δ

nghĩa như trên thì − =1 δ và ( )( )+δ +δ = −1

cũng chứng minh ñược rằng các bán kính của ñường tròn ñơn vị ñược viết ở dạng

cosv+δsinv hay a+δb và người ta có thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hửu tỷ

những biểu thức như vậy

2.3 Mô hình của Argand

Năm 1806 Jean Robert Argand (1768-1822) công bố Tiểu luận về một cách

biểu diễn ñại lượng ảo trong phép dựng hình học, trong ñó ông ñưa ra cách biểu

diễn hình học của phép cộng và phép nhân các số phức

Điểm xuất phát ñầu tiên của Argand là ñại số

Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai ñơn vị có hướng ñối nhau,

1

x x

+

=

− Hiển nhiên ta có x.− = −x 1 Vì ñại

lượng x không thể âm, cũng không thể dương nên cần một hướng thứ 3 chứa x Với tư tưởng này, ông biểu diễn các số thực trên cùng một trục, sau ñó xét trục vuông góc với trục thứ nhất tại ñiểm gốc của nó Trên trục thứ hai, hai ñại lượng

diễn hình học ñã ñược ñặt ra

Ông cũng ñưa vào khái niệm ñường ñịnh hướng:

“Đường ñịnh hướng ñược phân biệt với ñường tuyệt ñối- ñường mà người ta chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm gì về hướng”

Để liên kết các ñường ñịnh hướng với nhau, ông chỉ ra rằng những ñường song

1

b

Sau ñó ông thiết lập sự tương ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học ñược thực hiện trên các ñường ñịnh hướng

Nhận xét

Trong quá trình tìm nghiệm của phương trình bậc ba thì mầm mống của số

phức ñã bắt ñầu xuất hiện Tuy nhiên, nó chỉ là cách viết trung gian ñể tìm nghiệm của phương trình bậc 3 Chính bài toán tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba

mới dặt ra vấn ñề là: mọi phương trình bậc ba có nghiệm thực không? Nếu có thì làm sao xác ñịnh ñược chúng

Người Hy Lạp cổ ñặc biệt Euclide (330-275 trước công nguyên) ñã tìm ra cách giải nhưng không thành công các bài toán dẫn ñến phương trình bậc ba Như bài toán “chia ba góc 60 0” dẫn tới phương trình x3 = 3x+ 1 Việc giải phương trình này ñược thực hiện nhờ vào phép dựng hình học

Phép dựng hình học nghiệm thực của phương trình bậc ba ñã thành công ở nhiều nhà toán học, chẳng hạn Al – Haytham (965-1093) khi giải bài toán của Archimede Bài toán này dẫn tới phương trình bậc ba dạng 3 2 2

ax +a b=cx và nghiệm ñược xác ñịnh từ giao của parabol 2

x =ay và hyperbol y c( −x)=ab Nhưng biểu thức ñại số của các nghiệm này vẫn chưa xuất hiện trong lời giải Cũng chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học của số phức mà hệ thống tính toán vectơ ñã ñược tạo ra

Kết luận

Trong phân tích trên chúng ta thấy rõ nếu chỉ có các số thực thì ta sẽ gặp bế

tắc trong việc giải các phương trình bậc ba và việc giải quyết bế tắc này ñã ñưa ñến việc phát minh ra số phức Và cũng từ số phức người ta chứng minh ñược mọi phương trình bậc n ñều có n nghiệm Đây là ñịnh lý mà ngày nay người ta gọi là

“ Định lý cơ bản của Đại Số Học” Hơn nữa việc phát minh ra số phức còn thúc ñẩy các lĩnh vực khác tiến thêm một bước nữa và có những ngành Toán học mới

ra ñời như: lý thuyết hàm số biến số phức… Có thể nói số phức là cầu nối giữa Đại Số và Giải Tích

Chương 2

SỐ PHỨC DƯỚI GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC KHOA HỌC

Mở ñầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời cho câu hỏi Q2:

“Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?”

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong lịch sử và các cách xây dựng trường số phức trên bậc ñại học Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu ba giáo trình ñại học khác nhau của ba nước Mỹ, Anh và Việt Nam

Để thực hiện chương này, chúng tôi ñã sử dụng một số tài liệu tham khảo sau:

1 NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen

dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục

2 NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản

ñại học quốc gia thành phố HCM

3 NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ

4 ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà

xuất bản giáo dục

5 MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A

First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco

State University, San Francisco CA 94132

6 W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London

7 NGUYỄN VĂN ĐÔNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

1 Các quan ñiểm về xây dựng khái niệm số phức trong lịch sử

ñến năm 1831 những ý tưởng của ông về số phức mới ra công khai dưới dạng

thực tế, bạn bè cùng học trò của Gauss ñều biết rằng những phát minh ñó hình thành ñã lâu trong ñầu óc ông và ñã nằm khá lâu trên bàn viết của ông rồi Gauss

ñã ý tưởng về số phức dưới góc ñộ số học và sau ñó biểu diễn số phức dưới dạng hình học

Hamilton (1805 – 1865) là người Anh, ông ñã nghiên cứu số phức Ông xem số phức như ñược cấu thành từ một cặp số thực (a,b) và trên cở sở ñó Hamilton xây dựng phép cộng phép nhân :

Phép cộng: ( ) (a,b + a',b') (= a a',b b' + + )

Phép nhân: ( )(a,b a',b') (= aa' bb',ab' ba'− + )

Các số thực ñược ñồng nhất với cặp số (a,0) và người ta có :

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0).(1,0) + (b,0).(0,1)

Cặp (1,0) gọi là ñơn vị sơ cấp; cặp (0,1) gọi là ñơn vị thứ cấp và từ ñó người

ta có thể ñồng nhất số phức (a,b) với a b 1 + −

nhưng trong lý thuyết các cặp số thì ký hiệu − 1có một ý nghĩa, nó chỉ ra một khai căn có ý nghĩa hay một cặp thực Trong lý thuyết này ta có thể dùng ký hiệu

mà trước ñây ta cho là vô lý”

Tuy ñã ñạt ñến ñỉnh khá cao của lý thuyết số phức nhưng Cauchy vẫn luôn ám ảnh bởi tính chất kỳ diệu của nó Ông không hài lòng về những cái gì ông ñã ñạt ñược về số phức và lúc nào cũng tìm cách nghĩ ra một cái gì ñó mới cho nó Một

trong lý thuyết mới ñó là sự tương ñương ñại số Cauchy viết: “Lý thuyết số phức

ngày nay ñã quá rõ ràng, trong sáng, dễ hiểu và sẽ thích hợp với mọi tầm cỡ hiểu

biết nếu chúng ta bớt được biểu thức ảo, khơng cịn chữ i nữa, và thay vào đĩ là một lượng thực”

Cauchy phát biểu: hai đa thức là tương đương nghĩa là cùng biểu diễn một số

1

x +

Lý thuyết trường ra đời vào giữa thế kỷ thứ 19, sau khi việc cơng bố các cơng trình của các nhà bác học Pháp E.Galois và J Larange về lý thuyết nhĩm và của nhà bác học Đức K Gauss về lý thuyết số đã cho thấy rõ sự cần thiết khảo sát bản chất của chính hệ thống số Nhà bác học Đức R Dedekind đã đưa ra khái niệm tổng quát đầu tiên về trường, mà ơng gọi là “miền hữu tỷ” Thuật ngữ tương ứng với “trường” xuất hiện lần đầu năm 1871 trong cơng trình “lý thuyết số” của nhà Bác học Đức P Dirichlet

2 Các cách xây dựng số phức theo quan niệm lý thuyết trường

Trường là một khái niệm được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành của tốn

học Trường số phức cĩ thể được xây dựng bởi các cách sau:

Coi tập ℂ là tập ℝ2 các cặp số thực (tức mỗi số phức là cặp số thực (a;b) và hiển nhiên coi hai số phức (a,b), (a’,b’) bằng nhau nếu a = a’, b = b’)

Định nghĩa phép tốn cộng và nhân số phức bởi :

Đơn cấu trường:

phép toán cộng nhân các ma trận cấp hai

Dễ thấy ñó là một vành giao hoán, có ñơn vị và mọi ma trận khác 0 thuộc tập hợp ℂñều có ma trận nghịch ñảo trong ℂ, tức ℂlà một trường

0

a a

1

vành ña thức một ẩn X(trên trường số thực) chia cho iñêan sinh bởi ña thức

2 1

3 Số phức trong một giáo trình của Mỹ

Tài liệu mà chúng tôi chon nghiên cứu ở ñây là “A first Course in Complex

Analysis” của Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton

3.1 Về xây dựng số phức

Số phức có thể ñược ñịnh nghĩa như một cặp số thực, C={ (x y, ): ,x y∈R} với phép cộng (x y, ) (+ a b, ) (= x+a y b, + ) và phép nhân (x y, )(a b, ) (= xa−yb xb, +ya)

Định nghĩa hai phép toán trên là “tốt” và C là mở rộng của R Trong cách ñịnh nghĩa này, số phức có dạng (x, 0)có tính chất giống số thực, có nghĩa

x ñược gọi là phần thực của số phức x+iy, ký hiệu là Re(x+iy)

y ñược gọi là phần ảo của số phức x+yi, ký hiệu là Im(x+yi)

Và theo cách xây dựng trên thì i2 = − 1

Nhận xét:

- T1 xây dựng trường số phức theo quan ñiểm C là một cặp số thực

- Cách xây dựng số phức trong T1 không theo trật tự của lịch sử

- Số phức ñược ñưa ra không phải là bước trung gian ñể giải phương trình bậc 3, mà ñược xây dựng là một trường mở rộng của trường số thực

- Đơn vị ảo i ñược ñưa ra như là một ký hiệu ngắn gọn cho số (0, 1)

3.2 Về biểu diễn hình học

Nếu xem ký hiệu (x, y) như một cặp số thực 2 chiều Khi biểu diễn những

R , ta gọi trục x là trục thực, trục y là trục ảo Phép cộng mà ta ñịnh nghĩa cho số phức hoàn toàn tương tự như phép cộng tọa ñộ trong vectơ Nhưng phép nhân thì không có tương tự, nhân hai số phức là một số phức, nhưng nhân vô hướng hai vectơ thì là một số thực

của nó là số ϕ sao cho x=rcosϕ và y=rsinϕ

Như vậy, mọi số phức ñều có vô số argument và chúng hơn kém nhau bội của

2π

T1 cũng ñưa ra ý nghĩa hình học của phép trừ và phép nhân hai số phức

Môñun của hiệu hai số phức chính là khoảng cách của hai ñiểm ảnh của hai số phức ñó trên mặt phẳng tọa ñộ

Ý nghĩa hình học của phép nhân ñược ñưa ra dựa vào mô ñun và argument của

số phức

Nếu z1 =x1+y i1 có mô ñun và argument là r1 ,ϕ ; 1 z2 =x2+y i2 có mô ñun và argument làr2,ϕ , thì khi ñó 2

Như vậy tích của hai số phức có mô ñun là r r1 2. và có một argument là ϕ ϕ1+ 2

Về mặt ý nghĩa hình học, chúng ta nhân mô ñun của hai vec tơ biểu diễn hai số phức và cộng các argument của chúng

Người ta còn ký hiệu dạng cosϕ+isinϕ là i

eϕ và i

x+yi=reϕ

Người ta cũng ñưa vào ñịnh nghĩa dạng x+yi là dạng ñại số và dạng . i

r eϕ là dạng mũ của số phức

Số phức liên hợp của z= +x iy là z= −x yi, hai ñiểm liên hợp có ñiểm ảnh ñối xứng nhau qua Ox

Nhận xét

- T1 ñưa ra rất tường minh và rõ ràng ý nghĩa hình học của các phép cộng

trừ nhân số phức

- Không ñưa ra ñịnh nghĩa tường minh mặt phẳng phức

- Biểu diễn hình học ở ñây rất ñược chú ý và xem trọng

- Không ñưa ra công thức căn bậc 2 và bậc n của số phức dựa vào công thức Moivre

- Dạng lượng giác của số phức ñược ñưa ra chủ yếu ñể nêu lên ý nghĩa hình học của phép nhân chứ không có kiểu nhiệm vụ nào liên quan ñến nó

3.3 Các tổ chức toán học trong T1

3.3.1 Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm số phức (Xác ñịnh phần thực, phần ảo của số

phức, tìm số phức liên hợp, mô ñun của số phức), gồm các kiểu nhiệm vụ con T1.1 Tìm tổng và hiệu các số phức

T4.3 Giải phương trình bậc cao

3.3.5 Kiểu nhiệm vụ T5: Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng phức

4 Số phức trong một giáo trình của Anh

Tài liệu mà chúng tôi chon nghiên cứu ở ñây là “Introduction to complex

analysis” của W W L Chen

- Số phức ñược xây dựng ở T2 như sự mở rộng hệ thống số thực bằng cách

thêm số i với mục ñích ñể mọi phương trình không có nghiệm trong R ñều giải ñược

- Đơn vị ảo ñưa ra trước và số phức ñược xây dựng theo nó

- Cách xây dựng này ñi theo tương tự tiến trình của lịch sử, tuy nhiên phương trình bậc hai không phải là ñộng cơ trong lịch sử

4.3.1 Kiểu nhiệm vụ T1: Chứng minh hệ thức liên quan ñến số phức

4.3.2 Kiểu nhiệm vụ T2: Đưa các biểu thức về dạng chứa x, y (ñây là dạng

toán tương ñồng với dạng toán tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức)

4.3.3 Kiểu nhiệm vụ T3: Giải phương trình

Nhận xét

- T2 không ñưa vào biển diễn hình học của số phức

- Ý nghĩa hình học của số phức không ñược thể hiện ở ñây Do ñó, sẽ không tồn tại các kiểu nhiệm vụ liên quan ñến biểu diễn hình học của số phức

5 Số phức trong một giáo trình Việt Nam

Tài liệu mà chúng tôi chọn nghiên cứu ở ñây là giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đông, giáo trình dành cho sinh viên sư phạm

Trường số thực là một trường con của trường số phức và số thực x ñồng nhất với số phức (x, 0)

5.2 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

Dạng lượng giác của số phức ñược ñưa ra nhờ biểu diễn ñiểm M qua tọa ñộ cực của ñiểm M trong mặt phẳng phức Có nghĩa là:

“Trong mặt phẳng phức vị trí của ñiểm M ứng với số phức khác không z = x +

yi, còn có thể biểu diễn qua tọa ñộ cực r vàϕ, ở ñây r= z =OM , ϕ là góc lượng

hiệu là argz Có rất nhiều giá trị ϕ ứng với một số phức Các giá trị này có thể ñược viết ϕ ϕ= 0+k2π , k nguyên, với ϕ0 là một giá trị ñặc biệt nào ñó của argz Nếu chọn 0 ≤ <ϕ 2π sao cho z=r(cosϕ+isinϕ)( )1 thì ϕ ñược gọi là argument chính của z và dạng (1) ñược gọi là dạng lượng giác của số phức z.”

Như vậy, mỗi số phức z chỉ có duy nhất một dạng lượng giác, tùy vào argument chính của nó Cách xây dựng dựng lượng giác này khác với 2 giáo trình trên

5.3.1 Kiểu nhiệm vụ T1: Xác ñịnh các “yếu tố” của số phức

5.3.2 Kiểu nhiệm vụ T2: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác

5.3.3 Kiểu nhiệm vụ T3: Biểu diễn số phức dưới dạng mũ

5.3.4 Kiểu nhiệm vụ T4: Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình

chứa ñơn vị ảo i

5.3.5 Kiểu nhiệm vụ T5: Giải phương trình trong C (tìm số phức thỏa

phương trình cho trước)

5.3.6 Kiểu nhiệm vụ T6: Giải thích ý nghĩa hình học của các hệ thức

chứa số phức

5.3.7 Kiểu nhiệm vụ T7: Chứng minh các hệ thức liên quan ñến số phức

Chương 3 NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC Phần A: Số phức trong thể chế Pháp (chương trình song ngữ)

1 Về ñịnh nghĩa và biểu diễn số phức

1.1 Định nghĩa

Tập hợp số phức C là tập mở rộng của tập số thực với phép nhân và phép cộng

Hai số phức bằng nhau nếu chúng có cùng ñiểm hay vectơ biểu diễn trên mặt phẳng phức

2.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán

Tổng của hai vectơ có biểu diễn hình học là vectơ tổng của hai vectơ biểu diễn hai số phức ñó

Phép biến ñổi trên mặt phẳng phức từ M( )z ֏M'(z+α) là một phép tịnh tiến theo vectơ u, là vectơ biểu diễn của số phức α

nghịch ñảo Với những tính chất như trên, (C,+,×) là một trường giao hoán

3 Số phức liên hợp, mô ñun và ý nghĩa hình học

- SGK ñưa ra các phép biến hình trong mặt phẳng phức liên quan ñến ảnh của z, z, − ,z −z Đó là M z S Ox M ( )z

1

) (  → ; M( )z  →S O M'( )−z

- Mô ñun của số phức z là khoảng cách từ gốc tọa ñộ ñến ñiểm biểu diễn của

nó trong mặt phẳng phức hay ñộ dài của vectơ biểu diễn nó

- [P] còn ñưa ra các phép toán trên các số phức liên hợp

z = z với (z'≠0)

mặt phẳng phức, có nghĩa z B −z A = AB Tính chất này ñược ñưa vào một cách tường minh trong thể chế Pháp

4 Argument và dạng lượng giác của số phức

4.1 Về argument

- Argument của z, ký hiệu arg(z) là góc lượng giác (e ,1 OM)

và kí hiệu arg( )z =θ ( )2π Ở ñây, ký hiệu argument có thêm modulo 2π , khác với thể chế VN Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn về agument của số phức ( thông

- Các phép toán trên argument cũng ñược [P] ñưa ra một cách tường minh như sau:

+ arg(z.z’) = arg(z) + arg(z’)

+ arg 1 arg( ) ( )2 ; arg arg( ) arg( ) ( )' 2

- Argument của một số phức có thể lấy số gần ñúng Điều này trong thể chế Việt Nam hoàn toàn vắng bóng

- Phép biến ñổi trên mặt phẳng phức biến M(z) thành M’(az) với iα

e k

- Sự chuyển ñổi từ dạng lượng giác sang dạng ñại số ñược cho bởi sơ ñồ sau:

Trong ví dụ của SGK Pháp, kiểu nhiệm vụ chuyển từ dạng ñại số sang dạng lượng giác chủ yếu dựa vào hình vẽ Từ hình vẽ, ta có thể suy ra argument và ñộ lớn của số phức, từ ñó suy ra dạng lượng giác của số phức

Trong [P] còn có KNV chuyển từ dạng chứa các hàm số lượng giác sang dạng lượng giác ví dụ như −2(cosα +isinα) không phải là dạng lượng giác, ñược chuyển thành dạng lượng giác 2(cos(α +π)+isin(α +π) )

- Phép nhân và phép chia số phức dưới dạng lượng giác ñược ñưa vào Nhân hai số phức có nghĩa là tìm tích mô ñun và tổng argument; chia hai số phức tức là tìm thương các mô ñun và hiệu các argument của chúng

- Giải phương trình trong tập hợp số phức bằng phương pháp sử dụng lượng giác ñược trình bày một cách tường minh thông qua một ví dụ ñược trình bày trong [P] Kỷ thuật giải này vắng bóng hoàn toàn trong thể chế Việt Nam

5 Dạng mũ của số phức, công thức Moivre và công thức Euler

- Số phức dạng cosα +isinα ñược ký hiệu gọn hơn là iα

e

Dạng z = x+yi  = = + =  =r→

y r

x y x z

r 2 2; cos α ; sin α

dạng z=r(cosα +isinα)

- [P] ñưa vào hai công thức Moivre là (cosα +isinα)n = cos( )nα +isin( )nα và

(cosα −isinα)n = cos( )nα −isin( )nα Công thức thứ 2 không ñược ñưa vào tường minh trong thể chế VN

- Công thức Euler cũng ñược ñưa ra:

2 sin

; 2 cos

α α α

6 Căn bậc hai và phương trình trong tập hợp số phức

Trong thể chế Pháp, SGK chỉ ñưa vào căn bậc hai của số thực âm và số thực dương Căn bậc hai của số phức dạng z = a+bi không ñược ñưa vào Điều này kéo theo phương trình bậc hai ñược ñưa vào [P] chỉ ñược giới hạn có hệ số thực mà thôi

Thế nhưng ñối với phương trình bậc ba thì các hệ số có thể là số phức Tuy nhiên, khi ñưa về phương trình bậc hai thì cũng chỉ có hệ số là số thực mà thôi

7 Các tổ chức toán học liên quan ñến số phức

7.1 Nhóm 1: Viết dưới dạng ñại số của một số phức

Trong nhóm 1, có các kiểu nhiệm vụ:

T1: “Tìm tổng của hai số phức”

T2: “Tìm hiệu của hai số phức”

T3: “Tìm tích của hai số phức”

T4: “Tìm thương của hai số phức”

T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức”

7.2 Nhóm 2: Xác ñịnh liên hợp của một số phức

Trong nhóm 2, có các kiểu nhiệm vụ

T1: “Tìm tổng của hai số phức”

T2: “Tìm hiệu của hai số phức”

T3: “Tìm tích của hai số phức”

T4: “Tìm thương của hai số phức”

T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức”

Yêu cầu của các bài toán thuộc nhóm này bao gồm việc ñưa về dạng ñại số của

1 số phức Sau ñó mới tìm số phức liên hợp

7.3 Nhóm 3: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất

Các kiểu nhiệm vụ gồm:

T5: “Giải phương trình bậc nhất”

T6: “Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn”

7.4 Nhóm 4: Biểu diễn hình học của ñiểm, của vectơ trong mặt phẳng phức

Gồm có KNV T7: “Biểu diễn hình học của ñiểm, của vectơ trong mặt phẳng phức”

T4: “Tìm thương của hai số phức”

T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức”

7.6 Nhóm 6: Tìm argurment của một số phức (kể cả tính gần ñúng)

T8: “Dựa vào ñồ thị, hãy xác ñịnh argurment của số phức có ñiểm biểu diễn cho trước trên mặt phẳng phức”

T9: “Xác ñịnh argurment của số phức cho dưới dạng ñại số”

7.7 Nhóm 7: Viết số phức dưới dạng lượng giác

T10: “Viết số phức từ dạng ñại số sang dạng lượng giác”

7.8 Nhóm 8: Sử dụng dạng lượng giác ñể tính các biểu thức ñại số

T13: “Viết số phức từ dạng ñại số sang dạng mũ”

7.10 Nhóm 10: Giải phương trình bậc hai trong C với hệ số thực

T14: “Giải phương trình bậc hai trong C”

7.11 Nhóm 11: Xác ñịnh và biểu diễn tập hợp ñiểm M thỏa ñiều kiện cho trước

T15: “Xác ñịnh và biểu diễn tập hợp ñiểm M thỏa ñiều kiện cho trước”

Các dạng toán trong KNV này thường liên quan ñến: mô ñun, argurment, liên hợp…

7.12 Nhóm 12: Xác ñịnh phép biến hình biến M(z) thành M’(z’)

T16: “Xác ñịnh phép biến hình biến M(z) thành M’(z’)”